Question de maths!

Cher tous,

Je me posais juste une petite question après avoir vu sur un corrigé portant sur une équation du second degré (complexes):

L'équation d'origine est:

Z^4 + (3-6i)Z^2 - 2(4+3i) = 0

On pose u = Z^2, on se ramène à l'équation:

u^2 + (3-6i)u -2(4+3i) = 0

Delta = (3-6i)^2 + 8(4+3i) = 5-12i = (3-2i)^2

Mais justement d’où vient le fait que 5-12i= (3-2i)^2?

Merci d'avance!

Salut,

Identité remarquable : (3 - 2i)² = 9 - 12i + 4i² = (9 + 4i²) - 12 i.

Par définition, i² = -1 donc (3 - 2i)² = (9 - 4) - 12i = 5 - 12i.

Merci pour ta réponse mais je cherche le chemin inverse, comment déduire que 5-12i= (3-2i)^2 ?

Ah, au temps pour moi.

Posons z² = 5 - 12i et z = a + ib. On recherche a et b.

Le module de z² est égal à 13. D'après l'expression de z, il est aussi égal à a² + b². Donc a² + b² = 13.

De plus, si tu élèves l'expression z² = (a + ib)² = a² - b² + 2iab. Par identification, a² - b² = 5 et 2ab = -12.

Des équations a² + b² = 13 et a² - b² = 5, tu trouves les valeurs absolues de a et b, d'où 4 couples (a,b). De l'équation, 2ab = -12, tu déduis les deux seuls couples (a, b) possibles.

c'est beaucoup moins évident dans l'autre sens, mais tu peut trouver les méthodes en cherchant "racines complexes" sur internet

http://maths.amatheurs.fr/index.php?page=racine_complexe

Merci beaucoup Konvicted!