Pour tout x appartenant à l'ensemble vide

Bon vous n'avez juste pas compris l'énoncé du raisonnement par récurrence.

En 2) il est dit "Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle est satisfaite par son successeur, c'est-à-dire par le nombre entier n+1."

Vous avez interprété ça comme étant un entier naturel PARTICULIER alors qu'il doit s'agir d'un entier QUELCONQUE!!

Je préfère même l'énoncé suivant, qui dit la même chose mais de façon beaucoup plus formel mathématiquement, et qui a au moins le mérite de ne pas venir de wikipédia :

Soit P une propriété définie sur ℕ (ou un intervalle I de ℕ)

Si :

· La propriété est INITIALISÉE à un certain rang n0 (C'est-à-dire : P(n0) est vraie)

· La propriété est HÉRÉDITAIRE à partir du rang n0 (C'est-à-dire : pour tout n ≥ n0, P(n) ⇒ P(n + 1))

Alors :

La propriété est vraie à tout rang plus grand que n0.

Source : http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/p_r_r.pdf

Bon vous allez quand même surement me sortir une histoire d'ambigüité d'interprétation, mais là je vous dit : non...

Ensuite pour revenir aux variables, et bien je vous donne volontiers un lien extérieur, bon il s'agit de wikipédia mais cela reste bien :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Variable_%28math%C3%A9matiques%29

Et même la version anglaise, un peu plus détaillée : http://en.wikipedia.org/wiki/Free_variables_and_bound_variables

De plus ,vous avez fait de l'informatique, et selon moi une variable informatique ne peut prendre qu'une valeur à la fois... Ou alors j'ai besoin d'explication...

Enfin ce n'est pas d'informatique qu'il s'agit ici...

Et pas de faux rabaissement "moi je suis pas intelligent", "je suis simple d'esprit", je trouve ça tout aussi mesquin que de dire que l'autre est bête.

Sans doute vous allez me dire que je vous ai dit que vous ne compreniez pas certains principes mathématiques, mais là il s'agit clairement d'un fait parce que sinon je ne m'embêterai pas à vous les expliquer...

Je suis d’accords pour qu'il puisse y avoir des ambigüités sur le sujet initial, mais pas sur le reste...

Bon vous n'avez juste pas compris l'énoncé du raisonnement par récurrence.

En 2) il est dit "Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre entier naturel n, alors elle est satisfaite par son successeur, c'est-à-dire par le nombre entier n+1."

Vous avez interprété ça comme étant un entier naturel PARTICULIER alors qu'il doit s'agir d'un entier QUELCONQUE!!

A priori 0 est un entier quelconque, un parmi une infinité d'autres... comme n'importe quel entier. Il n'avait rien de particulier et le fait de le choisir n'était que le fruit du hasard voulant que je commence simplement par le premier.

A postériori il vous semblera particulier tout simplement parce que c'est la seule paire qui confirme la proposition.

0 ne serait pas un certain nombre entier selon vous... ce ne serait pas un entier quelconque... qu'à-t-il de particulier dites-moi...

Soit P une propriété définie sur ℕ (ou un intervalle I de ℕ)

Si :

· La propriété est INITIALISÉE à un certain rang n0 (C'est-à-dire : P(n0) est vraie)

· La propriété est HÉRÉDITAIRE à partir du rang n0 (C'est-à-dire : pour tout n ≥ n0, P(n) ⇒ P(n + 1))

Alors :

La propriété est vraie à tout rang plus grand que n0.

Source : http://gilles.costan...hiers/p_r_r.pdf

Bon vous allez quand même surement me sortir une histoire d'ambigüité d'interprétation, mais là je vous dit : non...

Dites-moi... l'expression ''Pour tout X'' voudrait-il dire ''Pour tous les X'' selon vous... car si c'est le cas alors on perd la notion de ''quel que soit X'' ou de ''Peu importe lequel des X'' au profit de la notion de totalité ou de sans exception...

- Soit P une propriété définie sur ℕ (ou un intervalle I de ℕ)

P(X) tel que X²=X

- La propriété est INITIALISÉE à un certain rang n0 (C'est-à-dire : P(n0) est vraie)

P(X0) tel que 0*0 = 0 est vraie.

- La propriété est HÉRÉDITAIRE à partir du rang n0 (C'est-à-dire : pour tout n ≥ n0, P(n) ⇒ P(n + 1))

X = 0 donc 0 ≥ 0 et quel que soit X ≥ 0 , P(0) soit 0*0 = 0 ⇒ P(0+1) soit 1*1 = 1

Alors la propriété est vraie à tout rang plus grand que 0.

Sinon on pourrait vérifier que la propriété est vraie pour tous les entiers en vérifiant toutes les paires une par une... mais quel serait alors l'utilité de définir un tel principe puisque justement cette vérification est impossible étant donné la quantité infinie d'entiers naturels.

Sans doute est-ce la raison pour laquelle, par principe, on dit que si la propriété s'applique à une seule paire et au 0 alors elle s'applique à tous les entiers.

De plus ,vous avez fait de l'informatique, et selon moi une variable informatique ne peut prendre qu'une valeur à la fois... Ou alors j'ai besoin d'explication...

Mais évidemment que ce que vous dites est exact, là n'est pas la question... la question est plutôt que vous n'avez pas été capable de formaliser ce fait tout simple pour me montrer hors de tout doute et sans ambiguïté que vous aviez objectivement raison... passant même par le fait que ce cher Gallium niait qu'une variable puisse remplacer un ensemble ou tout objet mathématiques quels qu'ils soient.

Et pas de faux rabaissement "moi je suis pas intelligent", "je suis simple d'esprit", je trouve ça tout aussi mesquin que de dire que l'autre est bête.

Cessez de m'insulter cher Pyro89, être simple d'esprit et esprit simple est une qualité pour moi... une qualité voulant que je n'avance qu'à petit pas et en simplifiant le plus possible les choses pour pouvoir les comprendre.

Mon intelligence est différente de la vôtre et c'est tout.

Sans doute vous allez me dire que je vous ai dit que vous ne compreniez pas certains principes mathématiques, mais là il s'agit clairement d'un fait parce que sinon je ne m'embêterai pas à vous les expliquer...

Et qui serait donc le plus bête des deux... celui qui dirait de l'autre qu'il le serait sans même se rendre compte de la teneur de son discours... ou celui qui dirait ne pas comprendre en montrant que le contraire est tout aussi logique alors qu'il sait fort bien que la notion ou l'intuition du temps ne serait pas formelle en mathématique et en logique alors que l'argument principal repose sur le fait de la notion ''en même temps ou non'' qui est justement basée sur la compréhension du temps.

Je vous le dit et je vous le répète... je suis esprit simple et simple d'esprit... tout en simplicité et un pas à la fois.

Vous en faites ce que vous voulez.

OK.

Bon je vais alors essayer de vous expliquer pas à pas.

Premièrement la fait qu'une variable ne peut prendre qu'une valeur "à la fois" ne se démontre pas.

D'ailleurs il ne faut pas raisonner comme cela. J'admets ici une erreur.

Mais bon il s'agit d'un concept mathématique.

Si vous avez lu les liens que j'ai donné (et je l'espère), une variable sert à remplacer quantité d'objets mathématiques.

Par exemple si on a y=2*x, en considérant x un réel, alors x et y sont tout les deux des variables, mais chacune dépendant de l'autre.

La seule propriété que l'on peut ensuite dire sur ces variables c'est "x est la moitié de y" ou "y est le double de x".

L'intérêt d'une variable c'est qu'on peut la remplacer par un des objets qu'elle représente.

Par exemple on peut se demander "quel est y quand x=2" dans ce cas on remplace x par 2 et on a y=4. Mais cela veut juste dire que y doit être remplacé par 4 dans la formule pour qu'elle reste vraie.

Ensuite pour le raisonnement par récurrence, j'avoue que j'ai du mal à saisir la différence que vous sembler voir entre "Pour tout n" et "quelque soit n" qui pour moi signifient la même chose.

"0 ne serait pas un certain nombre entier selon vous... ce ne serait pas un entier quelconque... qu'à-t-il de particulier dites-moi..."

Là j'ai du mal à saisir votre logique.

0 est bien un entier PARTICULIER tout simplement par que vous avez choisit un entier parmi les autres.

Dans le raisonnement par récurrence, on établie l'hérédité en prenant la variable N, qui doit pourvoir être remplacé par n'importe quel entier supérieur à n0.

Dans votre cas l'hérédité n'est clairement pas valable puisque elle n'est valide que pour N=0 et N=1. Elle n'est donc pas valide quelque soit N supérieur ou égal à n0=0.

Oui on montre que la propriété s'applique à une paire, mais pas une paire particulière, une paire quelconque, c'est à dire où les valeurs ne sont pas choisi, et que l'on représente par N.

Dans le lien que je vous ai donné il y a un bon exemple de raisonnement pas récurrence, cela devrait vous permettes de mieux comprendre.

Ensuite je vous pris de m'excuser pour la mesquinerie et la fermeture d'esprit dont j'ai fais preuve précédement. Certes chacun à son intelligence et ce n'est pas une raison pour établir une relation de supériorité de l'une par rapport à l'autre. Je suis de ceux qui s'énervent facilement lorsque qu'un autre ne comprend pas ce que eux comprennent.

Et bon je n'ai jamais été très pédagogue, et j'ai toujours eu du mal à expliquer aux autres, surtout par internet interposé. Donc je vais beaucoup me répéter et parfois me rendre compte que j'ai dit des bêtises. Pour l'instant ça va.

passant même par le fait que ce cher Gallium niait qu'une variable puisse remplacer un ensemble ou tout objet mathématiques quels qu'ils soient.

Voyez vous, soit X une variable réelle, penser que X=ℝ n'est pas ce que je trouve de plus judicieux. En revanche X∈ℝ convient beaucoup mieux.

Concernant les autres objets mathématiques, nous n'en avons pas parlé, je ne vois donc pas comment vous pouvez affirmer avec tant de certitude que je "niais". Nous n'avons pas évoqué les changements de variable par exemple, du genre X=1/x qui sont un exemple d'objet mathématique.

OK.

Bon je vais alors essayer de vous expliquer pas à pas.

...

Ensuite pour le raisonnement par récurrence, j'avoue que j'ai du mal à saisir la différence que vous sembler voir entre "Pour tout n" et "quelque soit n" qui pour moi signifient la même chose.

Un pas à la fois... on retourne donc au premier.

Vous avez du mal à saisir la différence entre ''Pour tout X'' et ''Quel que soit le X'' ou ''Peu importe le X'' tout simplement parce qu'il n'y en a pas... mais surtout ce n'était pas ce qui vous était demandé, vous pouvez relire mais je me permets de vous le rappeller :

Dites-moi... l'expression ''Pour tout X'' voudrait-il dire ''Pour tous les X'' selon vous...

Concernant les autres objets mathématiques, nous n'en avons pas parlé, je ne vois donc pas comment vous pouvez affirmer avec tant de certitude que je "niais".

Un ensemble fait partie de ce qu'on appelle ''Tout objet mathématique''... si vous niez le fait que la variable peut remplacer un ensemble alors vous niez le fait qu'elle peut remplacer ''tout objet mathématique''.

Il n'était nullement question des autres objets mathématiques... seulement de ce qu'implique l'expression ''Tout objet mathématique''.

Connaissez-vous la différence entre vous et ce cher Pyro89, cher Gallium... elle est simple, un de vous deux a répondu à la question de ce topic alors que l'autre ne l'a pas fait... devinez lequel...

Vous comprendrez donc que tant que vous n'y répondrez pas alors je ne vous répondrez plus, car je ne trouve pas ça judicieux... tout est question d'intention.

Pour répondre à votre question La Folie :

Dites-moi... l'expression ''Pour tout X'' voudrait-il dire ''Pour tous les X'' selon vous...

Je dirais que oui, même si la formulation "Pour tous LES X" me gène un peu...

Enfin je préfère vous laissez continuer.

Tu ne semble pas avoir compris.

Je répète : le raisonnement par l'absurde consiste à faire une hypothèse fausse, à prouver qu'à partir de cette hypothèse on arrive à une contradiction, ce qui prouve que l'hypothèse est bien fausse (si jamais l'hypothèse de départ était vraie, on ne peut pas arriver à montrer la contradiction).

Et non...

Vous confondez 2 choses...

- Faux

et

-Négation

Un raisonnement par l'absurde consiste à valider une proposition en montrant que sa négation conduit à une contradiction... il n'est nullement question de faire une hypothèse fausse mais de poser l'hypothèse contraire, la négation de cette hypothèse.

Dire que la négation conduit à une contradiction, c'est dire que la négation est fausse.

le problème est que vous ne faite pas le lien entre "contradictoire" et "faux".

Tout ce qui est contradictoire est faux.

vu auriez remarqué que je considère que la première proposition du problème initial (il existe X dans l'ensemble vide tel que P(x)) n'est pas définie

Intuitivement, cette proposition est définie : elle dit qu'il existe quelque chose dans l'ensemble vide.

C'est un peu comme avoir une bourse vide et dire "Il y a un billet de 100€ dans la bourse". Ce n'est pas "indéfini", c'est faux, car la bourse est vide.

En mathématique, l'expression "il existe X appartenant à l'ensemble vide tel que P(X)" est bien définie (dès lors que P(X) est bien défini.

Pour cela, il suffit de regarder la définition des quantificateurs.

Une variable X ne prend qu'une seule valeur à un instant donné. Une variable ne peut pas être égale à un ensemble à plusieurs éléments, mais peut prendre différentes valeurs d'un ensemble à plusieurs éléments.

Petite précision : tout dépend dans quoi la variable X varie. Si X est une variable de P(N) (l'ensemble des parties de N, l'ensemble des entiers naturels), alors X peut être un ensemble à plusieurs éléments.

Mais je comprends bien ce que tu cherches à dire : il ne faut pas confondre :

• pouvoir être égale à certaines valeurs d'un ensemble, par exemple, être égal à 6 ou à 7.
  
• être égal à cet ensemble, par exemple X = {6;7}
  

Soit X une variable réelle.

"X=ℝ" est faux (sauf selon La Folie)

"X∈ℝ" est vrai.

Tout à fait. Les deux conclusions découlent logiquement de l'affirmation " X est une variable réelle"

Soit X=4

X∈{4} (cas de singleton, d'où la définition qui parle d'ensemble)

Exactement.

On pourra aussi rajouter que X∈{4;5;6}, ce qui est une conséquence directe de X∈{4}.

Soit X un diviseur de 42

X∈{1;2;3;6;7;14;21;42}

Si X est un diviseur de 42,

X=1 OU X=2 OU X=3 OU X=6 OU X=7 ... OU X=42.

X ne peut pas être égal à 6 et à 7 en même temps, sinon cela signifierait que 6=7 : absurde et faux.

Bon commençons par mettre certaines choses au clair :

1 : OUI, une variable peu être un ensemble, mais cela ne veux pas dire qu'elle prend les valeurs de l'ensemble. Désolé de vous décevoir Gallium mais La Folie a raison. su ce point.

Les ensembles d'ensembles existent

(d'ailleurs on peu montrer facilement qu'un ensemble ne peu pas appartenir à lui même)

J'aimerais voir ta preuve. :dev:

En réalité, il est impossible de démontrer dans la théorie des ensembles qu'un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même. Donc, j'ai des doutes sur le "montrer facilement". :p

Certains mathématiciens travaillent avec des ensembles qui s'appartiennent à eux-mêmes. Typiquement, des ensembles solutions de l'équation a={a} ont des propriétés intéressantes.

Imaginons cher Gallium que vous posiez une question toute simple à vos élèves, se résumant en une seule proposition ou énoncé... que vous leur demandez de dire si X qui est un un facteur ou diviseur de 42 est pair ou impair.

Cela dépend de la valeur de X.

Vous n'avez pas donné assez d'information pour qu'on puisse en déduire si X est pair ou impair.

Imaginez que je vous décrive un bateau dont le capitaine est un ami. Je vous dit que le bateau fait 12m de long, qu'il a deux mats, qu'il est blanc et rouge.

Si je vous demande "Quel est l'âge du capitaine ?" est-ce que vous aurez assez d'information pour répondre ? Pourrez-vous à partir de ces seuls indices me dire quel est l'âge de mon ami capitaine ?

Ici, c'est la même chose, vous n'avez pas donné suffisamment d'indices, d'information pour qu'on puisse savoir si X est pair ou impair.

Une variable X ne prend qu'une seule valeur à un instant donné. Une variable ne peut pas être égale à un ensemble à plusieurs éléments, mais peut prendre différentes valeurs d'un ensemble à plusieurs éléments.

Petite précision : tout dépend dans quoi la variable X varie. Si X est une variable de P(N) (l'ensemble des parties de N, l'ensemble des entiers naturels), alors X peut être un ensemble à plusieurs éléments.

Mais je comprends bien ce que tu cherches à dire : il ne faut pas confondre :

• pouvoir être égale à certaines valeurs d'un ensemble, par exemple, être égal à 6 ou à 7.
  
• être égal à cet ensemble, par exemple X = {6;7}
  

Soit X une variable réelle.

"X=ℝ" est faux (sauf selon La Folie)

"X∈ℝ" est vrai.

Tout à fait. Les deux conclusions découlent logiquement de l'affirmation " X est une variable réelle"

Soit X=4

X∈{4} (cas de singleton, d'où la définition qui parle d'ensemble)

Exactement.

On pourra aussi rajouter que X∈{4;5;6}, ce qui est une conséquence directe de X∈{4}.

Soit X un diviseur de 42

X∈{1;2;3;6;7;14;21;42}

Si X est un diviseur de 42,

X=1 OU X=2 OU X=3 OU X=6 OU X=7 ... OU X=42.

X ne peut pas être égal à 6 et à 7 en même temps, sinon cela signifierait que 6=7 : absurde et faux.

Heureux que nous puissions être d'accord sur une chose au moins une fois

Un raisonnement par l'absurde consiste à valider une proposition en montrant que sa négation conduit à une contradiction...

C'est encore une fois, je vous le répète, ce que dit textuellement le dictionnaire. Si vous n'en comprenez pas la signification alors c'est votre problème.

Vous confondez encore deux choses...

- Faux

- Contradictoire

Dire que la négation conduit à une contradiction, c'est dire que la négation est fausse.

Vous confondez encore deux choses...

- Être contradictoire

- Conduire à une contradiction.

Dire que c'est contradictoire c'est dire que la proposition et sa négation ont la même valeur de vérité... si la proposition originale est posée comme vraie alors sa négation est vraie elle aussi ... si la proposition originale est posée comme fausse alors sa négation est fausse aussi.

Mais une proposition qui contient déjà une contradiction ne conduit pas à une contradiction... elle est contradictoire et donc logiquement absurde sans même que l'on ait besoin d'un raisonnement pour le montrer.

le problème est que vous ne faite pas le lien entre "contradictoire" et "faux".

Tout ce qui est contradictoire est faux.

Ben non... encore une fois vous noyer le poisson. Ce qui est contradictoire implique 2 positions contraires et en logique cela implique que l'une de ces position doit être vraie et que l'autre doit être fausse... ainsi deux propositions contraires ayant la même valeur de vérité ce n'est pas faux, c'est simplement illogique, donc absurde.

Revenons au point de départ... ce qui est absurde n'a pas de sens et ce qui est faux à le sens d'être faux... en aucun temps ce qui est faux n'aurait pas de sens puisque si ça n'avait pas de sens ce serait illogique et que vrai et faux sont des valeurs de vérité qui sont logiques à la base...

Intuitivement, cette proposition est définie : elle dit qu'il existe quelque chose dans l'ensemble vide.

Il existe une proposition définie qui n'est pas définie... cette proposition est-elle définie ou ne l'est-elle pas...

Dire qu'une chose n'est pas ce qu'elle est n'est en aucun temps définir cette chose... absurde et illogique.

C'est un peu comme avoir une bourse vide et dire "Il y a un billet de 100€ dans la bourse". Ce n'est pas "indéfini", c'est faux, car la bourse est vide.

Ben non puisqu'elle est vide et qu'il y a un billet de 100€... c'est indéfini puisqu'elle est vide et n'est pas vide... puisqu'il y a quelque chose et rien dedans.

- Qu'y a t-il dans l'ensemble...

- Quelque chose...

- Et quel est ce quelque chose...

- Rien...

- Dans ce cas y-a-t-il quelque chose ou non dans l'ensemble...

- Ben... 100€ c'est rien, non ?

En mathématique, l'expression "il existe X appartenant à l'ensemble vide tel que P(X)" est bien définie (dès lors que P(X) est bien défini.

Pour cela, il suffit de regarder la définition des quantificateurs.

Tout en oubliant ce que signifie être défini... car on ne peut définir une chose qui n'existe pas, on ne peut que définir le fait que ça n'existe pas.

Absurde de dire qu'elle existe, cette chose qui n'existe pas... qu'elle est, cette chose qui n'est pas... qu'elle est définie, cette chose indéfinie.

Vous confondez encore deux choses...

Vous confondez encore deux choses...

- Être contradictoire

- Conduire à une contradiction.

C'est la même chose.

"Conduire à une contradiction" est une périphrase pour "contradictoire". Littéralement, dire qu'une proposition A "conduit à une contradiction signifie que par un raisonnement, on peut déduire de A une contradiction.

Or, si on peut déduire de A une contradiction, c'est que A est contradictoire.

La réciproque est triviale.

Mais une proposition qui contient déjà une contradiction ne conduit pas à une contradiction...

Si. A partir d'une proposition contradictoire on peut TOUT déduire, par exemple, on peut en déduire n'importe quelle contradiction.

Imaginons cher Gallium que vous posiez une question toute simple à vos élèves, se résumant en une seule proposition ou énoncé... que vous leur demandez de dire si X qui est un un facteur ou diviseur de 42 est pair ou impair.

Cela dépend de la valeur de X.

Vous n'avez pas donné assez d'information pour qu'on puisse en déduire si X est pair ou impair.

Imaginez que je vous décrive un bateau dont le capitaine est un ami. Je vous dit que le bateau fait 12m de long, qu'il a deux mats, qu'il est blanc et rouge.

Si je vous demande "Quel est l'âge du capitaine ?" est-ce que vous aurez assez d'information pour répondre ? Pourrez-vous à partir de ces seuls indices me dire quel est l'âge de mon ami capitaine ?

Ici, c'est la même chose, vous n'avez pas donné suffisamment d'indices, d'information pour qu'on puisse savoir si X est pair ou impair.

Si vous aviez le moindrement l'intention d'être sérieux plutôt que de vouloir ridiculiser alors vous auriez limité votre exemple à quelque chose du genre de :

- Sachant que X est l'âge d'un capitaine...

- Pouvez-vous me dire si le dernier chiffre de son âge est un 2.

Mais vous avez tout de même saisi sans vous en rendre compte le sens de mon exemple... montrer le vague, le côté incomplet et l'ambiguïté des termes.

Vous confondez encore deux choses...

Vous confondez encore deux choses...

- Être contradictoire

- Conduire à une contradiction.

C'est la même chose.

"Conduire à une contradiction" est une périphrase pour "contradictoire". Littéralement, dire qu'une proposition A "conduit à une contradiction signifie que par un raisonnement, on peut déduire de A une contradiction.

Or, si on peut déduire de A une contradiction, c'est que A est contradictoire.

La réciproque est triviale.

Mais une proposition qui contient déjà une contradiction ne conduit pas à une contradiction...

Si. A partir d'une proposition contradictoire on peut TOUT déduire, par exemple, on peut en déduire n'importe quelle contradiction.

C'est bien ce que je vous disais... vous confondez deux choses.

Être contradictoire ne veut nullement dire que l'on conduit à une contradiction puisqu'il faut tout d'abord conduire à une contradiction pour ensuite être contradictoire...

Il faut vous conduire jusque là pour que vous puissiez dire que vous êtes là... si je vous conduis jusquue là alors c'est que vous n'y êtes pas... tout comme être fou et conduire à la folie sont deux choses distinctes... car si ça vous conduit à la folie c'est que vous n'êtes pas encore fou.

Être fou ne conduit pas à la folie... cela veut dire que vous l'êtes déjà... il ne faut pas confondre les deux.

Être contradictoire ne conduit pas à une contraction... cela veut dire que ça l'est déjà... il ne faut pas confondre les deux.

(d'ailleurs on peu montrer facilement qu'un ensemble ne peu pas appartenir à lui même)

J'aimerais voir ta preuve. :dev:

En réalité, il est impossible de démontrer dans la théorie des ensembles qu'un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même. Donc, j'ai des doutes sur le "montrer facilement". :p

Certains mathématiciens travaillent avec des ensembles qui s'appartiennent à eux-mêmes. Typiquement, des ensembles solutions de l'équation a={a} ont des propriétés intéressantes.

Oui facile.

Considérons que des ensembles peuvent s'appartenir à eux même.

Soit A = { X ensemble ; X ∉ X }

A est donc l'ensemble des ensemble qui ne s'appartiennent pas à eux même.

Ensuite soit A ∈ A soit A ∉A.

1er cas : A ∈ A, donc A appartient à A par hypothèse et A n'appartient pas à A par définition de A ==> contradiction donc faux

2ème cas : A ∉A, donc A ,'appartient pas à A par hypothèse et A appartient à A par définition de A ==> contradiction donc faux

Voilà qui fini la démonstration ^^

(vu en cours de math, prépas MP 2ème année)

Ensuite pour les histoires de contradiction je pense que vous ne faites que joue sur les mots en interprétant différemment les définitions en français et non pas ce que ces termes représentent en mathématiques... Et cher La Folie je pense que vous ne vous basez pas assez là-dessus.

Ensuite pour l'histoire de la bourse vide de Grenouille Verte franchement j'ai des doutes sur sa validité :-S

Oui facile.

Considérons que des ensembles peuvent s'appartenir à eux même.

Soit A = { X ensemble ; X ∉ X }

A est donc l'ensemble des ensemble qui ne s'appartiennent pas à eux même.

Ensuite soit A ∈ A soit A ∉A.

1er cas : A ∈ A, donc A appartient à A par hypothèse et A n'appartient pas à A par définition de A ==> contradiction donc faux

2ème cas : A ∉A, donc A ,'appartient pas à A par hypothèse et A appartient à A par définition de A ==> contradiction donc faux

Voilà qui fini la démonstration ^^

(vu en cours de math, prépas MP 2ème année)

C'est le paradoxe de Russel. Pourquoi dis-tu que ça montre qu'un ensemble ne peut pas s'appartenir à lui-même ?

Si tu relis ton cours de prépa, tu verras que ton prof n'en tirait pas la même conclusion. Il en déduisait que ton A n'existe pas (en fait, tu définis A, mais tu ne vérifie pas l'existence de A).

On peut aussi montrer que B = {X ensemble ; X = X} n'existe pas non plus. En fait, cela signifie que les propriétés X ∉ X et X = X ne sont pas collectivisantes.

Ton prof de prépa a dû te dire qu'on avait le droit d'écrire { X ∈ N ; X est pair } ou { X ∈ N ; X = X } mais pas { X ensemble ; X = X }.

En effet :

• les éléments d'un ensemble vérifiant une propriété P forment un ensemble (par exemple les éléments de l'ensemble N des entiers naturels qui sont pairs forment un ensemble).
  
• par contre, les ensembles vérifiant une certaine propriété P ne forment pas nécessairement un ensemble. Ainsi il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles, ni d'ensemble des ensembles qui ne s'appartiennent pas à eux mêmes.
  

En fait, quand tu définis un ensemble avec les accolades { } il te faut :

• une propriété
  
• un ensemble de base
  

Exemple : { X ∈ N ; X est pair }

La propriété est "X est pair", l'ensemble de base est N.

Toi, tu utilises la propriété X ∉ X, mais tu n'as pas d'ensemble de base, c'est pour ça que ton A n'existe pas.

En réalité, les axiomes de la théorie des ensembles ne sont pas suffisant pour montrer qu'il n'existe pas d'ensembles A tels que A ∈ A.

On le montre par un argument de théorie des modèles. on considère un "modèle" de la théorie des ensembles, et on définit une relation ∈' qui est différente de la relation ∈ mais qui :

• satisfait tous les axiomes de la théorie des ensembles
  
• telle qu'il existe un ensemble a tel que a ∈'a.
  

Question : Penses-tu qu'il puisse exister des ensembles A et B tels que A ∈ B ∈ A ?