Le fondement des sciences

Est-ce par hasard? pourquoi ça semble couler de source? et si les maths se trompaient?

En fait c'est pas si dur d'arriver à "planter" les maths. Par exemple, y a une question connue : dans un village, les hommes sont divisés en deux groupes distincts : ceux qui se rasent eux même, et ceux qui se font raser par le barbier. Aucun homme n'appartient aux deux clubs ou à aucun. Question : Le barbier est un homme. A quel club appartient il ?

(c'est en fait le paradoxe de Russell : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell)

Une autre façon de comprendre les limites des maths, c'est d'essayer de calculer la circonférence d'un cercle, connaissant son rayon. La formule bien connue est C= 2*pi*r (ou pi*D) : http://www.mathgoodies.com/francais/volume2/circumference_fr.html

Maintenant, imaginons que vous vouliez aller un peu plus loin que les pièces de monnaie ou les roues de bicyclettes. Pris de folie des grandeurs, vous vous rendez au pole Nord avec une ficelle de 10 000 km, et suffisament de peinture pour tracer un cercle correspondant à ce rayon : 2*pi*10 000 : 62 000 km et des poussières. Vous attachez un bout de la ficelle au pole, vous prenez l'autre bout dans la main, vous tendez bien, et vous commencez à peindre.

Problème : au moment où vous finirez votre cercle, il vous restera plus du tiers des pots de peinture ! Vérification faite, votre cercle ne fait effectivement que 40 000 km environ. Ce qui, si la formule C=2*pi*r est exacte, donne une valeur de pi de...2.

Evidemment, en regardant autour du vous, vous vous rendrez vite compte qu'en parcourant 10 000 km depuis le pôle, vous ètes arrivé à l'équateur. C'est pour ça qu'il fait si chaud, et pas seulement à cause des efforts nécessaires pour maintenir tendue une ficelle de 10 000 km.

La circonférence de la Terre à l'équateur est bien de 40 000 kilomètre. Pi n'est pas égal à 2. La formule ne s'applique pas parce que la Terre est à peu près sphérique, et que C=2*pi*r n'est valable que dans le plan Euclidien. Si fait de la géométrie sur la surface de la Terre, cette formule, et beaucoup d'autres, ne sont pas valables.

Evidemment, si on a bien conscience de ce détail, on peut prendre le bon jeu de formules, et utiliser les maths pour faire les calculs correctement. Mais ça montre bien que la puissance des mathématiques dépend avant tout de la correspondance entre le modèle mathématique et la réalité. Avec un mauvais modèle, on est condamné à gacher de la peinture.

En même temps, si on distingue cercle et sphère, je ne vois pas le souci

Cercle : C=2piR

Sphère : C=2pi cos L R ou L est la lattitude exprimée en degré (0 pour equateur, 45 pour le 45ème parallèle nord ou 66 pour le cercle polaire artique....).

Pourquoi remplacerait-on une formule par une autre ?

Je ne vois pas la limite des maths mais les limites du mathématicien dans cet exemple.

Concernant la théorie des ensembles, on ne plante pas les maths non plus.

Ce qu'on plante, c'est notre 'bon sens'

Ce dernier pourrait nous tromper en nous faisant croire qu'une propriété que l'on pense pouvoir attribuer sans ambiguité comme vraie ou fausse (ici, appartenir à soi même) n'est pas acceptable pour définir un ensemble, d'où le paradoxe.

Mais les maths ne sont pas prises en défaut, juste notre bon sens.

Encore que j'arrive encore à percevoir que se référencer à soi même n'est pas un élément suffisant.

'je ne supporterais pas de faire partie d'un club qui m'accepterait comme membre'

Groucho Marx.

En même temps, si on distingue cercle et sphère, je ne vois pas le souci

Cercle : C=2piR

Sphère : C=2pi cos L R ou L est la lattitude exprimée en degré (0 pour equateur, 45 pour le 45ème parallèle nord ou 66 pour le cercle polaire artique....).

Pourquoi remplacerait-on une formule par une autre ?

Pourquoi prendrait-on des formules qui concernent les sphères alors que ce qu'on veut dessiner est un cercle ?

Je ne vois pas la limite des maths mais les limites du mathématicien dans cet exemple.

Les mathématiques sont donc limitées par les connaissances du mathématicien. En l'occurence, pour connaitre le diamètre d'un cercle sur Terre d'après son rayon avec les maths, il faut connaitre le rayon de la Terre elle mëme. Et savoir qu'elle est ronde.

Là ou ça devient rigolo, c'est qu'on ne connait ni la topologie, ni le rayon de courbure précis de l'Univers.

Pourquoi prendrait-on des formules qui concernent les sphères alors que ce qu'on veut dessiner est un cercle ?

Ton calcul 2 pi R 10 000 = 62 000 km est exact si ton cercle est sur le même plan que le pôle nord ou tu fixes la ficelle donc si on évolue sur un cercle imaginaire dont le centre est le pôle. Un disque.

L'ennui c'est que ta ficelle qui fait 10 000 km t'amène a l'équateur en suivant la rotondité de la terre et non pas sur un plan.

Cette formule ne convient pas et d'ailleurs, ton calcul indique que tu as 1/3 de peinture en plus.

Comme nous évoluons sur une sphère et non sur un plan, ta formule n'est plus la bonne.

Il faut considérer qu'elle t'amène sur l'équateur et calculer la circonférence de la lattitude à ce niveau de l'équateur.

Si tu fais 2 pi cos 0 x 6378, tu obtiens bien 40 074 km.

Si ta ficelle n'avait fait que 5000 km, il aurait fallu faire 2 pi cos 45 * 6378 soit 28 336 km pour calculer ta quantité de peinture et non pas 2 pi * 5000

c'est pareil, tu as besoin de calculer la circonférence de la lattitude ou t'amène cette ficelle et non pas appliquer 2 pi R

Les mathématiques sont donc limitées par les connaissances du mathématicien. En l'occurence, pour connaitre le diamètre d'un cercle sur Terre d'après son rayon avec les maths, il faut connaitre le rayon de la Terre elle mëme. Et savoir qu'elle est ronde.

Là ou ça devient rigolo, c'est qu'on ne connait ni la topologie, ni le rayon de courbure précis de l'Univers.

Oui là je suis d'accord.

Mais c'est là ou on est face aux limites du mathématicien et pas des mathématiques.

Ton calcul 2 pi R 10 000 = 62 000 km est exact si ton cercle est sur le même plan que le pôle nord ou tu fixes la ficelle donc si on évolue sur un cercle imaginaire dont le centre est le pôle. Un disque.

L'ennui c'est que ta ficelle qui fait 10 000 km t'amène a l'équateur en suivant la rotondité de la terre et non pas sur un plan.

Cette formule ne convient pas et d'ailleurs, ton calcul indique que tu as 1/3 de peinture en plus.

Comme nous évoluons sur une sphère et non sur un plan, ta formule n'est plus la bonne.

Il faut considérer qu'elle t'amène sur l'équateur et calculer la circonférence de la lattitude à ce niveau de l'équateur.

Si tu fais 2 pi cos 0 x 6378, tu obtiens bien 40 074 km.

Si ta ficelle n'avait fait que 5000 km, il aurait fallu faire 2 pi cos 45 * 6378 soit 28 336 km pour calculer ta quantité de peinture et non pas 2 pi * 5000

c'est pareil, tu as besoin de calculer la circonférence de la lattitude ou t'amène cette ficelle et non pas appliquer 2 pi R

C'est gentil de me réexpliquer mon exemple, mais plutôt que de supposer que je ne me comprenais pas, il aurait plutot fallu supposer que tu ne comprenais pas la question. Surtout que si tu avais bien lu mon premier post, tu aurais vu que je suis parfaitement au courant de l'existence du jeu de formules qui fonctionnent.

Oui là je suis d'accord.

Mais c'est là ou on est face aux limites du mathématicien et pas des mathématiques.

Et tu ne crois pas que c'est une limite des mathématiques, de ne pas pouvoir aller plus loin que les connaissances de celui qui les emploies ? Parce qu'il y a des gens qui sont persuadés de la toute puissance des mathématiques : http://www.forumfr.com/sujet465275-la-theorie-du-tout-confirme-l-existence-d-une-intelligence-prealable.html?view,findpost,p,7411092

C'est gentil de me réexpliquer mon exemple, mais plutôt que de supposer que je ne me comprenais pas, il aurait plutot fallu supposer que tu ne comprenais pas la question. Surtout que si tu avais bien lu mon premier post, tu aurais vu que je suis parfaitement au courant de l'existence du jeu de formules qui fonctionnent.

Tu sais, c'est toi qui reste avec tes pots de peinture sur les bras.

Personnellement, si je fais le calcul, c'est pas prêt d'arriver.

J'ai peut être pas compris la question mais faudrait peut être que tu t'interroges sur ce que tu vas bien pouvoir faire de cette peinture.

Tu sais, c'est toi qui reste avec tes pots de peinture sur les bras.

Non. c'est pas moi, parce que moi je savais que la formule n'était pas bonne. Puisque c'est moi qui ai donné cet exemple. Et dit qu'il y aurait des pots de peintures en trop. Et même combien. T'as du mal, hein ?

Non. c'est pas moi, parce que moi je savais que la formule n'était pas bonne. Puisque c'est moi qui ai donné cet exemple. Et dit qu'il y aurait des pots de peintures en trop. Et même combien. T'as du mal, hein ?

Alors je vais t'expliquer.

Si tu ne connais pas la contenance des pots de peinture et combien de pots de peinture il faut pour peindre 1 mètre linéaire, je peux même émettre l'hypothèse scientifique incroyablement compliquée que personne dans l'univers ne pourra te répondre.....

Bon allez, je te laisse avec toutes cette peinture, je vois déjà le tableau d'ici si je poursuis.

C'est pas très important, je suis pas peintre dans tous les cas.

En fait c'est pas si dur d'arriver à "planter" les maths. Par exemple, y a une question connue : dans un village, les hommes sont divisés en deux groupes distincts : ceux qui se rasent eux même, et ceux qui se font raser par le barbier. Aucun homme n'appartient aux deux clubs ou à aucun. Question : Le barbier est un homme. A quel club appartient il ?

Cette énigme contient une erreur dans son énoncé. En effet, par sa nature de barbier, le barbier appartient obligatoirement aux deux clubs : s'il se fait raser par le barbier (club 2) il se rase lui-même (club 1) et inversement, s'il se rase lui-même (club 1) il se fait raser par le barbier (club 2). Il ne peut par conséquent pas y avoir aucun homme n'appartenant aux deux clubs. Les maths ne sont donc pas "plantées", l'énoncé par contre l'est.

Maintenant, imaginons que vous vouliez aller un peu plus loin que les pièces de monnaie ou les roues de bicyclettes. Pris de folie des grandeurs, vous vous rendez au pole Nord avec une ficelle de 10 000 km, et suffisament de peinture pour tracer un cercle correspondant à ce rayon : 2*pi*10 000 : 62 000 km et des poussières. Vous attachez un bout de la ficelle au pole, vous prenez l'autre bout dans la main, vous tendez bien, et vous commencez à peindre.

Problème : au moment où vous finirez votre cercle, il vous restera plus du tiers des pots de peinture ! Vérification faite, votre cercle ne fait effectivement que 40 000 km environ. Ce qui, si la formule C=2*pi*r est exacte, donne une valeur de pi de...2.

Evidemment, en regardant autour du vous, vous vous rendrez vite compte qu'en parcourant 10 000 km depuis le pôle, vous ètes arrivé à l'équateur. C'est pour ça qu'il fait si chaud, et pas seulement à cause des efforts nécessaires pour maintenir tendue une ficelle de 10 000 km.

Là encore. Comment tu fais toi pour faire un cercle de 40 000 km (même environ) avec une ficelle de seulement 10 000 km ? Dis moi. :D

Cette énigme contient une erreur dans son énoncé. En effet, par sa nature de barbier, le barbier appartient obligatoirement aux deux clubs : s'il se fait raser par le barbier (club 2) il se rase lui-même (club 1) et inversement, s'il se rase lui-même (club 1) il se fait raser par le barbier (club 2). Il ne peut par conséquent pas y avoir aucun homme n'appartenant aux deux clubs. Les maths ne sont donc pas "plantées", l'énoncé par contre l'est.

C'est la sortie classique du paradoxe, oui : le barbier tel qu'il est décrit ne peut logiquement pas exister. On a donc un énoncé qui nous décrit un barbier, et la logique qui nous dit que ce barbier ne peut pas exister. Mais si ici on le voit assez trivialement, on sait qu'il y a des cas où il est bien plus difficile de trancher (les diverses conjectures célèbres), et on a même le théorème de Gödel qui nous dit que certaines propositions ne peuvent être démontrées ou réfutées.

C'est la sortie classique du paradoxe, oui : le barbier tel qu'il est décrit ne peut logiquement pas exister. On a donc un énoncé qui nous décrit un barbier, et la logique qui nous dit que ce barbier ne peut pas exister. Mais si ici on le voit assez trivialement, on sait qu'il y a des cas où il est bien plus difficile de trancher (les diverses conjectures célèbres), et on a même le théorème de Gödel qui nous dit que certaines propositions ne peuvent être démontrées ou réfutées.

Oui, dès fois c'est dur de trancher. Mais là le barbier tel qu'il est décrit peut logiquement exister. Ce qui ne peut pas exister est le fait qu'aucun homme ne peut appartenir aux deux clubs.

Oui, dès fois c'est dur de trancher. Mais là le barbier tel qu'il est décrit peut logiquement exister. Ce qui ne peut pas exister est le fait qu'aucun homme ne peut appartenir aux deux clubs.

C'est une question de point de vue. Si le barbier est une femme, on est bien dans une situation ou aucun homme n'appartient au deux clubs :).

Eh, à un moment il faut assumer l'énoncé :

... dans un village, les hommes sont divisés en deux groupes distincts : ceux qui se rasent eux même, et ceux qui se font raser par le barbier. Aucun homme n'appartient aux deux clubs ou à aucun. Question : Le barbier est un homme. A quel club appartient il ?

Eh, à un moment il faut assumer l'énoncé :

Ben justement : pour obtenir quelque chose de cohérent, faut le modifier. Que ce soit une phrase ou une autre, peut importe. Il suffit de dire que le barbier est une femme, et l'énoncé devient cohérent.

Non puisque ce sont les hommes qui sont séparés en deux groupes distincts. Il n'y a de fait pas de femme dans les deux groupes. Pourquoi alors poser la question : "À quel club appartient-elle ?" ? L'énoncé reste quoi qu'il en soit foireux.

Il suffit de dire que le barbier est une femme, et l'énoncé devient cohérent.

Dans ce cas, il faut accepter qu'il change de sexe. Le veut-il ? :smile2:

jusqu'à présent, toutes les tentatives d'axiomatisation des mathématiques reposent sur la méthode euclidienne : on présente une liste d'axiomes indémontrables formulés à l'aide d'une liste de termes indéfinissables. A partir de ces deux listes, on essaye de démontrer tous les théorèmes soit des mathématiques, soit de l'arithmétique, soit de la géométrie. C'est ainsi qu'ont procédé Euclide et Hilbert pour la géométrie, Péano pour l'arithmétique, Bourbaki pour les mathématiques. Malheureusement, Gödel a montré qu'il était impossible de présenter une liste consistante d'axiomes d'où on puisse déduire complètement l'arithmétique.

J'ai donc repris le problème dans un autre sens. Au lieu de présenter directement une liste soi-disant complète d'axiomes et de termes primitifs, je définit les uns après les autres les termes indéfinissables au moyen d'axiomes indémontrables. Mise à part la première, chaque définition axiomatique ne doit comporter qu'un seul terme non défini au préalable. Ainsi, elle peut être considérée comme la définition de ce terme.

Les résultats de cette méthode semblent extrêmement prometteurs, mais je n'ai personne à qui en parler.

Les résultats de cette méthode semblent extrêmement prometteurs, mais je n'ai personne à qui en parler.

Parles en à un prof de maths, il t'expliquera qu'on axiomise pas "les mathématiques" mais des théories mathématiques.

À mon avis, tousles trois fondements sont valables et se complètent (bien qu’ils ne soient pasde conjoints incompatibles).

Dès lors que l’ona du contact avec le monde, on observe la matière et les évènements plongésdans celui, c’est où l’on asseye d’abstraire toutes les informations que l’onpuisse pour étudier le phénomène en question mais traduites à un langagecompréhensible de l’être humain. Ce langage doit être parfait et ne doit secontredire en aucun moment.

C’est la raisonde la rigueur des mathématiques et son infaillibilité. Il est vrai que sonfondement est purement formel, mais ces idées se sont achevées grâce à l’interactionesprit-matière (la res cogitans et lares extensa de Descartes).

Dans sa logique,on a développé des méthodes différentes que nous permettent assurer n’importequelle affirmation (mieux dit, théorème). Elles suivent bel et bien lesprincipes logiques, lesquels sont le fondement de toute science puisqu’elleest le langage de l’être humain pourinterpréter la nature. Ce sont les méthodes de démonstration, dont la directe(avec son forme du syllogisme du type sorite), la contrepositive, la réduction àl’absurde, l’induction mathématique quand même.

En résumé, lesmathématiques se fondent sur un formalisme pur qui peut décourager plusieurs maisque l’on ne pourrait pas achevé sansd’autres points de vue qui nous aident à traduire la nature en son langage symboliquepour simplifier le problème.

À mon avis, tousles trois fondements sont valables et se complètent (bien qu’ils ne soient pasde conjoints incompatibles).

Oui, ce sont les trois facettes d'un même processus global que nous n'arrivons pas à appréhender!