Dogmes religieux et vérités scientifiques

Vous n'oubliez pas un peu le reste ?

Une application brève, concise et très concluante de la définition.

Sauf que votre définition est censée marcher sur TOUS les axiomes.

Or elle ne fonctionne pas avec le 5ème postulat d'Euclide (non-évident, démontrable, et pas universel puisqu'il existe des géométrie non-euclidiennes).

Elle ne fonctionne pas non plus pour les axiomes de groupe (non évident, et non-universels car toute structure algébrique n'est pas un groupe).

Une définition qui marcherait que dans la moitié des cas est mauvaise.

En plus, les exemples que vous donnez sont largement prouvables.

Tiens donc, un coup vous dites que c'est un postulat, et là vous revenez sur l'axiome. Il faudrait savoir, postulat ou axiome ?

Quant aux exemples, prouvez donc que les moitiés du même sont égales entre-elles, ou que les choses égales à une même chose sont égales entre-elles, j'ai hâte de savourer vos démonstrations.

Pour le moment, c'est du blabla.

NB : 5eme postulat d'Euclide = Evident, non-démontrable. Seul le "universel" peut-être remis en cause. J'attends votre magnifique preuve.

Pour les axiomes de groupe, seul le "universel" peut également être remis en cause.

Étant donné qu'il faut rester cohérent avec les ouvrages d'où sont tirées les définitions, voyons ce que dit le TLFi au sujet du mot ''universel'' :

2. LOG., LOG. FORMELLE

a) Qui convient à tous les individus d'une classe pris un à un. Attribut, prédicat universel. Un terme est universel lorsqu'il est pris dans toute son extension(FOULQ.-ST-JEAN 1969).

b) Proposition universelle. ,,Proposition qui énonce une relation vraie de chacun des individus qui composent l'extension du sujet`` (LAL. 1968). Subst. fém., p. ell. Une universelle. Une proposition universelle. (Dict. XIX^e et XX^e s.).

c) Quantificateur universel. Symbole noté (qui s'énonce pour tout), exprimant qu'une certaine propriété appartient à tous les éléments d'un ensemble. (Dict. XX^e s.).

Alors il faut bien comprendre que le terme ''universel'' ne s'applique ici qu'à une classe, une extension ou un ensemble déterminé... pas à tout ce qui existe.

De même ce cher Grenouille Verte est encore passé à côté de ce qui est écrit puisque la différence entre axiome et postulat pour ce qui est de la 5ième proposition d'Euclide est clairement établie dans mon message précédent en ce sens que c'est un axiome en géométrie euclidienne et c'est un postulat en géométrie non-euclidienne.

Alors j'ai bien hâte de voir la démonstration, annoncée par le batracien, de l'axiome en géométrie euclidienne.

Si.

Dans les mathématiques modernes on prouve que l'axiome d'Euclide est bien vérifié par les espaces euclidiens.

Démontrer un axiome, ce n'est pas de dire que les espaces euclidiens le vérifie puisque les espaces euclidiens sont justement déterminés et construits en fonctions de ces axiomes... ce serait comme si vous disiez que l'arithmétique de Peano vérifiait les axiomes de cette arithmétique alors qu'elle est justement construit sur ceux-ci.

Je crois que vous ne savez même pas ce qu'est une démonstration, tout comme vous ne savez même pas ce qu'est un axiome... et nous en aurons la démonstration par le fait que vous ne pourrez pas fournir de démonstration adéquate de ce que avancez.

Pour ma part j'attendrai votre démonstration avant d'aller plus loin... question de vous regardez noyer le poisson encore une fois.

Elle ne fonctionne pas non plus pour les axiomes de groupe (non évident, et non-universels car toute structure algébrique n'est pas un groupe).

Encore une mauvaise interprétation puisque la définition fonctionne pour les axiomes de groupes étant donné que l'axiome s'applique à tous les éléments de la classe nommée ''groupe'', qu'elle exprime une propriété appartenant à tous les éléments de l'ensemble nommé ''groupe'''.

Les axiomes de groupe sont universels en ce qui concerne les groupes... tout comme les axiomes de Peano sont universels en ce qui concerne l'arithmétique.

2. LOG., LOG. FORMELLE

a) Qui convient à tous les individus d'une classe pris un à un. Attribut, prédicat universel. Un terme est universel lorsqu'il est pris dans toute son extension(FOULQ.-ST-JEAN 1969).

b) Proposition universelle. ,,Proposition qui énonce une relation vraie de chacun des individus qui composent l'extension du sujet`` (LAL. 1968). Subst. fém., p. ell. Une universelle. Une proposition universelle. (Dict. XIX^e et XX^e s.).

c) Quantificateur universel. Symbole noté (qui s'énonce pour tout), exprimant qu'une certaine propriété appartient à tous les éléments d'un ensemble. (Dict. XX^e s.).

Apprenez le français cher batracien... peut-être finirez-vous par y comprendre quelque chose.

Grenouille Verte doit nous démontrer :

1) Le 5eme postulat.

2) Les trois axiomes d'Euclide cités en exemple et qui vérifient la définition.

3) La non-universalité des axiomes.

Je sens qu'on va bien s'amuser

Les axiomes de groupe sont universels en ce qui concerne les groupes... tout comme les axiomes de Peano sont universels en ce qui concerne l'arithmétique.

2. LOG., LOG. FORMELLE

a) Qui convient à tous les individus d'une classe pris un à un. Attribut, prédicat universel. Un terme est universel lorsqu'il est pris dans toute son extension(FOULQ.-ST-JEAN 1969).

b) Proposition universelle. ,,Proposition qui énonce une relation vraie de chacun des individus qui composent l'extension du sujet`` (LAL. 1968). Subst. fém., p. ell. Une universelle. Une proposition universelle. (Dict. XIX^e et XX^e s.).

c) Quantificateur universel. Symbole noté (qui s'énonce pour tout), exprimant qu'une certaine propriété appartient à tous les éléments d'un ensemble. (Dict. XX^e s.).

C'est la raison pour laquelle j'avais parlé de "vérité absolue dans la théorie concernée" dans un de mes précédents messages pour faire comprendre au batracien que l'universalité ne signifie pas que ce soit une vérité absolue qui soit réellement absolue pour tous : la citation de Vuillemin allait d'ailleurs précisément en ce sens, citation que Grenouille Verte a copiée/collée mais n'a visiblement pas comprise.

Grenouille Verte doit nous démontrer :

1) Le 5eme postulat.

C'est même pire que cela puisqu'il parle d'espace euclidien et non d'espaces non-euclidiens... c'est donc un axiome qu'il doit démontrer et non un postulat.

Avec un postulat il aurait encore eu une chance mais avec l'axiome c'est carrément au delà du génie... je dirais même de La Folie à son meilleure...

Oui, c'est vrai que tout dépend du référentiel encore une fois

NB : 5eme postulat d'Euclide = Evident, non-démontrable. Seul le "universel" peut-être remis en cause. J'attends votre magnifique preuve.

Il manque l'un des 3 critères. Donc votyre définition d'axiome ne marche pas.

de plus, vous admettez sans réel argument qu'il est indémontrable.

Seulement il n'est plus utilisé actuellement, même en géométrie euclidienne, comment fait-on sans s'il n'est pas démontrable ?

En fait, La Folie a démontré plus haut que votre interprétation du mot "universel" était quelque peu biaisée

Ce qui voudrait dire que mes 3 critères fonctionnent merveilleusement.

Mais posez-vous la bonne question : pourquoi a-t-on des géométries non-euclidiennes, sachant que ces dernières résultent de la non-application de l'axiome en question ? Si cet axiome était inutile, il n'y aurait pas besoin de définir d'autres géométries se basant sur les axiomes de géo.euclidienne excepté celui-ci.

Mais posez-vous la bonne question : pourquoi a-t-on des géométries non-euclidiennes, sachant que ces dernières résultent de la non-application de l'axiome en question ?

Parce que cet axiome n'est pas universel.

De plus, cet axiome a été remplacé par une autre manière de définir la géométrie euclidenne.

Actuellement, on définit un espace euclidien comme un R-espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire.

Vous pourrez trouver confirmation de cette définition sur les sites mathématiques.net (voir la page sur le produit scalaire euclidien et celle qui donne la définition des espaces euclidiens).

Vous pouvez constater que les espaces euclidiens sont définis sans faire appel à votre axiome. Mais votre axiome sera prouvable à partir de la définition d'espaces euclidiens.

L'universalité ne signifie pas qu'il soit vrai dans toute théorie, relisez la définition donnée du mot "universel". Ce que vous expliquez est qu'on applique un axiome dans une théorie et non dans l'autre, mais cela n'enlève rien à l'universalité en question, vous faites la même erreur que pour ce qui est du dogme : vous raisonnez en absolutiste et pourtant la citation de Vuillemin fait clairement cette distinction des théories : un axiome n'est pas une "vérité nécessaire" écrit-il, il n'y a donc aucune raison de penser qu'il s'agit d'une vérité absolue. Votre interprétation du mot "universel" est biaisée, je vous l'ai déjà dit.

Mais vous ne répondez pas à la question : il est un fait qu'on définit les géométries non-euclidiennes par les axiomes de géométrie euclidienne en excluant l'axiome des parallèles qui ne s'applique pas en géométrie hyperbolique par exemple. Ce qui démontre bien que malgré tout ce que vous pourrez dire sur les scalaires, les axiomes et celui des parallèles, restent indispensables en géométrie. Le fait qu'on puisse définir un espace vectoriel par les scalaires montre simplement qu'il existe une deuxième façon de procéder, mais ceci se limite à l'euclidien pour la bonne et simple raison que les géométries non-euclidiennes restent définies par les axiomes.

L'universalité ne signifie pas qu'il soit vrai dans toute théorie, relisez la définition donnée du mot "universel".

Un axiome qui est parfois vrai est, selon vous, quand même "universellement vrai ?

Vous vous moquez du monde.

il est un fait qu'on définit les géométries non-euclidiennes par les axiomes de géométrie euclidienne en excluant l'axiome des parallèles qui ne s'applique pas en géométrie hyperbolique par exemple.

C'est faux.

On ne définit pas les géométries non-euclidiennes en excluant le 5ème postulat d'Euclide.

On définit ces géométries par d'autres moyens, et on constate et on prouve que dans ces géométries là, ce 5ème postulat n'est pas vérifié.

Vous citez l'exemple peu visuel et complexe de la géométrie hyperbolique. je vous propose de vous pencher plutôt sur l'exemple plus simple et plus classique de la géométrie de la sphère.

Pour définir cette géométrie, rien de plus facile : on considère un espace euclidien de dimension 3 (en 3D donc). On considère ensuite une sphère dans cet espace.

On définit alors une géométrie sur cette sphère en appelant "droite" les grands cercles (c'est-à-dire les cercles dont le centre est le centre de la sphère). Les points restent les points eux.

On a donc définit une nouvelle géométrie avec des points et des "droites". Et on l'a défini sans faire appel à vos postulats. On prouve que sur la sphère votre 5ème postulat est faux.

Un axiome qui est parfois vrai est, selon vous, quand même "universellement vrai ?

Vous vous moquez du monde.

Mauvaise foi.

On vous a mis une définition sous le nez. Si vous ne la comprenez pas nous pouvons vous l'expliquer, mais ne soyez pas désagréable.

C'est faux.

On ne définit pas les géométries non-euclidiennes en excluant le 5ème postulat d'Euclide.

Tiens donc, vous essayez une entourloupette à moins que je ne m'abuse.

1) Il existe des surfaces munies d'autres métriques que la métrique euclidienne, et pour lesquelles les axiomes euclidiens, ces quelques propriétés géométriques fondamentales auxquelles nous sommes si habitués qu'il nous est pénible d'imaginer qu'il puisse en être autrement, ne sont pas nécessairement vérifiées.

2) ce fameux cinquième axiome d'Euclide (par un point extérieur à une droite passe une unique droite parallèle) , qui ne pourra pas être intégré dans l'unification des différentes géométries; dans la géométrie de la sphère, deux "droites" (c'est à dire deux grands cercles) se coupant toujours, la notion de parallélisme strict ne peut avoir de sens, comme pour la géométrie elliptique; nous allons voir plus bas que pour la géométrie hyperbolique, c'est au contraire une infinité de "droites" parallèles qui pourront être exhibées...

Université Montpellier 2 : Initiation à la géométrie.

Vous citez l'exemple peu visuel et complexe de la géométrie hyperbolique. je vous propose de vous pencher plutôt sur l'exemple plus simple et plus classique de la géométrie de la sphère.

Votre raisonnement ne s'applique pas à la géométrie hyperbolique donc vous préférez changer de géométrie non-euclidienne. CQFD.

Pour définir cette géométrie, rien de plus facile : on considère un espace euclidien de dimension 3 (en 3D donc). On considère ensuite une sphère dans cet espace.

On définit alors une géométrie sur cette sphère en appelant "droite" les grands cercles (c'est-à-dire les cercles dont le centre est le centre de la sphère). Les points restent les points eux.

On a donc définit une nouvelle géométrie avec des points et des "droites". Et on l'a défini sans faire appel à vos postulats. On prouve que sur la sphère votre 5ème postulat est faux.

Ce n'est pas mon postulat, c'est celui d'Euclide, ne l'oubliez pas.

C'est romantique de prendre un autre exemple, mais cela ne change rien.

On appelle géométrie non euclidienne une théorie géométrique ayant recours à tous les axiomes et postulats posés par Euclide dans les Éléments, sauf le postulat des parallèles.

Les différentes géométries non euclidiennes sont issues de la volonté de démontrer le cinquième postulat (le postulatd'Euclide) qui semblait peu satisfaisant car trop complexe, et peut-être redondant

Géométrie non euclidienne.

Parmi les postulats d’Euclide, celui qui concerne les droites parallèles a toujours été le plus problématique. Jusqu’au début du XVIIIème siècle, il y eut beaucoup de tentatives pour le démontrer à partir des axiomes et des autres postulats de la géométrie euclidienne. Cependant, un mathématicien italien, G.Saccheri, fut le premier à entreprendre cette démonstration en raisonnant par l’absurde, en 1733. En supposant la négation du postulat des parallèles, il espérait aboutir à une contradiction. En réalité, il avait mis en évidence qu’une autre géométrie était possible, et cette idée lui parut inacceptable.

La géométrie non euclidienne

Les géométries non-euclidiennes sont toutes les géométries qui satisfont non nécessairement tous les axiomes de Hilbert (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) mais sans en contredire aucune (contrairement aux anciens axiomes d'Euclide et en particulier celui sur les parallèles).

Cours de géométries non euclidiennes.

Voyez-vous, contrairement à vous Grenouille Verte, je justifie mes dires. A ce sujet, il vous reste beaucoup de choses à démontrer, relisez les deux dernières pages du topic.

Vous citez l'exemple peu visuel et complexe de la géométrie hyperbolique. je vous propose de vous pencher plutôt sur l'exemple plus simple et plus classique de la géométrie de la sphère.

Votre raisonnement ne s'applique pas à la géométrie hyperbolique donc vous préférez changer de géométrie non-euclidienne. CQFD.

Il s'y applique aussi, mais les définitions sont plus complexes.

je vous ai donné la définition de la géométrie sphérique. Vous prétendez que ça fonctionne différemment avec la géométrie hyperbolique. Donnez nous donc la définition de ces géométries hyperboliques, qu'on puisse regarder si l'axiome que vous mentionnez apparaît ou pas.

Au final je constate que vous n'avez rien trouvé à redire à deux de mes arguments principaux :

• la définition des espaces euclidiens qui ne fait pas référence au 5ème postulat d'Euclide
  
• La géométrie euclidienne dans laquelle on prouve que le ème postulat d'Euclide n'est pas vérifié.
  

Cela fonctionne exactement pareil. Vous inventez des prétentions : les géo non-euclidiennes résultent de la non-application de l'axiome des parallèles, c'est un fait.

Au final je constate que vous n'avez rien trouvé à redire à deux de mes arguments principaux :

• la définition des espaces euclidiens qui ne fait pas référence au 5ème postulat d'Euclide
• La géométrie euclidienne dans laquelle on prouve que le ème postulat d'Euclide n'est pas vérifié.

Faux.

Déjà répondu.

Les géométries non-euclidiennes ont été définies de sorte à ce qu'on puisse prouver que dans ces géométries là le 5ème postulat d'Euclide était faux.

Ce qu'il faut bien voir, c'est que ce 5ème postulat n'est pas un truc qu'on impose comme vrai dès le départ, mais un truc qu'on va prouver vrai dans certaines géométries et faux dans d'autres.

C'est exactement ce qui est dit depuis le début, à la différence qu'il n'y a pas besoin de prouver que l'axiome des parallèles soit faux en géométrie non-euclidienne, car elle est justement non-euclidienne. Au départ il a bien fallu faire la découverte et inventer d'autres géométries dans lequel l'axiome en question ne s'appliquait pas, en revanche aujourd'hui il est carrément inutile de créer la contradiction car par définition l'axiome des parallèles est inapplicable dans un espace non-euclidien.

C'est exactement ce qui est dit depuis le début, à la différence qu'il n'y a pas besoin de prouver que l'axiome des parallèles soit faux en géométrie non-euclidienne, car elle est justement non-euclidienne.

Et comment tu sais qu'elle est non-euclidienne ?

Parce que tu as prouvé que cet axiome était faux dans cette géométrie. C'est comme ça qu'on fait.

Et bien sûr qu'on a eu besoin de prouver que le 5ème postulat d'Euclide était faux dans la géométrie sphérique, dans le demi-plan de Poincaré (géométrie hyperbolique).

Si on ne l'avait pas prouvé, on n'aurait jamais su qu'il existait des géométries non-euclidiennes.

Dites-moi, vous ignorez mes post ? La réponse à votre question était précisément dans la partie du post que vous n'avez pas citée . Aujourd'hui on sait qu'on est dans une géométrie de type non-euclidienne parce que chacune de ces géométries a des théorèmes spécifiques, et en utilisant leur réciproque on ne passe pas obligatoirement par le fait de prouver que l'axiome des parallèles ne s'applique plus. Si l'axiome des parallèles ne s'applique pas, on obtient une géométrie de type non-euclidienne, mais laquelle ? Vous ne trouvez pas que c'est un peu court ?

De plus, vous faites la confusion entre :

1) Un axiome faux.

2) Un axiome qui ne s'applique pas dans une théorie autre que celle pour laquelle il est défini.

C'est pour cette raison que vous ne comprenez pas les subtilités des définitions.