deja-utilise

Au même titre que le cinquième postulat des parallèles en géométrie. La récurrence fait d'emblée partie de la notion d'entier naturel comme axiome. Non, Poincaré à déjà montré que le tiers-exclu n'est pas commensurable avec le raisonnement par l'absurde, voir mes extraits dans une des réponses sur ce fil de discussion. Mais le problème comme soulevé dernièrement est plus abyssal que ce dont nous discutons depuis le début, il est celui de savoir ce qu'est la vérité et sa signification, car on fait déjà une erreur lorsque l'on parle de table de vérités en mathématique, ensuite par confusion entre implication et condition ( voir supra ) on propage de proche en proche notre égarement, jusque dans notre assentiment sur la valeur de la logique formelle, de nos démonstrations, qui bien souvent ne sont que des tautologies comme j'ai essayé de te le dire en parlant du chemin 1 qui va de A à B ou du chemin 2 qui fait la même chose, ce que l'on nomme égalité ou vérité n'est autre que cette équivalence de chemin ou le passage de A à B.

Ce qu'il faut entendre, c'est qu'une position constructiviste ou intuitionniste ne refuse pas systématiquement le tiers-exclu, contrairement à ceux qui l'emploient sans exception ! C'est comme le mensonge dans la vraie vie, on peut être contre son usage, mais force est de constater qu'il n'a pas toujours un côté délétère ou néfaste, et que l'on peut donc en user de temps à autre, sans se contredire, se renier ou contrevenir à ses principes de vie. Ce n'est pas tout blanc ou tout noir, la vie est bien plus nuancée que cela. Et comme la mathématique est une activité de l'esprit, elle est donc elle aussi soumise à notre psychologie que cela nous fasse plaisir ou pas, tout comme n'importe quelle science, conversation que nous avons déjà eu il me semble. J'imagine que tu parles de la pratique mathématique ! Sans doute, tant que l'on reste dans ce cadre dual, comme n'importe quel jeu, ou postulats scientifiques. Ce qui est stimulant c'est justement d'envisager d'autres cadres, d'autres façons de voir le monde, de l'appréhender, sans y perdre notre rationalité pour autant, mais je conçois fort bien que l'on puisse se satisfaire de l'immense territoire déjà conquis, douillé et réconfortant. On peut donc voir les choses ainsi: soit suivre les voies déjà ouvertes et rassurantes, soit prendre le visage d'un aventurier et explorer d'autres contrées, tel un Marco Polo, incompris de la première catégorie...

( Je n'ai pas vu de suite cette réponse, car elle ne me " cite " pas et je n'ai donc eu aucun message avertisseur. ) Je me suis rendu compte ultérieurement que je m'étais plus que maladroitement exprimé, il fallait entendre que le raisonnement par l'absurde était caduque lorsque l'on rejette le tiers-exclu, donc que l'on adopte le tiers-inclus. Merci de m'avoir donné l'opportunité de réparer cette injustice à ma pensée. Mea culpa. Sur ce point nous sommes en réalité d'accord. Mais cela ne veut pas dire que l'on ne peut pas de temps à autres recoller avec le monde physique, il suffit que les conditions d'approximation/épurations/abstraction initiales soient sommairement réalisées pour que cela puisse se produire. La logique binaire/booléenne répond à nombre de problématiques concrètes, et l'informatique/électricité actuelle en est son plus bel exemple, mais elle ne rend pas compte de l'entièreté de la réalité malgré tout, l'exemple qui s'oppose le plus à cette réduction est fort justement la psychologie ou le fonctionnement de notre " esprit ". Il y a autant de connexions entre la mathématique et la réalité, qu'il y en a entre un sport quelconque et le monde des affaires humaines dans sa généralité, c'est à la fois clair et ambigu, à la fois fidèle et partial et partiel, tout dépend de notre intention/finalité, mais celui qui tend à l'exhaustivité du monde ne peut se résoudre à une telle idéalisation/abstraction/virtualisation. Pourtant, et je parle en mon nom alors, qu'il est toujours compris dans la définition des entiers naturels cette notion de récurrence a minima qui ne peut que finir par donner naissance par la suite au principe de raisonnement par récurrence par ricochet, je vois au contraire une dépendance forte, pour ne pas dire une inclusion ou même une implication !?

C'est plus difficile à soutenir. D'une part on peut constater sans autre considération, qu'une pierre n'est pas intelligente, le ciel n'est pas intelligent, la mer non plus, qu'un être vivant est intelligent tant qu'il vit, avant sa naissance et après sa mort il ne fait preuve d'aucune intelligence, il en est donc le réceptacle, elle n'est donc pas ailleurs qu'en lui. D'où vient-elle ? Impossible de répondre, on peut uniquement observer que c'est quelque chose qui nous est donné, chaque bébé dispose d'une intelligence embarquée, qu'on ne fait au mieux que renforcer au fil de notre évolution individuelle ou collective. Tout comme la Vie peut se présenter de manière " individuelle " sous forme de cellules indépendantes ( une bactérie ), elle peut aussi se faire jour sous le pluralisme, le pluricellulaire ( l'écureuil ), similairement la nature a trouvé le moyen de faire émerger le même phénomène à partir des mêmes constituants, qui se présentent différemment soit comme une collection soit comme un conglomérat: l'intelligence, qui est bien la coopération d'entités disjointes ( communications entre neurones ou entre fourmis/abeilles/termites ) allant d'un problème à sa résolution. Et que dire du poulpe qui a autant d'intelligences qu'il a de bras !?

Sans m'appesantir sur ces histoires de récurrence, qui n'est là aussi je pense qu'une porte d'entrée vers quelque chose d'encore plus profond et qui est en droite ligne du sujet du Topic en fin de compte: la connexion entre formalisme et réalité, et vérité. Car c'est bien comme cela que le problème a été présenté, ce qui est " vrai " en math par les théorèmes d'incomplétude se retrouverait réalisé dans la vie réelle ? Il nous faut bien avoir à l'esprit la distinction entre validité formelle et vérité matérielle ! Ce qui m'avait fait dire il y a quelques messages, qu'en mathématique par un malheureux usage du vocabulaire de vérité nous étions amener à nous fourvoyer. Terminologie et conséquences/sens/significations: Or si la vérité est un ajustement d'un discours à son objet il devrait être impossible de parler en toute rigueur de vérité formelle: ce que nous appelons vérité de la forme d'un discours n'est en réalité que sa cohérence ou mieux sa validité. Parler de la validité d'un discours c'est mettre en question son accord non avec de qui est mais avec les règles de la logiques. La vérité matérielle d'un discours, de son contenu, d'une connaissance est accord entre le discours et son objet. La logique ne peut rien en dire: c'est l'expérimentation qui aura le dernier mot: la vérité matérielle, la vérité du contenu d'un discours exige la prise en considération de l'expérience, le plus souvent par des expérimentations engendrées par des théories. http://www.philagora.net/philo-reperes/formel.php Blanché: Ce qui est logiquement « valide » n’est pas forcément « vrai ». Il faut distinguer la forme et le contenu des raisonnements http://archipope.over-blog.com/article-12128124.html On voit en quel sens on peut parler de la forme d’un raisonnement. Mais on voit aussi qu’avec cette forme, la notion de vérité semble avoir disparu. D’une part, notre schéma de raisonnement n’est pas plus susceptible de vérité que ne l’était le raisonnement initial, il est seulement, comme lui, susceptible de validité : la vérité et la fausseté ne peuvent convenir qu’aux propositions elles-mêmes, non à la manière de les organiser. […] Pour retrouver la notion de vérité, il faut passer de la forme inférentielle du raisonnement à l’implication qui lui correspond […] Si tout f est g et si x est f, alors x est g Cette formule peut-elle être encore qualifiée de vraie? […] Oui […] en ce sens que, contrairement aux trois schémas propositionnels précédents, celui-ci donnera une proposition vraie quelles que soient les valeurs qu’on assigne à ses variables. Cela ne fait qu’exprimer, en langage d’implication, ce que nous exprimions tantôt en langage d’inférence quand nous disions que la validité d’une inférence est indépendante de son contenu. On dira, par abréviation, qu’une telle formule est toujours vraie. C’est ce genre de vérité, qu’on appelle tautologique, qui constitue la vérité formelle ou, comme on peut aussi la qualifier, la vérité logique. http://lewebpedagogique.com/philosophie-bac/la-logique-verite-et-validite/ ) : Si tout f est g et si x est f, alors x est g. Cette formule peut-elle être encore qualifiée de vraie ? Non, dira-t-on, puisque nous venons de faire, apparemment, la même transformation de proposition en schéma propositionnel que nous avions déjà opérée quand nous étions passés de (1) à (3), et qu’un schéma propositionnel n’est, comme tel, ni vrai ni faux. Oui cependant, en ce sens que, celui-ci donnera une proposition vraie quelles que soient les valeurs qu’on assigne à ses variables. Cela ne fait qu’exprimer, en langage d’implication, ce que nous exprimions tantôt en langage d’inférence quand nous disions que la validité d’une inférence est indépendante de son contenu. On dira, par abréviation, qu’une telle formule est toujours vraie. C’est ce genre de vérité, qu’on appelle tautologique, qui constitue la vérité formelle ou, comme on peut aussi la qualifier, la vérité logique. https://lijjeson.wordpress.com/2011/08/31/robert-blanche-la-logique-formelle/ Syllogisme: Limites des syllogismes John Stuart Mill (et avant lui, Sextus Empiricus) évoque les limites du syllogisme en remarquant que dans la pratique un syllogisme déductif est rarement applicable sans une part plus ou moins escamotée d'induction. Ainsi, le célèbre syllogisme Tous les hommes sont mortels ; Socrate est un homme ; Donc Socrate est mortel repose sur la validité de la prémisse « tous les hommes sont mortels », qui n’est pas vérifiablee. Par conséquent, le syllogisme classique est lui-même un paralogisme : aucune vérité particulière ne peut être inférée de principes généraux puisque c'est au contraire l'ensemble des premières qui doivent être démontrées pour garantir la validité des seconds. On a pu jadis croire qu'un syllogisme expliquait quelque chose sur le monde réel à une époque où l'on croyait aux essences, c'est-à-dire où on pensait que le mot définissait la chose, et non l'inverse (voir Induction (logique), Réalisme vs. Nominalisme). https://fr.wikipedia.org/wiki/Syllogisme Implication: En résumé : le conditionnel A → B a la liberté d'être vrai alors que A est faux ; présenté à travers les tables de vérité, il porte sur des propositions ; cela ne concerne les mathématiques que de façon secondaire. L'implication, dont leurs démonstrations directes font grand usage, ne relève pas du calcul des propositions, du moins pas de façon immédiate. http://georges-barthélemy.fr/implication_logique_mathématiques.pdf L'implication était connue dès la Grèce antique, notamment par les stoïciens sous une forme telle que : « Du vrai suit le vrai... Du faux suit le faux... Du faux suit le vrai... Mais du vrai, le faux ne peut s'ensuivre » . Ceci correspond à l' « implication matérielle », qui fut redécouverte par Frege en 1879 et Peirce en 1885. La pertinence de l'interprétation matérielle fut débattue tant dans l'Antiquité classique que dans la période contemporaine Dans les exemples tirés du langage courant, tels que « si 1=2, je suis le Pape », où cette implication produit des énoncés volontairement saugrenus mais vrais, les énoncés portent sur des objets fixés ; il n'en va pas de même en mathématiques, où les énoncés contiennent des variables x , y , m , n etc.. http://www.ww2-derniersecret.com/perso/Implication (logique).pdf Valeur de la logique: La dialectique ne prétend pas apprendre aux hommes comment penser. Telle était, par contre, la revendication prétentieuse de la logique formelle. A quoi Hegel répondait ironiquement que la logique n’apprend pas plus à penser que la physiologie n’apprend à digérer ! Les hommes et les femmes pensent, et pensent même logiquement, bien avant d’entendre parler de logique. Les catégories de la logique, de même que la dialectique, proviennent de l’expérience réelle. Quoiqu’en disent leurs défenseurs, les catégories de la logique formelle ne se tiennent pas au dessus de la réalité matérielle de ce bas monde. Elles ne sont que des abstractions vides élaborées à partir d’une compréhension unilatérale et statique de la réalité, et qui sont ensuite appliquées à celle-ci de façon arbitraire. https://www.marxiste.org/theorie/philosophie/516-la-logique-formelle-et-la-dialectique Le tout tient – ou tombe – sur la loi de l’identité (A = A). A première vue, celle-ci est irréfutable, et est véritablement la source de toute pensée rationnelle. Elle est la Sainte des Saintes de la Logique, qui ne doit pas être remise en cause. Cependant, elle a été remise en cause, et par l’un des plus grands esprits de tous les temps. Dans Les habits neufs de l’empereur, un conte de Hans Christian Andersen, un empereur un peu fou achète à un escroc des vêtements neufs, qui sont supposés être très beaux, mais invisibles. Le crédule empereur se promène dans son costume tout neuf, dont tout le monde reconnaît qu’il est exquis, jusqu’à ce qu’un jour un petit garçon remarque que l’empereur est en fait complètement nu. Hegel a rendu à peu près le même service à la philosophie avec sa critique de la logique formelle. Ses défenseurs ne le lui ont jamais pardonné. http://www.matierevolution.fr/spip.php?article1399 Il est clair que si la logique n’autorise que le seul usage analytique de la raison (en régressant de la connaissance supposée vers ses conditions de validité formelle), tout usage synthétique (consistant à progresser vers des vérités nouvelles qui accroîtraient notre connaissance) est proscrit puisqu’en effet il n’y a de vérité que matérielle, c’est-à-dire en accord avec les intentions de signification. Mais, note Kant, “il y a quelque chose de si séduisant dans la possession de cet art précieux [la logique, que celle-ci est utilisée] pour en tirer, du moins en apparence, des assertions objectives”(Critique de la Raison Pure III, 80). Kant entend donc dénoncer l’illusion dont se rendent coupables tous ceux qui abusent de la logique en lui faisant produire ce qu’elle ne devrait pas produire, à savoir de la vérité. https://phiphilo.blogspot.fr/1999/09/toute-verite-est-elle-fromellement.html Logique formelle, origine: Toutefois, l’idée même d’une forme du raisonnement détachée de son contenu n’a pas les mêmes connotations chez Aristote qu’elle a généralement pour nous depuis Leibniz. C'est à partir des problèmes et des apories que posait la dialectique et dans le souci de réfuter scientifiquement les discours des sophistes qu'Aristote a su radicaliser les formes des propositions et leurs enchaînements. http://homepages.vub.ac.be/~clvidal/philosophons/essais/log_aristotelicienne.htm Vérité: Toute vérité est-elle démontrable ? http://philo52.com/articles.php?lng=fr&pg=1393 https://phiphilo.blogspot.fr/1999/09/toute-verite-est-elle-fromellement.html

À moins qu'il faille faire un parallèle entre la connexion de ces multiples êtres individuels et les connexions entre nos neurones, les " pixels " de base qui communiquent et fournissent un effet émergent que cette unité élémentaire soit dans un système fermé ou ouvert, dans leur cas on pourrait parler d'intelligence externalisée et dans la nôtre, internalisée. Autrement dit, l'un n'excluant pas l'autre ! Tout n'étant pas binaire ou dichotomique.

Merci pour ta réponse Jedino, mais je crois que tu n'arrives pas à sentir ce qui me chagrine, contrairement il me semble à présent avec Aliochaverkiev, et sa réponse qui suit la tienne est bien mieux explicitée que je n'aurais été moi-même capable de le faire, je crois qu'il dit plus clairement, qu'il exprime plus proprement, ce que je dis de manière maladroite depuis le début, comme lorsqu'on cherche à dire ce que l'on ressent c'est toujours confus et vague, imprécis. Mais son esprit mieux organisé et plus rompu à la science mathématique lui fait dire distinctement ce qui n'était qu'une intuition mal gérée en moi, même si cela n'enlève rien à ces accès d'emportement y compris à ton égard, qui n'étaient pas justifiés de nos points de vue, quoi qu'il s'en explique juste après, et d'une certaine façon s'en excuse implicitement. J'espère que tu sauras passer outre cet écart de conduite ( personne n'est pas parfait ! ), et t'enrichir de ce qu'il apporte à la réflexion... ( c'est un personnage malgré tout digne d'intérêt, et cela je l'ai vu dès les premières lignes, comme dit ailleurs: il n'y a que l'intelligence pour reconnaitre une autre intelligence ) Bien à toi, D-U.

Ou pas ! Tiens je te propose un autre trouble, celui " d'héminégligence ": http://www.encyclopedie-incomplete.com/?Heminegligence https://www.allodocteurs.fr/maladies/cerveau-et-neurologie/heminegligence-quand-le-cerveau-oublie-le-cote-gauche_16562.html https://fr.wikipedia.org/wiki/Négligence_spatiale_unilatérale Les lésions à l’hémisphère droit peuvent aussi produire un autre type de dissociation spectaculaire : l’héminégligence. Le patient héminégligent ne perçoit tout simplement plus consciemment la moitié gauche de son univers. Il ne rasera par exemple que la partie droite de sa barbe et ne mangera que la moitié droite du contenu de son assiette. Quand on lui demande de dessiner une horloge, il concentrera les 12 heures de l’horloge dans la seule moitié droite du cadran. Et si quelqu’un assis à sa gauche lui parle il répondra à la personne assise à sa droite. http://lecerveau.mcgill.ca/flash/i/i_12/i_12_p/i_12_p_con/i_12_p_con.html Un mythe s’effondre Ce qui est passionnant avec ces recherches, c’est que la «négligence spatiale unilatérale»détruit un mythe forgé par notre perception. Nous pensons d’habitude que notre conscience est une entité unique, et unifiée. Nous vivons notre perception comme un tout, indivisé. Mais en réalité, la conscience que nous avons du monde est très ancrée dans l’espace. Elle est à l’image de la croûte terrestre, fragmentée en plaques tectoniques. Avec principalement quatre continents: droite, gauche, lointain et proche. Heureusement pour nous, l’illusion d’un monde unifié est parfaite. https://nuage1962.wordpress.com/tag/heminegligence/ Les personnes souffrant d’héminégligence n’ont pas conscience d’une partie de leur champ visuel, ici la partie gauche. Ils ne perçoivent dont pas de différences entre les deux maisons. En revanche, lorsqu’on leur demande dans quelle maison ils préfèreraient vivre, ils choisissent celle du bas. https://themindexplorer.net/localisation-de-la-conscience/

E' n'est-il pas lui-même un ensemble construit ? Et qui a donc les propriétés résiduelles de sa conception. Pour tout n ce que tu dis est vrai, mais ce qui m'intéresse c'est le passage à la limite comme ce que l'on fait par construction avec N également, quand les ensembles s'entrechoquent loin de notre regard, tout là-bas dans cet infini inaccessible à l'esprit humain, qui pourtant le manipule sans vergogne et en tire des conclusions. Ce qui m'intéresse c'est de montrer que les ensembles infinis restent paradoxaux même sans avoir recours aux ensembles d'ensembles " trop gros ", ils le sont intrinsèquement. Comme dit à toi et redit à Spontzy, c'est comme une course, la question revient à se demander lequel va le plus vite ! N, E ou E' quand je fais tendre n vers l'infini ? Je reviens vite fait sur la diagonale de Cantor, il présuppose des suites Uij issus de N qui donneraient tous les nombres réels entre 0 et 1, et par sa diagonalisation il exhibe potentiellement un nombre qui n'en fait pas parti, cela veut dire qu'il a fixé d'abord l'ensemble des Uij, puis ensuite il la prend de court en forçant une construction à dépasser n'importe lequel. Pourtant on pourrait prendre son argument à " l'envers ", lorsqu'il pense avoir exhibé un tel nombre qui n'est pas dans la liste, de créer la liste ( basée sur N ) au fur et à mesure que je trouve de tels nombres ( les réels ) plus vite qu'ils ne sont présentés, cette fois-ci je prendrais de court toute proposition donnée d'avance en étendant ma liste ( l'ensemble des éléments construits à partir de N ) en tant que de besoin ( je prends en quelque sorte les " nombres diagonaux " en premier; on prend n'importe quelle liste aussi grande que je veux de nombres réels - entre 0 et 1 toujours - et je trouve un moyen de les construire tous à partir de N ) ! Tu vois ce que je veux dire ? Je sais ce n'est peut-être pas des plus clair, ce qu'il faut c'est sentir l'idée ( de course ) plus que de s'en tenir à ce que j'écris maladroitement sans doute. ******* Ne conçoit-on pas que 0,9999...n soit égal à 1 quand " n " tende vers l'infini ? Il y a une histoire de convergence là-dedans, non ? Ne puis-je pas envisager que les ensembles que j'ai construits ne (di)convergent-ils pas eux aussi, comme N ou l'ensemble vide, ce qui est vrai pour un nombre isolé, ne se peut-il pas pour une collection ou un ensemble ( même si la notion de convergence est là aussi sans doute impropre mais c'est l'idée qu'il faut saisir ) Si je suis en mesure de créé N, ni puis-je pas construire ce qui l'annihile, on peut construire comme on peut déconstruire, non ?

On peut dire que c'est la première topique de Wittgenstein cette façon d'aborder le problème, or dans sa deuxième il dit que le formalisme langagier n'est pas réductible à la réalité, ni logiquement, ni sémantiquement. Il nous faut bien découpler le support du langage quel qu'il soit, naturel ou mathématique, et sa signification qui transcende sa représentation symbolique, je dis souvent qu'un proverbe ou une expression, n'est jamais à prendre au pied de la lettre, la composition et l'agencement des mots qui le/la contienne ne donne pas son sens général, ce sens est hors du contenu manifeste/explicite/exposé. Il vient donc, que le vrai doit être entendu comme ce qui fait référence à ce qui a été, qu'il est adapté ou en adéquation avec le réel, il n'a pas besoin d'être exhaustif, juste de renvoyer aux faits tels qu'ils se sont produits, et on été captés, peu importe l'interface communicante, ce qui compte c'est la signification du rapport avec l'évènement, le support de communication est secondaire, par exemple de dire " j'en veux plus ", se comprend parfaitement même si il manque la négation pourvu que l'on soit immergé un tant soit peu dans l'environnement en question, a contrario, elle peut être prise complètement à l'opposée; la vérité donc n'est pas dans la formulation, mais dans sa signification et son lien avec la réalité. C'est une des raisons pour laquelle j'ai essayé de te dire que ce qui est compris et interprété en mathématique, s'applique essentiellement et surtout dans cette discipline, ce n'est pas transposable stricto sensu vers le monde réel, sans précaution, pas plus que les expériences de laboratoire n'épuisent la complexité du réel, et qui sont donc fortement modulées lors de réactions réelles attendues, ou encore dans un autre registre de ne pas être surpris que la scolarité forme les élèves avant tout à réussir à l'école, comme l'a dit un psychologue je crois " à former des enseignants " et non à affronter l'existence et toutes ses subtilités et dimensions, pour le dire autrement elle ne forme pas, elle déforme nos besoins effectifs. Le vrai serait plus à rapprocher de l'observationnel que du démontrable, ou dit autrement, au montrable si je puis dire ! Si je dis par exemple que ma voiture est en panne et que je n'ai pas pu te rejoindre hier comme prévu, il suffit que tu vois la voiture chez le macano, ou que tu viennes chez moi et que tu tentes de la faire partir. Ou si je dis que l'arbre devant ma fenêtre me fait de l'ombre le midi l'été, il te suffit de venir voir par toi-même à l'heure du déjeuner en période estivale qu'il en est bien ainsi, tes sens te suffisent à montrer la vérité, il n'y a aucune démonstration abstraite à faire, aucun raisonnement hypothético-déductif à entreprendre, juste de constater. Au contraire, comme nous l'a rappelé Aliochaverkiev on peut fort bien avoir un syllogisme qui tient la route, être logiquement bon, mais faux, entre sa forme architecturale qui respecte les règles d'assemblage et son rapport à la réalité, aux faits, entre la construction et son sens, comme dans le monde physique je peux construire des objets qui ne servent strictement à rien, qui n'ont aucune fonction, qui vont même m'empoisonner la vie, par exemple je peux faire une maison sans porte et sans fenêtre ! Je le peux mais c'est stupide ou inutile. Pouvoir est une chose, mais sa signification en est une autre. Mon propos n'était pas là, je ne dis pas que ce dont on ne peut faire de rapport n'aurait pas d'existence, je dis que ce que l'on appelle la vérité, n'est autre que le rapport adéquat entre ce qui rapporté et ce qui s'est produit ou ce qui est réellement, même si ce compte-rendu n'est que partiel et spéciste ( propre à l'humain ), si n'importe quel humain en possession de ses facultés mentales peut constater par/de lui-même que c'est bien ainsi sur la partie rapportée, alors ce que le premier avait dit est tout bonnement vrai, ce n'est pas la chose exhibée, qui est vraie ou fausse, juste le rapport qui est fait. La science ne s'arrête fort heureusement pas avec celles dites dures, il faut aussi y inclure celles dites molles, donc notre propre psychologie ou fonctionnement d'être " spirituel ". Je peux être à la fois heureux et malheureux, en la même personne ressentir des émotions antagonistes, par exemple la femme dont je suis éperdument amoureux me déclare aussi sa flamme, et en même temps j'apprends le décès de mon père ou de ma mère ! C'est l'un et l'autre et non l'un ou l'autre. Mais tu arriveras sans doute à objecter que les évènements peuvent être découplés, temporellement ou parce que ça ne s'applique pas aux mêmes personnes par exemples, que l'on peut créer des cases distinctes dans notre esprit, alors imaginons une situation plus profonde, tu chéries viscéralement ton enfant unique mais celui-ci crée par colère un accident fatal à sa mère, qui est aussi ton alter-ego sentimental, ta moitié, tu te trouves déchiré à détester et aimer en même temps, la même personne ton fils ou ta fille, les deux sentiments se chevauchent temporellement et " spatialement ", tu vis l'un et l'autre simultanément... À méditer ! Tant que l'on n'envisage que la binarité, et bien on ausculte le monde sous ce seul scalpel, mais dès que l'on franchit le Rubicon, en rejetant le tiers-exclu, le monde s'éclaire différemment... Biz

Bonjour, je suis désolé, ça m'échappe encore, dans mon livre L1 ( éd. Pearson ) on se réfère aux axiomes de Peano: N est un ensemble ordonné vérifiant les propriétés suivantes: 1) N admet un plus petit élément noté 0 2) L'ordre < ou = est total sur N 3) Tout entier n admet un unique successeur noté n+1 4) Tout entier n différent de 0 admet un unique prédécesseur noté n-1 5) Le principe de récurrence. Soit, pour tout n dans N, HR(n) une propriété dépendant de n. Si HR(n) est vraie et si, pour tout n élément de N, l'implication HR(n) => HR(n+1) est vraie, alors HR(n) est vraie pour tout n dans N. http://bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./p/peanoarithm.html Qu'est-ce que cela signifie ?: que la collection d'éléments est ( bien ) ordonnée du plus petit au plus " grand " ( points 2, 3 et 4 ), qu'il y a un premier élément de départ, le plus petit ( point 1 ), mais qu'il n'y a pas de plus grand - absolu - élément, l'ensemble n'est pas borné ( semi-borné ), à cela on rajoute la notion de récurrence par définition. Un " n " quelconque peut donc prendre n'importe quelle valeur entre 0 et l'infini, il ne bute sur aucune frontière haute. ****** Le “nombre entier” est un concept qui répond à deux besoins : celui d’ordonner un ensemble d’éléments, et celui de comparer “en puissance” des ensembles https://www.naturelovesmath.com/mathematiques/quest-ce-quun-nombre-episode-1-les-nombres-entiers-naturels/ ***** Encore une fois, en Analyse, le " n " pris arbitrairement est ensuite projeté à l'infini, aujourd'hui personne ne s'en offusque, il faut bien comprendre que je ne me situe pas dans la droite ligne du logicisme, sinon je serais en contradiction nécessairement, comme je ne peux pas critiquer le langage autrement qu'en usant du langage ou rendre Justice autrement qu'en utilisant le droit, au contraire, je tente de me placer dans une " alternative " qui est celle, plus familière pour moi, de l'Analyse et qui repose sur des bases solides, au moins intuitivement selon ma conception. Je ne peux pas d'un côté, user de ce stratagème dans la diagonale de Cantor et de l'autre le refuser parce que cela m'incommode dans un " contre-exemple " ! J'ai essayé avec mes mots ( je ne maitrise pas/plus assez le formalisme mathématique pour le retranscrire formellement ) de dire qu'il y avait une " course " dans l'usage des infinis qui se joue au loin, et qui échappe à notre regard, tout en restant nous à notre place, ce qui s'apparente selon moi à un mirage, comme lorsque l'on regarde deux routes parallèles se " rejoindre " à l'horizon, voire même pourquoi pas envisager qu'elles se coupent puisqu'elles se rapprochent sans cesse du point de vue où je suis, alors que localement je peux m'assurer qu'elles sont bien parallèles aux erreurs de mesures près. Une sommation de termes alternés ( +, - ) est aisée à calculer lorsque leur nombre est fini, en revanche on est obligé de dire par capitulation dans certains cas, qu'elle n'a pas de sens lorsqu'elle devient infinie ! Il y a donc un malaise propre aux infinis, je suis peut-être maladroit dans mes explications, mais ce n'est jamais facile de faire entendre une chose qui contrevient au consensuel, à ce qui est admis, et pas plus aisé de l'expliquer, puisqu'il faut le faire en dehors du cadre admis justement ! Comme il est absurde de montrer la qualité supérieure d'une télévision à travers l'écran d'un autre poste de télévision, de moins bonne facture !!!

Je te remercie de cette touchante remarque, bien que je n'en sois pas le seul auteur, et moi aussi je continue à chercher et à approfondir de mon côté, je (re)découvre que Poincaré l'a fait bien mieux que je ne saurais le faire: Le jugement sur lequel repose le raisonnement par récurrence peut être mis sous d’autres formes ; on peut dire par exemple que dans une collection infinie de nombres entiers différents, il y en a toujours un qui est plus petit que tous les autres. On pourra passer facilement d’un énoncé à l’autre et se donner ainsi l’illusion qu’on a démontré la légitimité du raisonnement par récurrence. Mais on sera toujours arrêté, on arrivera toujours à un axiome indémontrable qui ne sera au fond que la proposition à démontrer traduite dans un autre langage. On ne peut donc se soustraire à cette conclusion que la règle du raisonnement par récurrence est irréductible au principe de contradiction. Cette règle ne peut non plus nous venir de l’expérience ; ce que l’expérience pourrait nous apprendre, c’est que la règle est vraie pour les dix, pour les cent premiers nombres par exemple, elle ne peut atteindre la suite indéfinie des nombres, mais seulement une portion plus ou moins longue mais toujours limitée de cette suite. Or, s’il ne s’agissait que de cela, le principe de contradiction suffirait, il nous permettrait toujours de développer autant de syllogismes que nous voudrions, c’est seulement quand il s’agit d’en enfermer une infinité dans une seule formule, c’est seulement devant l’infini que ce principe échoue, c’est également là que l’expérience devient impuissante. Cette règle, inaccessible à la démonstration analytique et à l’expérience, est le véritable type du jugement synthétique a priori. On ne saurait d’autre part songer à y voir une convention, comme pour quelques-uns des postulats de la géométrie. Pourquoi donc ce jugement s’impose-t-il à nous avec une irrésistible évidence ? C’est qu’il n’est que l’affirmation de la puissance de l’esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d’un même acte dès que cet acte est une fois possible. L’esprit a de cette puissance une intuition directe et l’expérience ne peut être pour lui qu’une occasion de s’en servir et par là d’en prendre conscience. Mais, dira-t-on, si l’expérience brute ne peut légitimer le raisonnement par récurrence, en est-il de même de l’expérience aidée de l’induction ? Nous voyons successivement qu’un théorème est vrai du nombre 1, du nombre 2, du nombre 3 et ainsi de suite, la loi est manifeste, disons-nous, et elle l’est au même titre que toute loi physique appuyée sur des observations dont le nombre est très grand, mais limité. On ne saurait méconnaître qu’il y a là une analogie frappante avec les procédés habituels de l’induction. Mais une différence essentielle subsiste. L’induction, appliquée aux sciences physiques, est toujours incertaine, parce qu’elle repose sur la croyance à un ordre général de l’Univers, ordre qui est en dehors de nous. L’induction mathématique, c’est-à-dire la démonstration par récurrence, s’impose au contraire nécessairement, parce qu’elle n’est que l’affirmation d’une propriété de l’esprit lui-même. https://fr.wikisource.org/wiki/La_Science_et_l’Hypothèse/Chapitre_1 Sinon pour une présentation différente du principe, on peut jeter un œil à ceci, orienté pédagogie, et qui n'enlève rien au problème, uniquement de mieux s'en servir, et qui pourrait aussi t'éviter de refaire ce travail colossal: http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_x/fic/88/88x3.pdf

Oui, et c'est bien en partie les reproches que j'ai à en faire, c'est un jeu avec ses propres règles arbitraires, non pas infondées mais sélectionnées par des raisons extérieures injustifiables, alors même qu'elle puise leur source inévitablement du réel, pourquoi ne pas le reconnaitre et l'assumer, l'arithmétique est une activité hautement intuitive dans son fondement, la notion de nombre est indissociable des éléments d'une collection d'objets qui ne sont autres que les objets du monde réel, c'est pour cela que j'ai osé dire que c'est une Physique dégénérée, comme l'humain qui ne voudrait pas reconnaitre qu'il est l'enfant, l'héritier des ces ascendants, de l'humanité, tu vois de quoi je veux parler hein ! On ne peut nier l'évidence... Non, justement, dans un second temps uniquement ! Oui enfin c'est oublié un peu vite la promiscuité avec les physiciens, qui restent de grands pourvoyeurs d'idées mathématiques, qui sont développées, généralisées et légitimées par la suite par les matheux, bien qu'aujourd'hui les autres sciences participent à cette alimentation, tout comme des phénomènes tout à fait ordinaires, que l'on songe à la théorie des jeux, ou plus récemment les graphes, voire les pavages du plan, etc... La mathématique est à l'affût de tout se qui peut la nourrir, on peut même dire qu'elle est dépendante des autres branches du savoir pour continuer à prospérer, si l'on devait couper les ponts, tôt ou tard elle finirait par tourner en rond sur elle-même, sans plus innover, comme la branche de la géométrie en berne depuis l'avènement des géométries non-euclidiennes. Créateurs peut-être, mais il faut toujours une source d'inspiration, comme dit ailleurs, personne ne peut inventer quoi que ce soit sans s'appuyer sur ce qui préexiste, j'aurais beau le vouloir de toutes mes forces, je ne peux jamais produire qu'à partir de choses existantes, absolument jamais ex nihilo ! https://issuu.com/jean-marcbuzzo-gayraud/docs/le_journal_de_saclay_-_n___50_-_au_ Oui, on le peut, j'ai même parlé moi-même très récemment sans être en mesure de les créer, de " nombres fractals " qui serait le pendant des figures de dimension fractale ! Je crois qu'il y a confusion étymologique entre tiers - dans tiers-exclu - et le tiers qui représente la fraction de 1 divisé par 3, du coup il ne peut il y avoir de quart-exclu ! Mais que des tiers-exclus, tous ceux qui ne sont pas du groupe ou des groupes en question ou envisagés. Enfin je te comprends, c'est pour te montrer que ce qui prime n'est pas tant ce qui est écrit, que ce que l'on veut signifier ! C'est le problème des génies en général, il frisent avec la folie plus ou moins douce ! Oui, Poincaré ! Archimède, Euclide, Gauss, Euler, Cauchy ou Weieirtrass aussi. Ce ne sont que des outils, certes utiles comme le marteau ou le tournevis, mais ils sont bien souvent issus des principaux intéressés. Ça me fait songer à un ingénieur français qui a inventé une nouvelle méthode de résolution d'optimisation des contraintes sur pièces mécaniques en partant de petits éléments indépendants soumis à l'influence de ces voisins pour obtenir un effet global optimal, comme dans les hélices d'une turbine/éolienne ou la forme d'un échangeur de chaleur par exemple, mais je ne me souviens plus du nom de cet inventeur, ni le nom de sa méthode qui avait du mal à l'époque à se faire connaitre du monde des physiciens/ingénieurs ou des mathématiciens... Si il n'y avait pas besoin de quantifier nos mesures ou grandeurs, l'outil mathématique n'aurait jamais eu l'impact qu'il a, il faut donc bien dissocier l'activité mathématique des formules employées pour quantifier les expériences, ce qui ne sert bien souvent qu'à prédire et reproduire, pas de les comprendre, ni d'utiliser nos trouvailles. Bien qu'il fût rarement expérimentateur, Poincaré reconnaît et défend l'importance primordiale de l'expérimentation, qui doit rester un critère de la méthode scientifique en physique. Autrement dit, les mathématiques ne doivent pas ramener à elles la physique, mais s'y développer comme un atout. Cet atout serait d'abord un outil : aux dires de Poincaré, les mathématiques sont « la seule langue que [les physiciens] puissent parler » pour se comprendre et se faire comprendre. Ce langage du nombre semble d'ailleurs révéler une unité cachée des choses naturelles, quand bien même seule une partie des mathématiques s'applique à la physique théorique. L'objectif premier de la physique mathématique n'est pas l'invention ou la découverte, mais la reformulation. C'est une activité de synthèse, qui permet de s'assurer de la cohésion des théories qui ont cours à un moment donné. À un moment donné, car Poincaré reconnaît qu'il est impossible de systématiser toute la physique en une seule théorie axiomatique, à une époque donnée. Les idées de Poincaré sur l'espace et ses trois dimensions vont dans ce sens. Quels sont les rapports qu'entretiennent physique et mathématiques ? Poincaré avance que les mathématiques (l'analyse) et la physique ont un même esprit, que les deux disciplines partagent un même but esthétique et qu'elles peuvent toutes deux libérer l'homme de sa simple condition. De façon plus pragmatique, ses arguments vont dans le sens d'une interdépendance, à l'image de celle mise à jour entre intuition et analyse. Le langage mathématique permet non seulement d'exprimer l'avancée scientifique, mais aussi de prendre du recul par rapport à l'étude de la Nature. Les mathématiques montrent l'étendue des découvertes ponctuelles et limitées qui sont faites par les physiciens. À l'inverse, la physique joue un rôle moteur pour le mathématicien, un rôle créatif en tant qu'elle pose des problèmes atypiques ancrés dans la réalité. De plus, elle suggère des solutions et des raisonnements - ainsi, le développement du calcul infinitésimal par Newton dans le cadre de la théorie de la Gravitation. https://fr.m.wikipedia.org/wiki/La_Valeur_de_la_Science

C'est plus qu'un vague sentiment ou une position métaphysique, voire par choix personnel, c'est très pragmatique: Dans la vie quotidienne on est confronté à l'échec de la binarité pour rendre compte de la complexité des phénomènes, par exemple, si nous tombons d'accord pour dire que l'avion - en opération - passe le plus clair de son temps dans les airs, le sous-marin - en opération - dans les profondeurs des mers, que dire alors du bateau - en opération aussi - qui lui se trouve à l'interface des 2 milieux ? Est-il si inconcevable d'envisager 3 positions comme oui, non et autre-chose ? Ou encore oui, non et oui-et-non ? Cette seconde approche est celle du bateau, la première serait représentative des enfants qui naissent avec une ambiguïté anatomique ou une apparence physiologique en désaccord avec leur génétique, ou encore l'hermaphrodisme qui n'est ni une reproduction sexuée, entendue avec partenaire et donc brassage génétique, ni asexuée, et donc sans brassage génétique. Il y a aussi le cas que j'ai déjà mainte fois évoqué de la porte entre-ouverte, elle n'est pas fermée parce que l'ouvrant ne touche plus le dormant, mais elle n'est pas pour autant ouverte parce que je ne peux pas la franchir, c'est donc, ni oui, ni non, mais un tiers état ! D'où sort notre logique bivalente, si ce n'est de la constatation systématique que le monde se comporte très souvent en apparence ( = en première approximation ), de cette manière, l'un ou l'autre ? Ne pourrions-nous pas envisager un circuit électronique de base à trois entrées au lieu de deux, et concevoir tout un système informatique qui l'exploiterait, tout en gagnant du temps de calculs et de la place, car si dans le meilleurs des cas, un composant à 3 entrées pouvait être toujours converti en deux composants à deux entrées, on gagnerait une étape de traitement et l'emplacement dédié

Connaitre un chemin qui mène de A à B en passant par untel ou tel autre, ne nous dit rien, ni sur A, ni sur B, l'équivalence entre le chemin 1 et le chemin 2, est justement tout le travail du mathématicien, en plus de bien définir le point de départ et d'arrivée pour être sûr, mais c'est un circuit fermé qui ne fait référence qu'à lui-même, A ou B ne sont pas forcément vrais, ce sont des départs et destinations uniquement, la vérité n'est affaire que d'adéquation entre la réalité et ce que l'on rapporte de celle-ci. Parce que l'Homme lui-même n'est pas binaire, c'est plus complexe que ça, la vie est toujours plus raffinée que les simplifications que l'on fait sur son compte...

Oui et non. Si il était question d'une chose concrète comme par exemple, si je pose une brique - qui sont toutes identiques - sur une pile, alors cette nouvelle pile est plus grande que la précédente, là je n'ai rien à contester, en revanche lorsque j'introduis une hypothèse et que je l'inocule dans le problème, je ne peux pas être complètement surpris de la voir resurgir plus tard, mais ma crainte c'est qu'elle le fasse sans faire de " vague ", sans contradiction, comment dès lors être certain que ce manque de rugosité ou d'entrave, soit une preuve de la justesse de l'hypothèse ? Ça c'est ce qui se passe dans un système axiomatique en usitant des règles logiques non contestées, ce qui me chagrine c'est l'apport d'une pièce étrangère au problème, cette fameuse hypothèse, ça me fait étrangement songer au cinquième postulat d'Euclide ! Mais je rappelle aussi que le raisonnement par récurrence est aussi et avant tout une induction, or une induction n'a rien de logique ou de nécessaire, à l'inverse d'un raisonnement purement déduction ou hypothético-déductif ! Cela ressemble à un talon d'Achille ? J'avoue que la première fois que je t'ai lu, j'ai plutôt songé à un jeu de dominos, les uns à côté des autres, on initie le processus, puis de proche en proche normalement on va du point de départ jusqu'à l'arrivée potentielle, mais qu'est-ce qui nous empêche d'imaginer justement un jeu circulaire, qui s'auto-entretient en quelque sorte ? Je crois que tu t'appuies sur moi, les math sont une épuration de la réalité, on ne prend que les éléments les plus saillants/remarquables/généraux, processus toujours en cours avec la physique d'ailleurs, les mathématiciens se sont appropriés des outils de physiciens, telle les distributions, les séries de Fourier ou les intégrales de chemin par exemples, il y en a surement bien d'autres, d'autant plus qu'avant l'époque contemporaine les savants étaient les deux bien souvent, il n'est pas à exclure que Newton ait développé ses infinitésimales sur des considérations physique, là où Leibniz lui l'aura fait de manière plus mathématique, de mémoire.

Le tiers-exclu, ce qui implique aussi le principe de non-contradiction par conséquent, mais on peut aussi douter de l'emploi des infinis comme je m'échine à le montrer, et pour moi c'est amplement suffisant pour recourir à une approche plus constructive, par exemple rechercher la valeur de Pi par le procédé d'Archimède est, pour ma part, une " bonne " méthode, en revanche le principe de raisonnement par récurrence est douteux, car si on l'applique au monde physique, il ne tient jamais la route, car les approximations de départ rejaillissent toujours à un moment ou à un autre, de plus rien ne peut être totalement infini par faute de moyens, de ressources ou de temps. Et il y a une passerelle entre les mathématiques et le monde réel, même si on se refuse à la voir ! Bref les math " classique " c'est bien joli, mais dans ma conception, c'est une Physique qui a dégénéré... Mais il est vrai qu'il n'est pas interdit de jouer, que ce soit aux échecs ou avec les maths ou des briques de Lego, chacun son trip. Parce que les entiers eux-mêmes sont construits de manière récurrente, non ?

Derrière le symbolisme mathématique se dévoile un sens, il ne faut pas rester cloitrer derrière le jargon matheux, il faut tenter de comprendre la signification profonde de ce que l'on manipule, de ce que l'on lit ou écrit. Le symbolisme en math est une forme abrégée de langage, qui peut sans perte être retranscrit dans le langage ordinaire: De la sorte, on voit de multiple connexions entre la mathématique, la physique, la vie quotidienne, la philosophie, d'autres sciences, la psychologie, etc... ( La sommation de 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +... a une signification, une situation potentiellement réelle qui y correspond, dû à Zénon. ) Par exemple le signe = signifie équivalence ou égalité si ce sont des nombres. D'autre part il n'y a jamais de vérité en mathématique, juste des équivalences/similarités, dans l'algèbre booléenne l'emploi des termes vrai et faux est impropre, car cette logique est employée couramment en électronique ou informatique, le fait que le courant passe n'est pas une vérité en soi, ni qu'il ne passe plus une fausseté, il vaudrait mieux le retraduire par oui - non par exemple. Peut-on soutenir que 0.99999... égal 1 en toute rigueur ? Quelle est la somme de 1 - 1 +1 - 1 + 1 - 1 + ... = ?

Merci de t'en soucier, mais j'ai vu qu'au fil de tes propres réflexions, tu as fini par te rendre compte de quoi je parlais: on ne peut pas démontrer le principe de raisonnement par récurrence, but premier de mon intervention ! En réalité il y a 3 positions: celle de Hilbert ( position formelle, c'est une règle ), celle de Frege ( c'est une définition, car elle est incluse dans la construction des entiers naturels ) et celle de Poincaré ( elle est intuitive, on ne peut la démontrer, elle n'est pas réductible, ni à la logique, ni au principe de non-contradiction, au mieux on a un système circulaire de part l'axiomatique -> Frege ): 8. Conclusions En résumé, il me semble avisé de conclure avec Poincaré que le principe de récurrence, bien que très proche en apparence de principes purement logiques, leur est cependant incommensurable. Le principe, comme le montre Frege, peut certes être démontré formellement à partir d’une définition de la notion de nombre – résultat en soi remarquable – mais cette définition elle-même s’appuie sur un premier principe inductif. http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2015/146/smf_gazette_146_27-37.pdf 4. En guise de conclusion : débats autour de l’induction mathématique ; Poincaré, Wittgenstein Le grand mathématicien français, H. Poincaré, s’éleva vigoureusement contre une telle manière de voir les choses. Pour lui, le raisonnement par récurrence, qui est à ses yeux au cœur des mathématiques, est irréductible à la logique car la conclusion qu’on en tire enveloppe l’infini et il affirmait, dans un article fameux de 1894, « Sur la nature du raisonnement mathématique », que « la règle du raisonnement par récurrence est irréductible au principe de contradiction. » Et il ajoutait : « Cette règle, inaccessible à la démonstration analytique et à l’expérience, est le véritable type du jugement synthétique a priori. … elle n’est que l’affirmation de la puissance de l’esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d’un même acte dès que cet acte est une fois possible » (Poincaré, 1902/1968, p. 41). Par la suite, lors de sa polémique contre Russell et Couturat dans les années 1900, il ne cessa de faire remarquer que toute tentative de réduire les mathématiques à un système axiomatisé, ou à la logique axiomatisée, présupposait nécessairement l’emploi du principe d’induction et ne pouvait donc prétendre intégrer et justifier ce dernier. Cela allait de pair, dans son esprit, avec la thèse que les entiers naturels sont une donnée primitive, dont toute prétendue définition ne peut qu’être circulaire. http://encyclo-philo.fr/induction-gp/ Et pour aller plus loin sur les méandres des mathématiques avec J.P. Delahaye: La théorie des ensembles a su se prémunir des antinomies (noms donnés alors aux contradictions qu'on y a trouvées) et elle constitue aujourd'hui un socle pour toutes les mathématiques, dont elle a unifié et simplifié la présentation. Dans son cas, plusieurs remèdes différents ont été proposés. L'axiomatisation de Zermelo-Fraenkel est la plus souvent adoptée : elle se fonde sur l'idée que n'importe quel regroupement d'objets ne doit pas être considéré comme un ensemble et qu'en particulier les regroupements trop gros (comme celui de tous les ensembles) sont à éviter. Même si la solution retenue aujourd'hui apparaît ad hoc à certains logiciens, elle fonctionne parfaitement, et, depuis plus de 70 ans, aucune nouvelle antinomie n'a été découverte. http://1libertaire.free.fr/godel02.html [ Je ne pensais pas qu'une écriture littérale tronquée par facilité à cause de l'éditeur de textes - avant la refonte du site il y a peu l'éditeur proposait les indices et les exposants ce qui facilitait l'écriture matheuse, mais ça c'était avant - aurait causé un tel embarras, j'aurais cru que c'était suffisamment évident pour ne pas confondre exp entre exposant et exponentielle, oui je suis de la " vieille école " ça ne me gêne pas le moins du monde de dire 5 exposant 2 ] Définition de la puissance réelle. x est un réel strictement positif et a est un réel quelconque. xa (appelez-le "x puissance a" ou "x exposant a") est le réel défini par : xa = exp(a . ln(x)) = ea . ln(x) http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc5/puissanceA.html Mais mon souci n'était pas de résoudre l'exercice, qui était parfaitement secondaire. Je reformule ma requête, peut-on être certain, et je crois que quelque part tu te l'aies posée également, que si j'ai une hypothèse fausse, je puisse avoir quand même l'hérédité mais fausse également !? ( avec l'étape d'initialisation validée ) [ Ce qui ne peut aucunement être le cas avec l'exo de mon fils puisque j'ai donné l'écriture formelle de la suite et qui correspond à l'hypothèse ] Fausse dans le sens où je retrouve, après intégration, développements et simplifications, à " n+1 " mon hypothèse de départ en " n ", c'est-à-dire en changeant n par n+1 dans la formulation directement - ce que tu m'as reproché, comme étant un court-circuit dans le raisonnement - mais en réalité c'est ça que j'avais en tête, dit autrement, que cela marche sur le papier, avec la formule ou sur la forme, mais que ce soit faux dans la partie numérique/calculée avec les valeurs effectives. Je donne un " exemple " connexe pour fixer les idées, si j'ai 3x + 1 = 0, on voit bien que si on prend l'hypothèse x = 5 ça ne marche pas, par contre si je prends x = f ( t ) alors je n'ai rien de faux en remplaçant, mais je n'ai aucune garantie que ce soit juste pour autant tant que je ne donne pas une valeur à f ( t ). Il faut se concentrer sur l'idée derrière et non pas sur l'exemple qui est trivial et ne pose strictement aucun problème: de remplacer une expression par une autre n'apporte de prime abord aucune garantie, même si il n'y a aucune contradiction pendant le processus; et c'est ce que je demande, quand on introduit une hypothèse formelle dans le principe de raisonnement par récurrence, comment être certain que celle-ci ne peut pas ne pas être juste ( la double négation est primordiale: je ne suis pas malheureux *n'implique pas d'être heureux, je ne suis pas pauvre *n'implique pas d'être riche ) Pas uniquement, à tous les niveaux y compris bien plus élevés: Une étude menée en France par Grenier, didactitienne des mathématiques, en témoigne. Afin de bien maitriser cet outil, constate-t-elle, des connaissances en logique mathématique s'imposent. Celles-ci ne sont pas toujours acquises et cela engendre des confusions et des erreurs à propos de la démonstration par récurrence. Parfois même, sa légitimité en tant que moyen de démonstration valide est remise en question. Tous ces constats, Grenier a pu les établir grâce à une enquête menée auprès d'étudiants universitaires de sections scientifiques et d'enseignants de mathématiques.

Je ne comprends pas la nature de l'objection !? Si " n " est un entier naturel, ne puis-je pas prendre celui que je veux, aussi grand que je veux ? Si non, dans ce cas, toute l'Analyse est à revoir, car il est plus que fréquent de faire tendre vers l'infini le " n " qui est toujours pris dans N, c'est-à-dire dans les entiers naturels. Y aurait-il en mathématique deux poids et deux mesures ? Un légitime en Analyse et un autre en Algèbre ? Néanmoins, si l'usage des infinis dans mon exemple pose problème, alors cela confirme mes réticences sur leur usage inconsidéré, si l'exemple est valide en usant des infinis, alors on voit poindre une contradiction par l'emploi justement des infinis, retour à la case départ, il faut être vigilant quand on use des infinis indéfiniment si j'ose dire.

Ce qui est amusant avec la " conscience " c'est lorsque l'on songe aux déficiences du corps calleux, qui réunit les deux hémisphères cérébraux par une sorte de " bus ", et bien tout porte à croire quand les parties sont découplées qu'il y a comme deux consciences en la même personne, un cas spectaculaire est la dyspraxie diagonistique !

Pour ce qui concerne la résolution de cet exercice en particulier, bien que mon propos était de l'utiliser à titre illustratif, on aurait pu se rendre compte, que la suite Vn pouvait s'écrire autrement formellement et en toute rigueur, et non pas par devinette, à partir des données de l'énoncé: Vn = ( n+1 ) Un où U0 = 1, cela donne V0= 1 aussi ( soit Un = Vn/( n+1 ) ) écrivons littéralement Vn+1, puis développons: Vn+1 = ( (n+1) + 1 ) Un+1 = ( n+2 ) . ( n+1 )/( 2n + 4 ) . Un = ( n+2 )( n+1 )/2( n+2 ) . Un = ( n+1 )/2 . Un = 1/2 Vn il vient tout de suite que Vn+2 = ( 1/2 )2 Vn ou que Vn+p = (1/2)P Vn, en prenant n=0, on obtient Vp = 1/2P directement, et ainsi avoir l'expression à calculer sans itération de notre suite Un = 1/( n+1 ) . 1/2n ********* Ce qui m'intéresse encore une fois, ce n'est pas l'exo en lui-même, qui ne présente pas de difficulté particulière, mais l'usage du raisonnement par récurrence en tant que principe ! Ou en tant que méthode, quelle en est alors sa légitimité ? Uniquement ça marche, alors on continue comme ça ou y a-t-il une démonstration de sa validité, d'en faire un " théorème " ? ( Voir mes " contre-exemples " donnés à Quasi-modo ) Poincaré était confiant dans ce principe, alors qu'il était intuitionniste, mais les mathématiciens ont-ils raison de faire confiance à ce guide ? Combien de fois dans l'histoire des mathématiques il y a eu des retournements de situation, comme la fois où l'on prenait pour évident que toute fonction continue était dérivable, il aura fallu attendre qu'un mathématicien arrive à montrer que c'était faux à partir d'un " exemple ", ou que l'on a cherché, persuadé mais en vain, l'expression par radicaux les solutions aux équations algébriques jusqu'à E. Galois. En science on est confiant dans le principe de moindre action ( trouvé empiriquement/par tâtonnement cela dit en passant, et émis par Fermat je crois de mémoire ) également, mais il est posé comme point de départ à appliquer, non comme la résultante d'autres critères/phénomènes plus fondamentaux, comme les forces ou l'énergie, là on est bien dans " ce principe n'a jamais été pris en défaut alors on continue ", mais c'est issu de l'expérience, ce qui est normal et un prérequis en science, en est-il de même en mathématique finalement, contrairement à ce que l'on voudrait - nous faire - croire, sur la grande rigueur/perfection exigée/attendue en math ? Merci de ta participation et du temps consacré.

C'est effectivement ce qu'il a fait, et en cela il fait ce que l'on attend de lui, comme il est indiqué dans tous les livres de math ( comme le condensé " mathématiques de A à Z " A. Larroche et P. Laurent DUNOD ). Néanmoins, cela ne répond pas à mes objections concernant la validité même du principe de raisonnement par récurrence.

Oui, il y a régulièrement des mathématiciens qui nous révèlent que telle proposition est indécidable, il n'y a certes pas qu'une seule dans le même système d'axiomes, mais delà à dire qu'il y en a une infinité, c'est peut-être en soi une proposition indécidable !

Je réitère sans vouloir abuser, si la démonstration des théorèmes d'incomplétude repose sur l'idée du paradoxe du menteur, on peut pourtant en déduire plusieurs choses, sans avoir à refaire les travaux de Gödel. Tout d'abord, le paradoxe n'est que conceptuel encore une fois, aucun menteur n'a été arrêté de stupeur dans son entreprise, il n'y a donc aucune inconsistance, ni incomplétude dans son univers, il le fait c'est tout. Et à nouveau, que la mathématique sans insister lourdement, n'est pas la réalité, mais une abstraction de celle-ci, ces " incompétences " n'engagent donc que son représentant, non la vie réelle, comme les " incompétences " de notre langage n'engage pas la réalité elle-même, je peux dire des choses qui sont irréelles, qui ne sont pas fondées, qui sont fausses, mais le monde physique ne s'en trouve pas plus affecté que ça ! Les infinis sont à prendre avec des pincettes, j'estime qu'ils ne sont pas dignes de confiance, mieux vaut s'en tenir à un nombre aussi grand que l'on veut, fixé d'avance ou potentiellement fixé. Pour reprendre rapidement l'idée du paradoxe de Richards, si l'on tronque les nombres réels à partir de la n-ième décimale dans l'intervalle ] 0, 1 [, on peut dans ce cas faire une bijection entre une sous partie de N et tous ces nombres de l'intervalle, aussi loin que l'on voudra, là je raisonne en tant " qu'analyste " à epsilon près, et comme c'est vrai quel que soit n choisi, on voit bien que tout repose sur une " course " entre les infinis des nombres réels et celui des nombre entier, il ne sont pas sur le même " plan ", mais si l'on accepte une approximation - inévitable dans le monde physique, puisque rien n'est indéfiniment infini - alors on peut produire un résultat radicalement différent de ce qui est tenu pour vrai dans le cas de la manipulation tout azimut des infinis. Voilà ce que j'appellerai une position constructiviste.