Qu'est-ce qu'un point ?

Un points se définit, je crois, comme intersection de deux segments, droites ou demi-droites. Mais change-t-il en fonction de l'épaisseur des traits? Comment peut-on dire qu'il y a autant de points sur un segment de 2cm que sur un segment de 4cm (une infinité) alors qu'il y a clairement plus de droites paralleles possibles par lesquelles il y aurait intersection? Après peut-être que je suis limité parce que je parle de géométrie euclidienne...

Un points se définit, je crois, comme intersection de deux segments, droites ou demi-droites. Mais change-t-il en fonction de l'épaisseur des traits? Comment peut-on dire qu'il y a autant de points sur un segment de 2cm que sur un segment de 4cm (une infinité) alors qu'il y a clairement plus de droites paralleles possibles par lesquelles il y aurait intersection? Après peut-être que je suis limité parce que je parle de géométrie euclidienne...

Déjà un point sa n'est pas qu'une intersection, qu'est-ce que tu entend dans "changer par l'épaisseur des traits?". sur un segment de deux cm il y en a une infinité car il y a une infinité de chiffre après la virgule même cas pour un segment de 4 cm. Et enfin comment veut tu faire plus que l'infini en parlant des droites parallèles?

Un point est un objet mathématique qui n'a pas de réalité physique. Il n'existe qu'à l'état de concept et possède des représentation comme par exemple l'intersection de deux droites.

Un point n'a pas de dimension. Pour comprendre la notion d'infinité de point dans un segment, je te propose la petite expérience mentale suivante.

Prend un segment de 4cm. Coupe le en deux parties égales. Puis, prends une des deux partie et coupe là en deux parties égales, puis, recoupe encore, et encore et encore, ....

Combien de fois pourras tu faire cela ? ... Tu pourra le faire tant le morceau que tu coupe aura une dimension plus grande que 0, même si cette dimension est toute petite. Seulement, si je prends 4, que je le divise par deux, puis encore par deux, puis encore par deux, ... je n'atteindrais jamais 0. Donc, je pourrais toujours découper mon segment en deux.

Maintenant refait la manip avec un segment de 2cm. Tu obtiendra le même résultat : tu pourra toujours le couper en deux.

Cependant, si on considère qu'un segment est constitué de points, et que les points (par définitions) sont indivisibles, alors, je ne peux couper mon segment que si j'ai au moins 2 points qui le composent. Si j'ai un segment de 2 points, je ne peux le couper en deux qu'une seule fois.

Ce qui signifie que puisque mon segment de 4cm se découpe à l'infini, il a une infinité de point. Et qu'il en va de même pour celui de 2cm.

Pour expliquer cela, car il est clair que un segment de 4cm est plus grand qu'un segment de 2cm, deux approchent principales dominent.

Celle de Galilée, qui dit que les infinis ne sont pas comparable. En gros, dire que 4cm = infini de points et 2cm = infinis de points, ne signifie pas que 2cm = 4cm. Les infini ne se comparent ni par = ni par > ni par <.

La seconde approche, plus moderne est issu de la théorie des ensemble. Dans cette théorie, on défini le nombre cardinal d'un ensemble qui est le nombre d'objet que contient cet ensemble. Le nombre cardinal d'un paquet de cigarettes est Nc=20.

Certains ensemble (cemme celui des nombres réels) ont un Nc infini. La théorie des ensemble dit alors que la définitions d'un ensemble de dimension infini est la suivante :

Un ensemble composé de sous ensemble de même dimension que le tout est un ensemble de Nc infini.

Ce qui signifie, appliqué aux segment de 2 et 4 cm la chose suivante :

Il y a une infinité de points dans un segment de 4cm. Un segment de 4cm est aussi composé de 2 segment de 2cm. Or, il y a une infnité de point dans chacun des 2 segment de 2cm. Donc, un segment de 4cm a un nombre cardinal infini, il est constitué plusieurs sous ensembles qui ont la même dimension que lui.

Cette deuxième approche est beaucoup moins intuitive, et d'autant plus compliquée. Cependant, elle permet à la fois de lever beaucoup de problèmes, et de générer beaucoup de paradoxes

Merci pour vos réponses! En fait j'ai déjà entendu parler d'infinis de différentes tailles ; par exemple il y aurait plus de nombres relatifs (positifs et négatifs) que de nombres entiers (seulement positifs). En fait, prenons un segment AC avec un points B qui lui appartient. Peut-on, à partir de l'ensembles de points de AB et de l'ensemble de points de AC, construire une application (une bijection) telle que, pour chaque points de AB, il lui corresponde un unique points de AC (ce qui reviendrait à dire qu'il y a le même nombre de points sur les deux segments)?

Intuitivement c'est choquant... Surtout si on prend la relation d'identité, qui associe le même points à l'entrée et à la sortie de l'application. Il y aurait clairement des points qui ne seraient jamais atteints (ceux entre B et C) et on aurait bien consommé "tous les points" de AB...

En effet, c'est le paradoxe de Galilée, d'ailleurs. Il est plutôt présenté sous la forme de nombres paires et impaires. Par exemple :

Y a t il plus de nombre pair ou de nombre naturel? ...

On peut penser qu'il y a plus de nombre naturel, puisque touts les pairs sont naturels, et que tous les naturels ne sont pas pairs.

Cependant, il existe bien une bijection de IR dans 2 IR ... La fonction f : x ¿ IN --> 2*x .

Il y en aurait donc autant ? ...

Voila vous avez compris les deux approches ^^

Gallilée dit "ce n'est pas comparable, on ne compare pas deux infinis"

La théorie des ensemble dit "aussi paradoxale que cela puisse paraître, il y a autant de pair que de IN, il y a aussi autant d'impairs que de IN, et donc IN est de dimension infini puisqu'il est composé de deux sous ensemble non concurents eux même de dimension infini".

Voia ^^

Pour l'histoire des segment, on peut trouvé une bijection de AC dans AB :

Pour tout x ¿ AC j'associe y= x*B/C

S'il y a bijection dans un sens, il y a bijection dans l'autre ^^

Merci! En fait j'ai oublié quelque chose (je me rapelle mieux maintenant)! La difficulté serait d'obtenir une bijection de N sur R et donc de prouver que R est dénombrable. Parce que R est bien indénombrable, contrairement à N, et cela démontrerait que le cardinal de R est plus grand que le cardinal de N, même si les deux sont infinis. Je pense aussi que l'analogie avec l'espace a des limites en termes visuels, parce que je ne sais pas comment on pourrait rigoureusement situer un nombre d'une infinité de chiffres après la virgule dans un repère ; il faudrait définir une précision.

Finalement, il faudrait formuler le problème autrement ; est-ce que tu crois que ce serait possible, en oubliant l'histoire de nos deux segments, de faire une bijection entre une droite et une demi-droite (lesquelles se confondraient en partant du début de la demi-droite)? => en prenant R pour les deux ensembles

En fait on a oublié ma question initiale (entre parenthèses, mais c'est quand même très intéressant mdr)

Merci! En fait j'ai oublié quelque chose (je me rapelle mieux maintenant)! La difficulté serait d'obtenir une bijection entre N sur R et donc de prouver que R est dénombrable. Parce que R est bien indénombrable, contrairement à N. Je pense quand même que l'analogie avec l'espace a aussi ses limites, parce que je ne sais pas comment on pourrait rigoureusement situer un nombre d'une infinité de chiffres après la virgule dans un repère ; il faudrait définir une précision.

Trace un cercle : tu as pi

Trace la diagonale d'un carré de côté 1 : Tu as racine de 2 ...

Les deux plus fameux

Finalement, il faudrait formuler le problème autrement ; est-ce que tu crois que ce serait possible, en oubliant l'histoire de nos deux segments, de faire le calcul entre une droite et une demi-droite (lesquelles se confondraient en partant du début de la demi-droite)?

Pouvez répéter la question ??

Trace un cercle : tu as pi

Trace la diagonale d'un carré de côté 1 : Tu as racine de 2 ...

Les deux plus fameux

Le problème pourrait se résumer au fait que l'espace mathématique ne serait pas l'espace physique..

Sinon, je voudrais dire que je bloque sur une bijection entre deux ensembles de points appartenant à R dans l'ensemble de définition R et R+ (par exemple), constituant donc une droite et une demi droite qui se confondent partiellement.

Vive la fonction exponentielle mdr!

Finalement, il faudrait formuler le problème autrement ; est-ce que tu crois que ce serait possible, en oubliant l'histoire de nos deux segments, de faire une bijection entre une droite et une demi-droite (lesquelles se confondraient en partant du début de la demi-droite)? => en prenant R pour les deux ensembles

Si tu veux une bijection entre R et R⁺, il suffit de prendre 2^x.

Par contre je ne comprend pas bien ce que tu veux dire par "se confondraient en partant du début de la demi-droite".

Je viens de penser à une autre expérience.

Si les infinis sont incomparables, imaginons deux segments, chacun étant donc constitué d'une infinité de points. Chacun de ces deux ensembles (entiers naturels et nombres réels) sont bien de cardinal infini.

Au premier segment, chaque points correspond à un entier naturel. Au second segment, chaque points correspond à un nombre réel.

Or il n'existe pas de bijection entre les deux ensembles. Pourrions-nous donc admettre qu'il y aie un nombre de points différent sur les deux segments?

En effet, je ne vois pas de bijection entre les deux. Mais en réalité, je ne pense pas qu'on puisse tout de même comparer les infinis. En fait, je peux me permettre de rajouter une infinité d'élément à IN, tout en considérant qu'il n'a pas changé de dimension :

Par exemple :

Je prends l'ensemble IN dans son intégralité. Il est "plein". Maintenant, (je repars sur les pairs... ) je multiplie chacun des éléments par deux. :

n ---> 2n

Je n'est pas changé le nombre d'élément à priori car j'ai appliqué une bijection. Maintenant, je prend mon nouvel ensemble et je lui rajoute tous les impairs...

J'ai donc un emsemble qui a la dimension de IN, je rajoute une infinité de point et j'obtiens... IN ... Qui a fatalement la même dimension que lui même...

Donc au final, j'ai pris une infinité de point, j'en ai rajouté une infinité, et je n'ai pas modifié la dimension.

On peut imaginer que cela fonctionne avec les réel : Je prends IN, je lui rajoute une infinité de membre (tous les IR sauf les IN) et j'obtiens (pourquoi pas) un ensemble de la même dimension que IN. Et c'est l'ensemble IR...

Mais j'avoue que je suis bien peu sûr de moi là

Je prends l'ensemble IN dans son intégralité. Il est "plein". Maintenant, (je repars sur les pairs... ) je multiplie chacun des éléments par deux. :

n ---> 2n

Je n'est pas changé le nombre d'élément à priori car j'ai appliqué une bijection. Maintenant, je prend mon nouvel ensemble et je lui rajoute tous les impairs...

J'ai donc un emsemble qui a la dimension de IN, je rajoute une infinité de point et j'obtiens... IN ... Qui a fatalement la même dimension que lui même...

L'ensemble d'arrivée de ton application est-ce IN ou 2IN? La réunion se fait ensuite avec 2IN+1. Mais je soutiens pleinement ta démonstration, puisque j'imagine que même avec l'hypothèse d'infinis plus grands que d'autres, la différence devrait se faire principalement entre infinis dénombrables et infinis indénombrables.

On peut imaginer que cela fonctionne avec les réel : Je prends IN, je lui rajoute une infinité de membre (tous les IR sauf les IN) et j'obtiens (pourquoi pas) un ensemble de la même dimension que IN. Et c'est l'ensemble IR...

En fait on pourrait plutôt prendre les nombres rationnels IQ, puisqu'il s'agit du plus grand sous-ensemble dénombrable de IR et tenter d'ajouter une infinité de membres afin de recomposer IR. A vue de nez, il faudrait ajouter une infinité de membres de suites elles-mêmes infinies. Par exemple on rajouterait à IQ l'ensemble de tous les nombres irrationnels compris entre deux nombres rationnels, qui est lui-même infini. Mais comme il y a une infinité de nombres rationnels, il faut faire cette opération elle-même une infinité de fois. Pas si simple!

Je viens de penser à une autre expérience.

Si les infinis sont incomparables, imaginons deux segments, chacun étant donc constitué d'une infinité de points. Chacun de ces deux ensembles (entiers naturels et nombres réels) sont bien de cardinal infini.

Au premier segment, chaque points correspond à un entier naturel. Au second segment, chaque points correspond à un nombre réel.

Or il n'existe pas de bijection entre les deux ensembles. Pourrions-nous donc admettre qu'il y aie un nombre de points différent sur les deux segments?

Pour que ta phrase en gras soit correcte, tu doit altèrer une définition. Soit celle du point, soit celle du segment. Tu ne peut pas faire une bijection des mêmes objets (les points d'un segment) à la fois sur les nombres réels et sur les nombres entiers.

Voilà une représentation de ce problème : http://www.jesuiscultive.com/spip.php?article104

aleph0 et aleph1 sont distincts, un démonstration intuitive est la suivante :

Considérant que l'on zappe tout ce qui est <0 (parce que ça n'apporte rien, les talbes suivantes étant symétriques, on ne représentera que la partie positive.)

si on voulait représenter aleph0 (cardinalité des naturels) la représentation est infinie dans une dimension :

axe entiers -->

0 1 2 3 4  ....

si on voulait représenter aleph1 (cardinalité des réels) la représentation est infinie dans 2 dimensions :

         axe avant la virgule -->

axe      0       1      2      3       4     ....

après   0.1    1.1    2.1   3.1    4.1

la        0.2    1.2    2.2   3.2    4.2

virgule 0.3    1.3    2.3   3.3    4.3

            (l'entier suivi de .4 à .9)

|         0.9    1.9    2.9   3.9    4.9

|         0.11  1.11  2.11  3.11  4.11

v         0.12  1.12  2.12  3.12  4.12

          ...

(pour la ligne suivante, on fait tous les diziènes, puis tous les centième non dizièmes, puis les millièmes non centièmes, etc...)

Faire une bijection entre ces 2 représentations est impossible, on peut seulement faire une bijection entre une ligne ou une colonne de la représentation de aleph1 et aleph0. On a un truc qui ressemble intuitivement à aleph1 = aleph0 ² (bien que ce ne soit pas si simple, ça voudrait dire que aleph1 est un infini d'infinis, là où aleph0 n'est qu'un infini 8é ...) 

Les notions de cardinalité sont très complexes. Voilà de quoi y réfléchir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aleph_(nombre)

Un point est un concept, il a une coordonnée, mais pas de dimension.

Là ou ça devient drôle, c'est qu'on défini le point comme l'intersection de deux droites et la droite comme ensemble de points alignés.... qui de la poule à pondu l'¿uf ?

Euh ,juste comme ça, sans point ,point de droite ,alors que sans droite,il peut quand même exister un point ou plusieurs séparés par un espace de la taille d'un point .

A moins qu'un point puisse représenter une droite mais ça m'étonnerais car un point est la plus petite partie existentielle et une droite est existante à travers la continuité de plusieurs points (au moins deux).