Mathématiques Terminale S...

Bonjour bonjour :)

Bien bien alors j'ai un soucis en maths pour un devoir... Je ne m'en sors pas, c'est pour ca que j'implore votre aide

Je suis en term S au cned, et comme au départ en maths je suis une quiche lorraine, c'est pas facile :)

Voila le cours c'est sur la fonction exponentielle. A savoir que j'ai bien appris mon cours et que je l'ai plutot bien compris.. Mais , comme toujours je ne sais pas par ou commencer, je reste bloquée sur comment faire...

Bref voila la question:

On suppose qu’il existe une fonction f définie et dérivable sur R telle que, pour tout réel x, f '(x ) = 2f (x )

et f(0)=1/(e²) .

En suivant une démarche analogue à celle du cours, montrer que :

1) f ne peut pas s’annuler ;

2) si la fonction g est définie et dérivable sur telle que, pour tout réel x, g '(x ) = 2g (x ) et

g (0) = 1/(e²),

alors f = g.

Merci d'avance, ps je cherche des pistes pour y arriver déja

Salut,

Regardes les parties du cours concernant :

- L'exponentielle

- Les équation différentielles

Tu devrais y trouver la piste que tu cherches

Ok alors les équations différentielles je me souviens pas avoir vu du cours sur ca c'est bizarres mdr, mais effectivement ca peut m'aider :)

Il faudrai donc que je trouve la solutions de f'(x) = 2f(x), qui est une équation différentielle...

Donc f(x)= C e^(kx)

<=>f(x) = C e^2x

Est ce un bon départ? ou je me plante? ^^

Ensuite grace a la condition donnée f(0) = 1/(e²) je vais pouvoir trouver la valeur de C

ON a f(x)= C e^2x

Donc C=1/(e²)

<=> C= e^-2

La je suis pas sure.. :S

Ensuite, f(x) = (e^-2)*(e^2x)

<=> f(x)= e^(2x-2)

Or la fonction exponentielle ne s'annule pas sur R

Donc f ne s'annule pas

?? :D

Cela dit, la deuxième question me laisse pantois...

Car je répondrais "ben c'est logique", mais j'imagine qu'il vaut mieux argumenter un peu

En fait, le soucis c'est qu'ils te demandent d'employer une méthode similaire à celle de ton cours... Et je ne sais pas la méthode employée dans ton cours... Donc difficile de te dire ce qu'ils attendent.

Par contre, la méthode que tu emploies ici permets en effet de résoudre en partie le problème.

Je suis en train de voir comment on peut faire sans résoudre l'équa diff...

J'ai peut etre loupé ce passage, je ne vois pas vraiment comment faire autrement ^^

J'ai trouvé une solution pour répondre à la première question sans résoudre l'équation différentielle... C'est élégant mais un peu compliqué ^^...

On a : f ' (x) = 2 f ( x) et f (0) = 1 / e²

Tout d'abord f n'est pas la fonction constante nulle. Ce n'est pas possible car f(0) est différent de 0

f est dérivable sur IR, donc f est une fonction continue.

Si f est une fonction continue, alors f ' = 2 * f est aussi une fonction continue.

On constate que f et f' sont de même signe.

Donc que si f est négative, alors elle est décroissante.

Si f est localement positive alors elle est croissante.

Comme f(0) est positif, alors pour tout x positif, f (x) > f (0) > 0

Pour tout x positif, f (x) ne s'annule pas.

la fonction f n'est jamais négative. En effet, s'il existe un réel a tel que f(a) < 0 alors f ' (a) < 0 et donc f est décroissante, et restera négative. En clair, si f est négative en un point, alors, elle est toujours négative. comme elle est au moins une fois positive (en 0) alors il n'existe pas de point où elle est négative.

Par ailleurs, comme f et f ' sont du même signe, f ne peut être que monotone (toujours croissante ou toujours décroissante). En effet, si f n'est pas strictement monotone, cela signifie que la fonction est localement positive décroissante, ou négative croissante ce qui est impossible car f et f ' sont de même signe.

Dans notre cas, comme f est croissante pour x positif, alors f est toujours croissante.

or, s'il existe un réel b € IR- tel que f (b) = 0, comme f est continue et croissante, alors, pour tout x < b ,

f(b) < 0 (strictement)

Ors, nous avons montré qu'il n'existe pas de réel tel que f est négative, donc f ne peut atteindre 0 qu'en moins l'infini.

f ne peut donc être qu'une fonction croissante et strictement positive. Par conséquent, f ne s'annule pas sur IR.

On peut appliquer un raisonnement similaire pour démontrer que f =g (question 2) en démontrant, en partant du point 0 que f et g sont confondues en 0 par définition, qu'elles ont la même tengeante en 0 par définition (f ' (0) et g ' (0) ) qu'elles ont donc la même croissance, et donc la même dérivée, et sont donc égales...

Je trouve ça très complexe comme démonstration pour un niveau terminal... La résolution de l'équation différentielle est la meilleure solution. La mienne n'a pour elle qu'une certaine élégance, rien de plus.

Oui le cned c'est balèze... Je m'inquiète pour le bac en maths...