Pour tout x appartenant à l'ensemble vide

Je remarque quand même que certains ont des lacunes dans les raisonnements mathématiques.

La première, la plus basique, c'est que dans les mathématiques que nous sommes en train de considérer, une proposition est soit fausse soit vraie. Et s'il est n'est pas vraie, elle est fausse et réciproquement.

Il existe une branche des mathématiques qui travaille avec une troisième valeur de vérité, mais cela ne nous intéresse pas ici.

Deuxièmement, l'implication ⇒

Soit A et B deux propositions qui prennent les valeur VRAI ou FAUX.

Alors A ⇒ B est équivalent à A est FAUX ou B est VRAI

Donc si A est FAUX, la proposition A ⇒ B sera vrai quelque soit B. Comme l'a expliqué Grenouille Verte.

Donc la proposition "Toutes les poules qui ont des dents sont bleues" qui peut se traduite par "poule qui a des dents" ⇒ "poule bleue" est vraie.

Ensuite pour le nœud du problème, j'ai des doutes.

∃x∈∅ P(x)

∀x∈∅ P(x)

Je ne suis pas sur que l'on puisse définir de telles propositions. L'ensemble vide est la plupart du temps considéré comme un cas particulier qu'il faut prendre à par.

Je pense que ce n'est pas défini uniquement pour la première.

Pourquoi?

Parce que si on pouvait définir une telle proposition, alors pour toutes propositions P, on pourrait établir que la proposition est vraie ou fausse.

Or si on prend P(x) = x ∉∅

Cette proposition existe. Par exemple on a ∀ x ∈ℝ P(x)

Mais appliqué à l'ensemble vide, on obtient une absurdité pour la première proposition.

Pour la deuxime proposition on a ceci :

∀x∈∅ P(x) équivalent à x∈∅ ⇒ P(x)

Or x∈∅ est une proposition fausse, donc d'après la logique de l'implication, la proposition est vraie quelque soit P.

Voilà j'espère que cela répond à pas mal de questions.

La question qui reste est le ∀x∈∅ P(x).

Pour tout X appartenant à l'ensemble vide...

Pour tout X appartenant à l'assemble qui ne contient rien...

Pour tout X que contient l'ensemble qui ne contient rien...

Aussi absurde que de dire qu'il existe un X appartenant à l'ensemble qui ne contient rien et que ce X n'existe pas... qu'il existe un X qui n'existe pas.

Aussi absurde que de dire qu'il existerait un X appartenant à l'ensemble vide... alors que l'ensemble vide ne serait plus l'ensemble vide si un X lui appartenait.

Ni vrai ni faux...

Dire qu'il existe un x dans l'ensemble vide, ce n'est pas "ni vrai ni faux", c'est clairement faux. En effet : Il n'existe pas de x dans l'ensemble vide.

D'une manière générale, tout ce qui est absurde est faux.

Je remarque quand même que certains ont des lacunes dans les raisonnements mathématiques.

La première, la plus basique, c'est que dans les mathématiques que nous sommes en train de considérer, une proposition est soit fausse soit vraie. Et s'il est n'est pas vraie, elle est fausse et réciproquement.

Il existe une branche des mathématiques qui travaille avec une troisième valeur de vérité, mais cela ne nous intéresse pas ici.

Deuxièmement, l'implication ⇒

Soit A et B deux propositions qui prennent les valeur VRAI ou FAUX.

Alors A ⇒ B est équivalent à A est FAUX ou B est VRAI

Donc si A est FAUX, la proposition A ⇒ B sera vrai quelque soit B. Comme l'a expliqué Grenouille Verte.

Donc la proposition "Toutes les poules qui ont des dents sont bleues" qui peut se traduite par "poule qui a des dents" ⇒ "poule bleue" est vraie.

Ensuite pour le nœud du problème, j'ai des doutes.

∃x∈∅ P(x)

∀x∈∅ P(x)

Je ne suis pas sur que l'on puisse définir de telles propositions. L'ensemble vide est la plupart du temps considéré comme un cas particulier qu'il faut prendre à par.

En réalité, ∀x∈E P(x) est définit comme signifiant : ∀x, x∈E ⇒ P(x).

Cette définition marche pour tous les ensembles E, y compris l'ensemble vide.

De même ∃x∈E P(x) est définit comme signifiant ∃x : x∈E et P(x)

Dire qu'il existe un x dans l'ensemble vide, ce n'est pas "ni vrai ni faux", c'est clairement faux. En effet : Il n'existe pas de x dans l'ensemble vide.

Ben oui ce X existe et sa propriété est de ne pas exister... ce n'est pas faux mais absurde et contradictoire.

Absurde parce que ça n'a pas de sens... parce que c'est illogique et que ça ne se dit pas.

Ben oui ce X existe et sa propriété est de ne pas appartenir à l'ensemble vide... ce n'est pas faux mais absurde et contradictoire...

Absurde parce que ça n'a pas de sens... parce que c'est illogique et que ça ne se dit pas.

Ben oui ce X existe et sa propriété est de ne pas être lui-même... ce n'est pas faux mais absurde et contradictoire.

Absurde parce que ça n'a pas de sens... parce que c'est illogique et que ça ne se dit pas.

D'une manière générale, tout ce qui est absurde est faux.

D'une façon générale une absurdité est une absurdité et un mensonge est un mensonge... il est vrai de dire que ce qui n'a pas de sens est absurde et faux de dire que ce qui est faux n'a pas de sens.

Dire que ce qui est absurde est faux... est faux. Sinon ce qui ne serait pas absurde ne serait pas faux... et c'est tout aussi faux.

Dire qu'il existe un X qui appartient à ce dont rien n'appartient n'est pas logique... et ce qui n'est pas logique est absurde.

D'une manière générale, tout ce qui est absurde est faux.

D'une façon générale une absurdité est une absurdité et un mensonge est un mensonge... il est vrai de dire que ce qui n'a pas de sens est absurde et faux de dire que ce qui est faux n'a pas de sens.

Dire que ce qui est absurde est faux... est faux. Sinon ce qui ne serait pas absurde ne serait pas faux... et c'est tout aussi faux.

Tu confonds deux choses :

• être absurde
  
• ne pas avoir de sens
  

D'ailleurs, que serait, selon toi, un "raisonnement par l'absurde" ? Ce serait un raisonnement par le non-sens ?

Tu confonds deux choses :

• être absurde
• ne pas avoir de sens

Ben non... si je confondais 2 choses alors je ferais comme vous en disant que ce qui est absurde est faux.

D'une manière générale, tout ce qui est absurde est faux.

Mais venant de celui pour qui ce qui est absurde est faux alors ça vaut ce que ça vaut...

Je me contente de dire que ce qui est absurde est insensé pour ma part...

D'ailleurs, que serait, selon toi, un "raisonnement par l'absurde" ? Ce serait un raisonnement par le non-sens ?

Autant que ce serait un raisonnement par le faux pour vous... :gurp:

Mais faisons plus sérieux que vous et regardons dans le Larousse ce que signifie:

Absurde.

- Qui est contraire à la raison, au sens commun, qui est aberrant, insensé : ce

raisonnement absurde aboutit à un non-sens...

Ainsi je ne confonds nullement ''être absurde'' et ''ne pas avoir de sens'' puisqu'ils veulent tous les 2 dire ''insensé''.

Pour ce qui serait du raisonnement par l'absurde... la contradiction se trouve déjà dans la proposition initiale alors il est évident que l'on a pas besoin de raisonner par l'absurde pour montrer cette contradition dans le cas qui nous préoccupe puisque de dire :

Il existe un X qui n'existe pas... est une contradiction en soi.

Il existe un X qui appartient à ce à quoi il n'appartient pas... est une contradiction en soi.

Mais peut-être pourriez-vous nous offrir ce genre de raisonnement par le faux qui n'aurait plus aucun secret pour vous cher Grenouille... en disant tout simplement et sans plus que c'est faux. :gurp:

D'ailleurs, que serait, selon toi, un "raisonnement par l'absurde" ? Ce serait un raisonnement par le non-sens ?

Autant que ce serait un raisonnement par le faux pour vous... :gurp:

Exactement. Un raisonnement par l'absurde est un raisonnement dans lequel on fait une hypothèse fausse.

Mais encore, continuez, il en manque un bout... ce que vous dites est simplement faux puisque l'on fait aussi une hypothèse vraie dans un raisonnement par l'absurde... et ce qui rend le tout un peu plus compliqué et tout simplement absurde serait que les deux hypothèses contraires se montrent vraies en même temps.

Vous confondez deux choses :

-Faux.

et

-Contradictoire.

Ce qui est contradictoire est à la fois vrai et faux... alors que ce qui est faux est seulement faux.

Mais encore, continuez, il en manque un bout... ce que vous dites est simplement faux puisque l'on fait aussi une hypothèse vraie dans un raisonnement par l'absurde...

Tu ne semble pas avoir compris.

Je répète : le raisonnement par l'absurde consiste à faire une hypothèse fausse, à prouver qu'à partir de cette hypothèse on arrive à une contradiction, ce qui prouve que l'hypothèse est bien fausse (si jamais l'hypothèse de départ était vraie, on ne peut pas arriver à montrer la contradiction).

Ce qui est contradictoire est à la fois vrai et faux...

Non, ce qui est contradictoire est faux (même tout ce qui est faux n'est pas contradictoire).

Exemple : "L'entier n est un nombre pair et un nombre impair". Cette proposition est contradictoire (on ne peut pas être pair et impair en même temps).

Cette proposition est fausse, elle n'est pas "à la fois vraie et fausse". :gurp:

Tu ne semble pas avoir compris.

Je répète : le raisonnement par l'absurde consiste à faire une hypothèse fausse, à prouver qu'à partir de cette hypothèse on arrive à une contradiction, ce qui prouve que l'hypothèse est bien fausse (si jamais l'hypothèse de départ était vraie, on ne peut pas arriver à montrer la contradiction).

Et non...

Vous confondez 2 choses...

- Faux

et

-Négation

Un raisonnement par l'absurde consiste à valider une proposition en montrant que sa négation conduit à une contradiction... il n'est nullement question de faire une hypothèse fausse mais de poser l'hypothèse contraire, la négation de cette hypothèse.

Non, ce qui est contradictoire est faux (même tout ce qui est faux n'est pas contradictoire).

Exemple : "L'entier n est un nombre pair et un nombre impair". Cette proposition est contradictoire (on ne peut pas être pair et impair en même temps).

Ben non... ce qui est contradictoire est absurde... insensé... illogique.

Une des bases de la logique vient du fait qu'on ne peut être une chose et son contraire. Or si vous affirmez d'une chose qu'elle est ceci et le contraire de ceci, c'est que votre proposition n'est pas logique...

Vous confondez donc 2 choses :

- Une fausse proposition logique. (illogique)

et

- Une proposition logique fausse. (Vérité faux)

Cette proposition est fausse, elle n'est pas "à la fois vraie et fausse". :gurp:

Cette proposition est illogique... elle ne peut être vraie ou fausse puisqu'elle n'est pas logique et que vrai et faux sont des valeurs logiques... dire qu'elle est fausse est absurde puisque vous diriez alors que cette proposition est illogique et logique...

Pour ce qui est de votre proposition contradictoire, vous n'avez qu'à nous montrer que sa négation conduit à une contradiction et alors vous aurez un raisonnement par l'absurde... en attendant je n'en vois aucun... juste une proposition contenant une contradiction qui ne peut donc être qualifiée de logique puisqu'elle affirme une chose et son contraire.

X est pair puisque c'est 6 et X est impaire puisque c'est 7 aussi... x étant diviseur de 42 ou même plus simple puisque X est un entier tout court..

Donc c'est faux que c'est faux puisque X est pair et X est aussi impair.

Vous comprendrez donc que vos propositions concernant l'ensemble vide ne sont pas logiques à la base... et n'étant pas logique puisque affirmant une chose et sont contraire elle ne sont que de fausse propositions logiques et non des propositions logiques qui sont fausses. Un faux résultat n'étant pas un résultat faux.

Ne lâchez pas... vous finirez bien par comprendre ce qu'est la logique.

Un raisonnement par l'absurde consiste à valider une proposition en montrant que sa négation conduit à une contradiction... il n'est nullement question de faire une hypothèse fausse mais de poser l'hypothèse contraire, la négation de cette hypothèse.

==> Mmmmh c'est FAUX.

Le raisonnement par l'absurde sert à montrer qu'une proposition est fausse, en la supposant vraie et en montrant qu'on arrive à une contradiction avec des propositions mathématiques démontrées vraies.

Le raisonnement par contraposée, plus proche que celui que tu décris, sert à montrer qu'une IMPLICATION est vraie.

<A implique B> est équivalent à <non B implique non A>

<non B implique non A> est la contraposée de <A implique B>

Les deux procédés non rien à voir (c'est d'ailleurs une erreur classique d'erreur de raisonnement en prépas scientifique).

X est pair puisque c'est 6 et X est impaire puisque c'est 7 aussi... x étant diviseur de 42 ou même plus simple puisque X est un entier tout court..

Donc c'est faux que c'est faux puisque X est pair et X est aussi impair.

==> Gné?!?

Il faudra que tu expliques cette phrase...

Ne lâchez pas... vous finirez bien par comprendre ce qu'est la logique.

==> Pour tout dire je te renvoie cette phrase à ton attention.

Je suis plutôt d'accords avec Grenouille verte sur les derniers posts...

Mais globalement là vous ne faites que jouer sur les mots.

Mais n'oublions pas que nous sommes en mathématiques, pas en philosophie.

Une proposition logique est soit vraie soit fausse.

Une proposition amenant à une contradiction est fausse, pas illogique.

Une proposition amenant à une absurdité est fausse, pas illogique.

Un raisonnement par l'absurde consiste à valider une proposition en montrant que sa négation conduit à une contradiction...

==> Mmmmh c'est FAUX.

C'est pourtant ce qui écrit textuellement dans le dictionnaire Larousse. Et c'est aussi ce que j'ai appris dans mes cours de logique.

Alors si vous voulez envoyé votre opinion aux rédacteurs du Larousse, je vous en prie... faites.

==> Gné?!?

Il faudra que tu expliques cette phrase...

Facile à comprendre... 6 et 7 sont diviseurs de 42 et si vous dites que X est entier et diviseur de 42 alors 6 et 7 se qualifient en même temps en tant que X. Donc X est pair et impair puisque X est diviseur de 42.

Pouvez-vous dire que 6 n'est pas un X lorsque 7 l'est... si c'était le cas alors ce serait absurde puisque 6 est justement ce qui multiplie 7 pour obtenir 42 donc si 6 n'est pas X lorsque 7 l'est alors 7 ne peut être multiplié par un X (facteur de 42) pour obtenir 42 ce qui est absurde.

Mais peut-être devriez-vous remplacer le mot ''entier'' par ce qui le caractérise dans la phrase...

Ainsi on obtient :

Ce qui est entre autre soit pair, soit impaire mais pas les 2 à la fois (entier) et que j'appelle X est à la fois un nombre pair et un nombre impaire.

-Ce qui existe et qui n'existe pas...

-Ce qui appartient à ce à quoi rien n'appartient...

- Ce qui n'est pas ce qu'il est...

C'est une seule et même catégorie de proposition... absurde ou illogique et insensé.

Ces propositions ne sont pas logiquement fausses puisque ce sont de fausses propositions logiques...

''arbre permanent l'revers stev 675 trépas le brebis Dans...''

Auriez-vous à l'idée de dire que cette proposition est fausse...

==> Pour tout dire je te renvoie cette phrase à ton attention.

Je suis plutôt d'accords avec Grenouille verte sur les derniers posts...

Mais globalement là vous ne faites que jouer sur les mots.

Vous pouvez bien être d'accord avec le batracien... ça ne dérange nullement...

Une proposition logique est soit vraie soit fausse.

C'est faux... est-ce vrai ou faux selon vous que cette proposition ''C'est faux.'' que l'on dit paradoxale...

Vrai ou faux m'importe peu ici... c'est vraiment ma réponse et cette réponse est que c'est faux.

Une proposition amenant à une contradiction est fausse, pas illogique.Une proposition amenant à une absurdité est fausse, pas illogique.

Vous suivez le batracien noyeur de poisson... alors il est normal que vous ne compreniez pas l'essentiel du propos puisque le batracien s'en est éloigné pour ne pas montrer qu'il avait tort... sortant le raisonnement par l'absurde alors qu'il n'y avait nul besoin juste pour faire dévier la discussion.

La proposition n'amène pas une contradiction... elle en contient une.

La proposition n'amène pas à une absurdité... elle en est une.

Ce n'est pas de jouer sur les mots dont il est question ici, détrompez-vous...

Alors ne lâchez pas... vous finirez bien par comprendre la logique un beau jour.

Rolala, mais pas la peine de me balancer des définitions du dico à la figure, je les connais celles là.

Par contre en mathématique, le raisonnement par l'absurde et une proposition logique SONT ce que j'ai dis.

Oui les définitions mathématiques ne sont pas celles du dico. Découverte?

Je le répète on fait des MATHÉMATIQUES, de la logique MATHÉMATIQUES.

Dans ce cadre la phrase "toutes les poules qui ont des dents sont bleues" est une proposition vraie d'un point de vue mathématique même si elle ne l'est pas dans le sens commun (déjà évoqué précédement).

Et ne me sortez pas le "oui mais ce n'est pas une vraie proposition logique". Si, c'est "poule qui a des dents" => "poule bleue".

Pour l'histoire du diviseur de 42. Vous avez là un très bon exemple de fausse proposition logique.

Facile à comprendre... 6 et 7 sont diviseurs de 42 et si vous dites que X est entier et diviseur de 42 alors 6 et 7 se qualifient en même temps en tant que X. Donc X est pair et impair puisque X est diviseur de 42.

Pouvez-vous dire que 6 n'est pas un X lorsque 7 l'est... si c'était le cas alors ce serait absurde puisque 6 est justement ce qui multiplie 7 pour obtenir 42 donc si 6 n'est pas X lorsque 7 l'est alors 7 ne peut être multiplié par un X (facteur de 42) pour obtenir 42 ce qui est absurde.

Là c'est vraiment du n'importe quoi.

Le raisonnement mathématiques, et même de logique "commune" n'est pas présent.

Vous dites que si A et B présentent une même propriété, alors ils en partagent d'autres...

Alors là le "un jour vous comprendrez la logique" me fait bien rire.

Les diviseurs (positifs) de 42 sont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42.

Là vous dites que si X est diviseur de 42, alors comme 6 et 7 le sont, X est pair est impair....

Alors là je ne vous suis plus... Franchement... Je cherche mais je ne vois rien de logique, et j'espère que d'autres seront d'accord avec moi...

Si X est un entier positif diviseur de 42 alors on a seulement X ∈{1,2,3,6,7,14,21,42} et c'est tout.

Sans informations supplémentaires on ne peut rien dire de plus et toute proposition supplémentaire serait alors de fausse proposition logique puisqu'on ne pourrait pas dire qu'elle soit vrai ou fausse.

Mais bon gardez espoir... vous finirez bien par comprendre la logique un beau jour.

Si X est un entier positif diviseur de 42 alors on a seulement X ∈{1,2,3,6,7,14,21,42} et c'est tout.

Donc X = 6 et X = 7 (entre autre)... Donc X = 6 qui est pair et X = 7 qui est est impair... donc X est pair et X est impair.

Facile à comprendre.

Mais on est encore loin de la proposition illogique et insensée disant Pour tout X qui appartient à l'ensemble auquel rien n'appartient... ou autrement dit il existe X tel que X n'existe pas.

Pour être faux cela doit commencer par être logique... et ce qui est absurde n'est pas logique.

Peut-être un jour finirez-vous par comprendre ce qui est logique et ce qui ne l'est pas... et cela inclus le fait que si c'est logique et que ça ne l'est pas alors ce n'est pas logique mais absurde... donc illogique et ce qui n'est pas logique ne peut être faux puisque ce n'est pas logique.

Une des bases de logique affirme qu'une chose et son contraire ne peuvent être tous les 2 vraies en même temps... donc ce qui existe et n'existe pas à la fois ou ce qui appartient et n'appartient pas à la fois, tout comme ce qui est et n'est pas à la fois n'est pas logique à la base... ce n'est pas vrai ou faux puisque être vrai ou faux est un état logique et que ce qui n'est pas logique n'a pas d'état logique à la base puisque ce n'est pas logique.

Par contre ce qui est vrai et faux en même temps est illogique et absurde... tout ce qui est et n'est pas en même temps... car si c'est VRAI et que ce n'est pas VRAI en même temps c'est que c'est vrai et faux à la fois, donc illogique et absurde.

Ainsi ce qui est absurde et illogique est à la fois vrai et faux alors que ce qui est logique est soit vrai soit faux.

La Folie, dans un même énoncé, ou alors X=6, ou alors X=7, mais il ne peut pas avoir deux valeurs. X est un nombre réel, pas une propriété.

Maintenant si l'on considère deux énoncés différents, dans l'un X=6 et dans l'autre X=7, on peut dire que les deux X partagent la même propriété, à savoir qu'ils sont tous les deux des diviseurs de 42, en revanche ils ne sont pas égaux puisqu'ils ne représentent pas le même réel. Ils n'ont que le symbole "X" en commun, mais pas ce qu'il représente.

Imaginons cher Gallium que vous posiez une question toute simple à vos élèves, se résumant en une seule proposition ou énoncé... que vous leur demandez de dire si X qui est un un facteur ou diviseur de 42 est pair ou impair.

Vous entendrez donc des pairs et des impairs en quantité plus ou moins égales selon les réponses données... et vous en conclurez que la réponse est à la fois pair et impair.

Vous conclurez donc que vous faites face à des réponses différentes à une seule question car elle contient une variable pouvant prendre des valeurs différentes en même temps.

Un seul énoncé et plusieurs réponses différentes qui sont toutes bonnes... et le pourquoi de tout ceci s'explique par le fait que X est une variable tout simplement et que X ne prend pas seulement la valeur d'un seul nombre.

Mais si vous voulez faire encore plus précis alors disons que si X est un diviseur de 42 alors il est évident qu'il n'est pas seul car il faut au minimum 2 nombres pour que l'on parle de diviseurs et que la réponse 6 et 7 sera adéquate puisque si 6 est facteur alors 7 l'est aussi et en même temps car si 6 est diviseur de 42 alors que 7 ne l'est pas on aura une situation absurde puisque 6 ne peut être diviseur de 42 que si 7 l'est aussi.

N'ayez crainte cher Gallium... tout ceci n'est que pour vous montrez que le manque de précision (proposition incomplète) ou la contradiction interne ne fait pas d'une proposition qu'elle serait fausse mais bien qu'elle serait illogique et absurde puisqu'on peut alors en venir à des conclusions qui ne reflète pas le sens de ce que la proposition voudrait exposer.

Ainsi pour revenir à l'exemple du batracien... il nous dit en cachant certains faits inhérents aux termes employés que :

''X qui est pair ou impair est pair et impair.''

Cet énoncé est en soi contradictoire et affirme que X est ce qu'il n'est pas... donc qu'il est une chose et le contraire de cette chose, ce qui entre en contradiction avec ce qui définit en tant que tel ce qui est logique ou non... or si l'énoncé ne peut se targuer d'être logique alors c'est absurde de dire qu'il est faux et vrai de dire qu'il est absurde, absurde car insensé et illogique... tout sauf logique.

Il en va de même de l'énoncé qui dit ''Il existe un existe qui appartient à ce à quoi rien n'appartient'' qui se traduit par ''Il existe un X qui n'existe pas''...

Pour être vrai ou faux, ces énoncés se doivent d'être logique et d'en posséder les caractéristique de base... et en disant qu'une chose est ce qu'elle n'est pas alors elle perde tout simplement ce privilège...

Je vois que vous toujours un problème avec les raisonnements mathématiques.

Vous avez surtout un gros problème avec le ET et le OU mathématique.

Si X divise 42 vous dites que X prend les valeur 6 ET 7.

C'est incorrecte, X PEUT prendre la valeur de 6 OU la valeur de 7.

De la même manière, si X est tel que X²=1, alors X ∈ {-1,1} mais on a pas X = 1 ET X = -1, on a X = 1 OU X = -1

On dit que -1 et 1 sont solutions du problème, mais il n'y a pas UNE solution unique X.

Pour le fait de demander à vos élèves si X est pair ou impair lorsqu'il divise 42, si ils répondent l'un où l'autre ils n'auront ni tord ni raison.

Par contre la proposition "X divise 42" => "X et pair" est fausse. De même que la proposition "X divise 42" => "X est impair".

Si vous ne comprenez pas cela alors qu'il s'agit d'une des bases des mathématiques je ne peux plus rien pour vous.

Bon passons...

Par contre je suis d'accord avec vous sur le fait qu'une chose qui est sont contraire n'est pas logique.

Mais en mathématique, il ne faut pas raisonner ici sur l'objet mais sur la proposions, la phrase qui parle de cet objet.

La proposition "X est un entier pair et impair" EST une proposition en logique MATHÉMATIQUE, qui est fausse quelque soit la valeur de X. Elle est donc fausse, et certes on pourrait dire qu'elle est absurde mais pas en mathématiques...

De même la proposition "Si X est un entier alors X est pair ou impair", est tout le temps vrai quelque soit la valeur de X, donc la proposition est vraie et on parle de tautologie.

Par contre la proposition "Si X est entier alors X est pair", la phrase est vraie pour X = 2 mais fausse pour X = 3. Donc la proposition est fausse puisqu'il y a un contre-exemple.

J'admets en revanche que la logique mathématiques présente parfois en manque de logique (def du dictionnaire).

Par contre je suis d'accord avec vous sur le fait qu'une chose qui est sont contraire n'est pas logique.

Mais en mathématique, il ne faut pas raisonner ici sur l'objet mais sur la proposions, la phrase qui parle de cet objet.

Mais aucun objet n'est absurde en soi cher Pyro89, que ce soit en mathématique ou non... c'est toujours la proposition contenant cet objet qui est absurde.

Aucun sauf peut-être l'objet ''absurde'' car ''absurde'' est ''absurde'' et c'est toujours vrai.

Faisons donc simple puisque l'ensemble vide est un cas plutôt particulier alors vous devriez facilement trouver la référence dans un manuel de logique disant qu'une proposition mathématique énonçant une contradiction serait fausse et non pas absurde et je la lirai avec plaisir...

Ainsi vous n'avez qu'à trouver une notice disant que :

- Il existe un X tel que ce X n'existe pas... est une proposition fausse et non pas absurde.

- Il existe un X tel que ce X appartient et n'appartient pas à un ensemble donné... est une proposition fausse et non pas absurde.

-Il existe un X tel que ce X n'est pas ce X... est une proposition fausse et non pas absurde.

- Il existe un X qui est pair ou impair qui est pair et impair... est une proposition fausse et non pas absurde.

Et vous aurez alors fait avancé la question et la recherche de vérité avec beaucoup plus de sérieux qu'en énonçant des commentaires du genre de :

J'admets en revanche que la logique mathématiques présente parfois en manque de logique (def du dictionnaire).

Si la logique mathématique manque de logique alors c'est que c'est tout simplement de la mathématique...

Une chance que j'ai gardé espoir au sujet du fait que vous pourriez vous rendre compte de ce qui est logique et de ce qui ne l'est pas... (déf du dictionnaire).

Vous conclurez donc que vous faites face à des réponses différentes à une seule question car elle contient une variable pouvant prendre des valeurs différentes en même temps.

Généralement une variable n'a qu'une seule valeur à un instant donné.

Prenons une fonction f, d'équation y=x² (fonction carré). Voici sa représentation graphique :

Pouvez-vous trouver deux valeurs de f(x) pour une valeur de x quelconque ? C'est impossible.

En revanche si je vous demande de trouver deux valeurs de x pour une valeur de f(x) c'est possible.

L'équation f(x)=9, a deux solutions : x=-3 et x=3.

Vous serez d'accord sur le fait qu'il s'agisse de 2 solutions différentes.

Admettons que cette fonction représente l'aire de ma piscine en fonction de la longueur d'un de ses côtés. Je cherche la longueur de ce côté lorsque l'aire de ma piscine est de 9m². On a deux possibilités : -3m ou 3m. Il faut choisir l'un des deux et l'on prendra bien évidemment la solution positive (je ne connais pas de longueur négative). La longueur d'un côté de la piscine est donc de 3m quand ma piscine a une aire de 9m².

Mais que faire du -3m ? Diriez-vous que le côté mesure -3m et 3m à la fois ?

Pourquoi vous compliquer la vie cher Gallium, vous savez pourtant que je suis simple d'esprit et esprit simple...

Imaginons plutôt X comme ''côté entier'' d'une piscine rectangulaire de 3m²...

Vous avez alors 1 seule possibilité (oublions les négatifs) :

- 2 côtés de 1 mètre et 2 côtés de 3 mètres...

Pouvez-vous dire que si X = 3 mètres alors le second côté de 3 mètres et les 2 côtés de 1 mètres n'existe plus... que ce ne sont pas des X comme côtés entiers d'une piscine de 3 m² ...

L'absurdité de tout ceci vient tout simplement du fait que la proposition est incomplète et imprécise... et c'est ce que je voulais montrer tout simplement. Selon ce qui est spécifié on arrivera à la conclusion que X (côté entier de la piscine) * X (côté entier de la piscine) = 3m² mais que X et X sont différents tout en étant des côtés entiers de la piscine... donc que la proposition est vraie puisque X est bel et bien côté entier de la piscine mais que X = 3 et X = 1 donc que X est différent de X ce qui est logiquement toujours faux... vrai et faux à la fois donc absurde.

Pour ce qui est de votre question alors je peux dire que les côtés +3m et -3m existent en même temps puisque je peux dire que ce qui se rapproche de moi lorsque je me tiens sur un coin est positif et ce qui s'éloigne de moi est négatif... ainsi il y aura 2 côtés de 3m et 2 côtés de -3m... un carré ayant 4 côtés.