deja-utilise

E' n'est-il pas lui-même un ensemble construit ? Et qui a donc les propriétés résiduelles de sa conception. Pour tout n ce que tu dis est vrai, mais ce qui m'intéresse c'est le passage à la limite comme ce que l'on fait par construction avec N également, quand les ensembles s'entrechoquent loin de notre regard, tout là-bas dans cet infini inaccessible à l'esprit humain, qui pourtant le manipule sans vergogne et en tire des conclusions. Ce qui m'intéresse c'est de montrer que les ensembles infinis restent paradoxaux même sans avoir recours aux ensembles d'ensembles " trop gros ", ils le sont intrinsèquement. Comme dit à toi et redit à Spontzy, c'est comme une course, la question revient à se demander lequel va le plus vite ! N, E ou E' quand je fais tendre n vers l'infini ? Je reviens vite fait sur la diagonale de Cantor, il présuppose des suites Uij issus de N qui donneraient tous les nombres réels entre 0 et 1, et par sa diagonalisation il exhibe potentiellement un nombre qui n'en fait pas parti, cela veut dire qu'il a fixé d'abord l'ensemble des Uij, puis ensuite il la prend de court en forçant une construction à dépasser n'importe lequel. Pourtant on pourrait prendre son argument à " l'envers ", lorsqu'il pense avoir exhibé un tel nombre qui n'est pas dans la liste, de créer la liste ( basée sur N ) au fur et à mesure que je trouve de tels nombres ( les réels ) plus vite qu'ils ne sont présentés, cette fois-ci je prendrais de court toute proposition donnée d'avance en étendant ma liste ( l'ensemble des éléments construits à partir de N ) en tant que de besoin ( je prends en quelque sorte les " nombres diagonaux " en premier; on prend n'importe quelle liste aussi grande que je veux de nombres réels - entre 0 et 1 toujours - et je trouve un moyen de les construire tous à partir de N ) ! Tu vois ce que je veux dire ? Je sais ce n'est peut-être pas des plus clair, ce qu'il faut c'est sentir l'idée ( de course ) plus que de s'en tenir à ce que j'écris maladroitement sans doute. ******* Ne conçoit-on pas que 0,9999...n soit égal à 1 quand " n " tende vers l'infini ? Il y a une histoire de convergence là-dedans, non ? Ne puis-je pas envisager que les ensembles que j'ai construits ne (di)convergent-ils pas eux aussi, comme N ou l'ensemble vide, ce qui est vrai pour un nombre isolé, ne se peut-il pas pour une collection ou un ensemble ( même si la notion de convergence est là aussi sans doute impropre mais c'est l'idée qu'il faut saisir ) Si je suis en mesure de créé N, ni puis-je pas construire ce qui l'annihile, on peut construire comme on peut déconstruire, non ?

On peut dire que c'est la première topique de Wittgenstein cette façon d'aborder le problème, or dans sa deuxième il dit que le formalisme langagier n'est pas réductible à la réalité, ni logiquement, ni sémantiquement. Il nous faut bien découpler le support du langage quel qu'il soit, naturel ou mathématique, et sa signification qui transcende sa représentation symbolique, je dis souvent qu'un proverbe ou une expression, n'est jamais à prendre au pied de la lettre, la composition et l'agencement des mots qui le/la contienne ne donne pas son sens général, ce sens est hors du contenu manifeste/explicite/exposé. Il vient donc, que le vrai doit être entendu comme ce qui fait référence à ce qui a été, qu'il est adapté ou en adéquation avec le réel, il n'a pas besoin d'être exhaustif, juste de renvoyer aux faits tels qu'ils se sont produits, et on été captés, peu importe l'interface communicante, ce qui compte c'est la signification du rapport avec l'évènement, le support de communication est secondaire, par exemple de dire " j'en veux plus ", se comprend parfaitement même si il manque la négation pourvu que l'on soit immergé un tant soit peu dans l'environnement en question, a contrario, elle peut être prise complètement à l'opposée; la vérité donc n'est pas dans la formulation, mais dans sa signification et son lien avec la réalité. C'est une des raisons pour laquelle j'ai essayé de te dire que ce qui est compris et interprété en mathématique, s'applique essentiellement et surtout dans cette discipline, ce n'est pas transposable stricto sensu vers le monde réel, sans précaution, pas plus que les expériences de laboratoire n'épuisent la complexité du réel, et qui sont donc fortement modulées lors de réactions réelles attendues, ou encore dans un autre registre de ne pas être surpris que la scolarité forme les élèves avant tout à réussir à l'école, comme l'a dit un psychologue je crois " à former des enseignants " et non à affronter l'existence et toutes ses subtilités et dimensions, pour le dire autrement elle ne forme pas, elle déforme nos besoins effectifs. Le vrai serait plus à rapprocher de l'observationnel que du démontrable, ou dit autrement, au montrable si je puis dire ! Si je dis par exemple que ma voiture est en panne et que je n'ai pas pu te rejoindre hier comme prévu, il suffit que tu vois la voiture chez le macano, ou que tu viennes chez moi et que tu tentes de la faire partir. Ou si je dis que l'arbre devant ma fenêtre me fait de l'ombre le midi l'été, il te suffit de venir voir par toi-même à l'heure du déjeuner en période estivale qu'il en est bien ainsi, tes sens te suffisent à montrer la vérité, il n'y a aucune démonstration abstraite à faire, aucun raisonnement hypothético-déductif à entreprendre, juste de constater. Au contraire, comme nous l'a rappelé Aliochaverkiev on peut fort bien avoir un syllogisme qui tient la route, être logiquement bon, mais faux, entre sa forme architecturale qui respecte les règles d'assemblage et son rapport à la réalité, aux faits, entre la construction et son sens, comme dans le monde physique je peux construire des objets qui ne servent strictement à rien, qui n'ont aucune fonction, qui vont même m'empoisonner la vie, par exemple je peux faire une maison sans porte et sans fenêtre ! Je le peux mais c'est stupide ou inutile. Pouvoir est une chose, mais sa signification en est une autre. Mon propos n'était pas là, je ne dis pas que ce dont on ne peut faire de rapport n'aurait pas d'existence, je dis que ce que l'on appelle la vérité, n'est autre que le rapport adéquat entre ce qui rapporté et ce qui s'est produit ou ce qui est réellement, même si ce compte-rendu n'est que partiel et spéciste ( propre à l'humain ), si n'importe quel humain en possession de ses facultés mentales peut constater par/de lui-même que c'est bien ainsi sur la partie rapportée, alors ce que le premier avait dit est tout bonnement vrai, ce n'est pas la chose exhibée, qui est vraie ou fausse, juste le rapport qui est fait. La science ne s'arrête fort heureusement pas avec celles dites dures, il faut aussi y inclure celles dites molles, donc notre propre psychologie ou fonctionnement d'être " spirituel ". Je peux être à la fois heureux et malheureux, en la même personne ressentir des émotions antagonistes, par exemple la femme dont je suis éperdument amoureux me déclare aussi sa flamme, et en même temps j'apprends le décès de mon père ou de ma mère ! C'est l'un et l'autre et non l'un ou l'autre. Mais tu arriveras sans doute à objecter que les évènements peuvent être découplés, temporellement ou parce que ça ne s'applique pas aux mêmes personnes par exemples, que l'on peut créer des cases distinctes dans notre esprit, alors imaginons une situation plus profonde, tu chéries viscéralement ton enfant unique mais celui-ci crée par colère un accident fatal à sa mère, qui est aussi ton alter-ego sentimental, ta moitié, tu te trouves déchiré à détester et aimer en même temps, la même personne ton fils ou ta fille, les deux sentiments se chevauchent temporellement et " spatialement ", tu vis l'un et l'autre simultanément... À méditer ! Tant que l'on n'envisage que la binarité, et bien on ausculte le monde sous ce seul scalpel, mais dès que l'on franchit le Rubicon, en rejetant le tiers-exclu, le monde s'éclaire différemment... Biz

Bonjour, je suis désolé, ça m'échappe encore, dans mon livre L1 ( éd. Pearson ) on se réfère aux axiomes de Peano: N est un ensemble ordonné vérifiant les propriétés suivantes: 1) N admet un plus petit élément noté 0 2) L'ordre < ou = est total sur N 3) Tout entier n admet un unique successeur noté n+1 4) Tout entier n différent de 0 admet un unique prédécesseur noté n-1 5) Le principe de récurrence. Soit, pour tout n dans N, HR(n) une propriété dépendant de n. Si HR(n) est vraie et si, pour tout n élément de N, l'implication HR(n) => HR(n+1) est vraie, alors HR(n) est vraie pour tout n dans N. http://bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./p/peanoarithm.html Qu'est-ce que cela signifie ?: que la collection d'éléments est ( bien ) ordonnée du plus petit au plus " grand " ( points 2, 3 et 4 ), qu'il y a un premier élément de départ, le plus petit ( point 1 ), mais qu'il n'y a pas de plus grand - absolu - élément, l'ensemble n'est pas borné ( semi-borné ), à cela on rajoute la notion de récurrence par définition. Un " n " quelconque peut donc prendre n'importe quelle valeur entre 0 et l'infini, il ne bute sur aucune frontière haute. ****** Le “nombre entier” est un concept qui répond à deux besoins : celui d’ordonner un ensemble d’éléments, et celui de comparer “en puissance” des ensembles https://www.naturelovesmath.com/mathematiques/quest-ce-quun-nombre-episode-1-les-nombres-entiers-naturels/ ***** Encore une fois, en Analyse, le " n " pris arbitrairement est ensuite projeté à l'infini, aujourd'hui personne ne s'en offusque, il faut bien comprendre que je ne me situe pas dans la droite ligne du logicisme, sinon je serais en contradiction nécessairement, comme je ne peux pas critiquer le langage autrement qu'en usant du langage ou rendre Justice autrement qu'en utilisant le droit, au contraire, je tente de me placer dans une " alternative " qui est celle, plus familière pour moi, de l'Analyse et qui repose sur des bases solides, au moins intuitivement selon ma conception. Je ne peux pas d'un côté, user de ce stratagème dans la diagonale de Cantor et de l'autre le refuser parce que cela m'incommode dans un " contre-exemple " ! J'ai essayé avec mes mots ( je ne maitrise pas/plus assez le formalisme mathématique pour le retranscrire formellement ) de dire qu'il y avait une " course " dans l'usage des infinis qui se joue au loin, et qui échappe à notre regard, tout en restant nous à notre place, ce qui s'apparente selon moi à un mirage, comme lorsque l'on regarde deux routes parallèles se " rejoindre " à l'horizon, voire même pourquoi pas envisager qu'elles se coupent puisqu'elles se rapprochent sans cesse du point de vue où je suis, alors que localement je peux m'assurer qu'elles sont bien parallèles aux erreurs de mesures près. Une sommation de termes alternés ( +, - ) est aisée à calculer lorsque leur nombre est fini, en revanche on est obligé de dire par capitulation dans certains cas, qu'elle n'a pas de sens lorsqu'elle devient infinie ! Il y a donc un malaise propre aux infinis, je suis peut-être maladroit dans mes explications, mais ce n'est jamais facile de faire entendre une chose qui contrevient au consensuel, à ce qui est admis, et pas plus aisé de l'expliquer, puisqu'il faut le faire en dehors du cadre admis justement ! Comme il est absurde de montrer la qualité supérieure d'une télévision à travers l'écran d'un autre poste de télévision, de moins bonne facture !!!

Je te remercie de cette touchante remarque, bien que je n'en sois pas le seul auteur, et moi aussi je continue à chercher et à approfondir de mon côté, je (re)découvre que Poincaré l'a fait bien mieux que je ne saurais le faire: Le jugement sur lequel repose le raisonnement par récurrence peut être mis sous d’autres formes ; on peut dire par exemple que dans une collection infinie de nombres entiers différents, il y en a toujours un qui est plus petit que tous les autres. On pourra passer facilement d’un énoncé à l’autre et se donner ainsi l’illusion qu’on a démontré la légitimité du raisonnement par récurrence. Mais on sera toujours arrêté, on arrivera toujours à un axiome indémontrable qui ne sera au fond que la proposition à démontrer traduite dans un autre langage. On ne peut donc se soustraire à cette conclusion que la règle du raisonnement par récurrence est irréductible au principe de contradiction. Cette règle ne peut non plus nous venir de l’expérience ; ce que l’expérience pourrait nous apprendre, c’est que la règle est vraie pour les dix, pour les cent premiers nombres par exemple, elle ne peut atteindre la suite indéfinie des nombres, mais seulement une portion plus ou moins longue mais toujours limitée de cette suite. Or, s’il ne s’agissait que de cela, le principe de contradiction suffirait, il nous permettrait toujours de développer autant de syllogismes que nous voudrions, c’est seulement quand il s’agit d’en enfermer une infinité dans une seule formule, c’est seulement devant l’infini que ce principe échoue, c’est également là que l’expérience devient impuissante. Cette règle, inaccessible à la démonstration analytique et à l’expérience, est le véritable type du jugement synthétique a priori. On ne saurait d’autre part songer à y voir une convention, comme pour quelques-uns des postulats de la géométrie. Pourquoi donc ce jugement s’impose-t-il à nous avec une irrésistible évidence ? C’est qu’il n’est que l’affirmation de la puissance de l’esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d’un même acte dès que cet acte est une fois possible. L’esprit a de cette puissance une intuition directe et l’expérience ne peut être pour lui qu’une occasion de s’en servir et par là d’en prendre conscience. Mais, dira-t-on, si l’expérience brute ne peut légitimer le raisonnement par récurrence, en est-il de même de l’expérience aidée de l’induction ? Nous voyons successivement qu’un théorème est vrai du nombre 1, du nombre 2, du nombre 3 et ainsi de suite, la loi est manifeste, disons-nous, et elle l’est au même titre que toute loi physique appuyée sur des observations dont le nombre est très grand, mais limité. On ne saurait méconnaître qu’il y a là une analogie frappante avec les procédés habituels de l’induction. Mais une différence essentielle subsiste. L’induction, appliquée aux sciences physiques, est toujours incertaine, parce qu’elle repose sur la croyance à un ordre général de l’Univers, ordre qui est en dehors de nous. L’induction mathématique, c’est-à-dire la démonstration par récurrence, s’impose au contraire nécessairement, parce qu’elle n’est que l’affirmation d’une propriété de l’esprit lui-même. https://fr.wikisource.org/wiki/La_Science_et_l’Hypothèse/Chapitre_1 Sinon pour une présentation différente du principe, on peut jeter un œil à ceci, orienté pédagogie, et qui n'enlève rien au problème, uniquement de mieux s'en servir, et qui pourrait aussi t'éviter de refaire ce travail colossal: http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_x/fic/88/88x3.pdf

Oui, et c'est bien en partie les reproches que j'ai à en faire, c'est un jeu avec ses propres règles arbitraires, non pas infondées mais sélectionnées par des raisons extérieures injustifiables, alors même qu'elle puise leur source inévitablement du réel, pourquoi ne pas le reconnaitre et l'assumer, l'arithmétique est une activité hautement intuitive dans son fondement, la notion de nombre est indissociable des éléments d'une collection d'objets qui ne sont autres que les objets du monde réel, c'est pour cela que j'ai osé dire que c'est une Physique dégénérée, comme l'humain qui ne voudrait pas reconnaitre qu'il est l'enfant, l'héritier des ces ascendants, de l'humanité, tu vois de quoi je veux parler hein ! On ne peut nier l'évidence... Non, justement, dans un second temps uniquement ! Oui enfin c'est oublié un peu vite la promiscuité avec les physiciens, qui restent de grands pourvoyeurs d'idées mathématiques, qui sont développées, généralisées et légitimées par la suite par les matheux, bien qu'aujourd'hui les autres sciences participent à cette alimentation, tout comme des phénomènes tout à fait ordinaires, que l'on songe à la théorie des jeux, ou plus récemment les graphes, voire les pavages du plan, etc... La mathématique est à l'affût de tout se qui peut la nourrir, on peut même dire qu'elle est dépendante des autres branches du savoir pour continuer à prospérer, si l'on devait couper les ponts, tôt ou tard elle finirait par tourner en rond sur elle-même, sans plus innover, comme la branche de la géométrie en berne depuis l'avènement des géométries non-euclidiennes. Créateurs peut-être, mais il faut toujours une source d'inspiration, comme dit ailleurs, personne ne peut inventer quoi que ce soit sans s'appuyer sur ce qui préexiste, j'aurais beau le vouloir de toutes mes forces, je ne peux jamais produire qu'à partir de choses existantes, absolument jamais ex nihilo ! https://issuu.com/jean-marcbuzzo-gayraud/docs/le_journal_de_saclay_-_n___50_-_au_ Oui, on le peut, j'ai même parlé moi-même très récemment sans être en mesure de les créer, de " nombres fractals " qui serait le pendant des figures de dimension fractale ! Je crois qu'il y a confusion étymologique entre tiers - dans tiers-exclu - et le tiers qui représente la fraction de 1 divisé par 3, du coup il ne peut il y avoir de quart-exclu ! Mais que des tiers-exclus, tous ceux qui ne sont pas du groupe ou des groupes en question ou envisagés. Enfin je te comprends, c'est pour te montrer que ce qui prime n'est pas tant ce qui est écrit, que ce que l'on veut signifier ! C'est le problème des génies en général, il frisent avec la folie plus ou moins douce ! Oui, Poincaré ! Archimède, Euclide, Gauss, Euler, Cauchy ou Weieirtrass aussi. Ce ne sont que des outils, certes utiles comme le marteau ou le tournevis, mais ils sont bien souvent issus des principaux intéressés. Ça me fait songer à un ingénieur français qui a inventé une nouvelle méthode de résolution d'optimisation des contraintes sur pièces mécaniques en partant de petits éléments indépendants soumis à l'influence de ces voisins pour obtenir un effet global optimal, comme dans les hélices d'une turbine/éolienne ou la forme d'un échangeur de chaleur par exemple, mais je ne me souviens plus du nom de cet inventeur, ni le nom de sa méthode qui avait du mal à l'époque à se faire connaitre du monde des physiciens/ingénieurs ou des mathématiciens... Si il n'y avait pas besoin de quantifier nos mesures ou grandeurs, l'outil mathématique n'aurait jamais eu l'impact qu'il a, il faut donc bien dissocier l'activité mathématique des formules employées pour quantifier les expériences, ce qui ne sert bien souvent qu'à prédire et reproduire, pas de les comprendre, ni d'utiliser nos trouvailles. Bien qu'il fût rarement expérimentateur, Poincaré reconnaît et défend l'importance primordiale de l'expérimentation, qui doit rester un critère de la méthode scientifique en physique. Autrement dit, les mathématiques ne doivent pas ramener à elles la physique, mais s'y développer comme un atout. Cet atout serait d'abord un outil : aux dires de Poincaré, les mathématiques sont « la seule langue que [les physiciens] puissent parler » pour se comprendre et se faire comprendre. Ce langage du nombre semble d'ailleurs révéler une unité cachée des choses naturelles, quand bien même seule une partie des mathématiques s'applique à la physique théorique. L'objectif premier de la physique mathématique n'est pas l'invention ou la découverte, mais la reformulation. C'est une activité de synthèse, qui permet de s'assurer de la cohésion des théories qui ont cours à un moment donné. À un moment donné, car Poincaré reconnaît qu'il est impossible de systématiser toute la physique en une seule théorie axiomatique, à une époque donnée. Les idées de Poincaré sur l'espace et ses trois dimensions vont dans ce sens. Quels sont les rapports qu'entretiennent physique et mathématiques ? Poincaré avance que les mathématiques (l'analyse) et la physique ont un même esprit, que les deux disciplines partagent un même but esthétique et qu'elles peuvent toutes deux libérer l'homme de sa simple condition. De façon plus pragmatique, ses arguments vont dans le sens d'une interdépendance, à l'image de celle mise à jour entre intuition et analyse. Le langage mathématique permet non seulement d'exprimer l'avancée scientifique, mais aussi de prendre du recul par rapport à l'étude de la Nature. Les mathématiques montrent l'étendue des découvertes ponctuelles et limitées qui sont faites par les physiciens. À l'inverse, la physique joue un rôle moteur pour le mathématicien, un rôle créatif en tant qu'elle pose des problèmes atypiques ancrés dans la réalité. De plus, elle suggère des solutions et des raisonnements - ainsi, le développement du calcul infinitésimal par Newton dans le cadre de la théorie de la Gravitation. https://fr.m.wikipedia.org/wiki/La_Valeur_de_la_Science

C'est plus qu'un vague sentiment ou une position métaphysique, voire par choix personnel, c'est très pragmatique: Dans la vie quotidienne on est confronté à l'échec de la binarité pour rendre compte de la complexité des phénomènes, par exemple, si nous tombons d'accord pour dire que l'avion - en opération - passe le plus clair de son temps dans les airs, le sous-marin - en opération - dans les profondeurs des mers, que dire alors du bateau - en opération aussi - qui lui se trouve à l'interface des 2 milieux ? Est-il si inconcevable d'envisager 3 positions comme oui, non et autre-chose ? Ou encore oui, non et oui-et-non ? Cette seconde approche est celle du bateau, la première serait représentative des enfants qui naissent avec une ambiguïté anatomique ou une apparence physiologique en désaccord avec leur génétique, ou encore l'hermaphrodisme qui n'est ni une reproduction sexuée, entendue avec partenaire et donc brassage génétique, ni asexuée, et donc sans brassage génétique. Il y a aussi le cas que j'ai déjà mainte fois évoqué de la porte entre-ouverte, elle n'est pas fermée parce que l'ouvrant ne touche plus le dormant, mais elle n'est pas pour autant ouverte parce que je ne peux pas la franchir, c'est donc, ni oui, ni non, mais un tiers état ! D'où sort notre logique bivalente, si ce n'est de la constatation systématique que le monde se comporte très souvent en apparence ( = en première approximation ), de cette manière, l'un ou l'autre ? Ne pourrions-nous pas envisager un circuit électronique de base à trois entrées au lieu de deux, et concevoir tout un système informatique qui l'exploiterait, tout en gagnant du temps de calculs et de la place, car si dans le meilleurs des cas, un composant à 3 entrées pouvait être toujours converti en deux composants à deux entrées, on gagnerait une étape de traitement et l'emplacement dédié

Connaitre un chemin qui mène de A à B en passant par untel ou tel autre, ne nous dit rien, ni sur A, ni sur B, l'équivalence entre le chemin 1 et le chemin 2, est justement tout le travail du mathématicien, en plus de bien définir le point de départ et d'arrivée pour être sûr, mais c'est un circuit fermé qui ne fait référence qu'à lui-même, A ou B ne sont pas forcément vrais, ce sont des départs et destinations uniquement, la vérité n'est affaire que d'adéquation entre la réalité et ce que l'on rapporte de celle-ci. Parce que l'Homme lui-même n'est pas binaire, c'est plus complexe que ça, la vie est toujours plus raffinée que les simplifications que l'on fait sur son compte...

Oui et non. Si il était question d'une chose concrète comme par exemple, si je pose une brique - qui sont toutes identiques - sur une pile, alors cette nouvelle pile est plus grande que la précédente, là je n'ai rien à contester, en revanche lorsque j'introduis une hypothèse et que je l'inocule dans le problème, je ne peux pas être complètement surpris de la voir resurgir plus tard, mais ma crainte c'est qu'elle le fasse sans faire de " vague ", sans contradiction, comment dès lors être certain que ce manque de rugosité ou d'entrave, soit une preuve de la justesse de l'hypothèse ? Ça c'est ce qui se passe dans un système axiomatique en usitant des règles logiques non contestées, ce qui me chagrine c'est l'apport d'une pièce étrangère au problème, cette fameuse hypothèse, ça me fait étrangement songer au cinquième postulat d'Euclide ! Mais je rappelle aussi que le raisonnement par récurrence est aussi et avant tout une induction, or une induction n'a rien de logique ou de nécessaire, à l'inverse d'un raisonnement purement déduction ou hypothético-déductif ! Cela ressemble à un talon d'Achille ? J'avoue que la première fois que je t'ai lu, j'ai plutôt songé à un jeu de dominos, les uns à côté des autres, on initie le processus, puis de proche en proche normalement on va du point de départ jusqu'à l'arrivée potentielle, mais qu'est-ce qui nous empêche d'imaginer justement un jeu circulaire, qui s'auto-entretient en quelque sorte ? Je crois que tu t'appuies sur moi, les math sont une épuration de la réalité, on ne prend que les éléments les plus saillants/remarquables/généraux, processus toujours en cours avec la physique d'ailleurs, les mathématiciens se sont appropriés des outils de physiciens, telle les distributions, les séries de Fourier ou les intégrales de chemin par exemples, il y en a surement bien d'autres, d'autant plus qu'avant l'époque contemporaine les savants étaient les deux bien souvent, il n'est pas à exclure que Newton ait développé ses infinitésimales sur des considérations physique, là où Leibniz lui l'aura fait de manière plus mathématique, de mémoire.

Le tiers-exclu, ce qui implique aussi le principe de non-contradiction par conséquent, mais on peut aussi douter de l'emploi des infinis comme je m'échine à le montrer, et pour moi c'est amplement suffisant pour recourir à une approche plus constructive, par exemple rechercher la valeur de Pi par le procédé d'Archimède est, pour ma part, une " bonne " méthode, en revanche le principe de raisonnement par récurrence est douteux, car si on l'applique au monde physique, il ne tient jamais la route, car les approximations de départ rejaillissent toujours à un moment ou à un autre, de plus rien ne peut être totalement infini par faute de moyens, de ressources ou de temps. Et il y a une passerelle entre les mathématiques et le monde réel, même si on se refuse à la voir ! Bref les math " classique " c'est bien joli, mais dans ma conception, c'est une Physique qui a dégénéré... Mais il est vrai qu'il n'est pas interdit de jouer, que ce soit aux échecs ou avec les maths ou des briques de Lego, chacun son trip. Parce que les entiers eux-mêmes sont construits de manière récurrente, non ?

Derrière le symbolisme mathématique se dévoile un sens, il ne faut pas rester cloitrer derrière le jargon matheux, il faut tenter de comprendre la signification profonde de ce que l'on manipule, de ce que l'on lit ou écrit. Le symbolisme en math est une forme abrégée de langage, qui peut sans perte être retranscrit dans le langage ordinaire: De la sorte, on voit de multiple connexions entre la mathématique, la physique, la vie quotidienne, la philosophie, d'autres sciences, la psychologie, etc... ( La sommation de 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +... a une signification, une situation potentiellement réelle qui y correspond, dû à Zénon. ) Par exemple le signe = signifie équivalence ou égalité si ce sont des nombres. D'autre part il n'y a jamais de vérité en mathématique, juste des équivalences/similarités, dans l'algèbre booléenne l'emploi des termes vrai et faux est impropre, car cette logique est employée couramment en électronique ou informatique, le fait que le courant passe n'est pas une vérité en soi, ni qu'il ne passe plus une fausseté, il vaudrait mieux le retraduire par oui - non par exemple. Peut-on soutenir que 0.99999... égal 1 en toute rigueur ? Quelle est la somme de 1 - 1 +1 - 1 + 1 - 1 + ... = ?

Merci de t'en soucier, mais j'ai vu qu'au fil de tes propres réflexions, tu as fini par te rendre compte de quoi je parlais: on ne peut pas démontrer le principe de raisonnement par récurrence, but premier de mon intervention ! En réalité il y a 3 positions: celle de Hilbert ( position formelle, c'est une règle ), celle de Frege ( c'est une définition, car elle est incluse dans la construction des entiers naturels ) et celle de Poincaré ( elle est intuitive, on ne peut la démontrer, elle n'est pas réductible, ni à la logique, ni au principe de non-contradiction, au mieux on a un système circulaire de part l'axiomatique -> Frege ): 8. Conclusions En résumé, il me semble avisé de conclure avec Poincaré que le principe de récurrence, bien que très proche en apparence de principes purement logiques, leur est cependant incommensurable. Le principe, comme le montre Frege, peut certes être démontré formellement à partir d’une définition de la notion de nombre – résultat en soi remarquable – mais cette définition elle-même s’appuie sur un premier principe inductif. http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2015/146/smf_gazette_146_27-37.pdf 4. En guise de conclusion : débats autour de l’induction mathématique ; Poincaré, Wittgenstein Le grand mathématicien français, H. Poincaré, s’éleva vigoureusement contre une telle manière de voir les choses. Pour lui, le raisonnement par récurrence, qui est à ses yeux au cœur des mathématiques, est irréductible à la logique car la conclusion qu’on en tire enveloppe l’infini et il affirmait, dans un article fameux de 1894, « Sur la nature du raisonnement mathématique », que « la règle du raisonnement par récurrence est irréductible au principe de contradiction. » Et il ajoutait : « Cette règle, inaccessible à la démonstration analytique et à l’expérience, est le véritable type du jugement synthétique a priori. … elle n’est que l’affirmation de la puissance de l’esprit qui se sait capable de concevoir la répétition indéfinie d’un même acte dès que cet acte est une fois possible » (Poincaré, 1902/1968, p. 41). Par la suite, lors de sa polémique contre Russell et Couturat dans les années 1900, il ne cessa de faire remarquer que toute tentative de réduire les mathématiques à un système axiomatisé, ou à la logique axiomatisée, présupposait nécessairement l’emploi du principe d’induction et ne pouvait donc prétendre intégrer et justifier ce dernier. Cela allait de pair, dans son esprit, avec la thèse que les entiers naturels sont une donnée primitive, dont toute prétendue définition ne peut qu’être circulaire. http://encyclo-philo.fr/induction-gp/ Et pour aller plus loin sur les méandres des mathématiques avec J.P. Delahaye: La théorie des ensembles a su se prémunir des antinomies (noms donnés alors aux contradictions qu'on y a trouvées) et elle constitue aujourd'hui un socle pour toutes les mathématiques, dont elle a unifié et simplifié la présentation. Dans son cas, plusieurs remèdes différents ont été proposés. L'axiomatisation de Zermelo-Fraenkel est la plus souvent adoptée : elle se fonde sur l'idée que n'importe quel regroupement d'objets ne doit pas être considéré comme un ensemble et qu'en particulier les regroupements trop gros (comme celui de tous les ensembles) sont à éviter. Même si la solution retenue aujourd'hui apparaît ad hoc à certains logiciens, elle fonctionne parfaitement, et, depuis plus de 70 ans, aucune nouvelle antinomie n'a été découverte. http://1libertaire.free.fr/godel02.html [ Je ne pensais pas qu'une écriture littérale tronquée par facilité à cause de l'éditeur de textes - avant la refonte du site il y a peu l'éditeur proposait les indices et les exposants ce qui facilitait l'écriture matheuse, mais ça c'était avant - aurait causé un tel embarras, j'aurais cru que c'était suffisamment évident pour ne pas confondre exp entre exposant et exponentielle, oui je suis de la " vieille école " ça ne me gêne pas le moins du monde de dire 5 exposant 2 ] Définition de la puissance réelle. x est un réel strictement positif et a est un réel quelconque. xa (appelez-le "x puissance a" ou "x exposant a") est le réel défini par : xa = exp(a . ln(x)) = ea . ln(x) http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc5/puissanceA.html Mais mon souci n'était pas de résoudre l'exercice, qui était parfaitement secondaire. Je reformule ma requête, peut-on être certain, et je crois que quelque part tu te l'aies posée également, que si j'ai une hypothèse fausse, je puisse avoir quand même l'hérédité mais fausse également !? ( avec l'étape d'initialisation validée ) [ Ce qui ne peut aucunement être le cas avec l'exo de mon fils puisque j'ai donné l'écriture formelle de la suite et qui correspond à l'hypothèse ] Fausse dans le sens où je retrouve, après intégration, développements et simplifications, à " n+1 " mon hypothèse de départ en " n ", c'est-à-dire en changeant n par n+1 dans la formulation directement - ce que tu m'as reproché, comme étant un court-circuit dans le raisonnement - mais en réalité c'est ça que j'avais en tête, dit autrement, que cela marche sur le papier, avec la formule ou sur la forme, mais que ce soit faux dans la partie numérique/calculée avec les valeurs effectives. Je donne un " exemple " connexe pour fixer les idées, si j'ai 3x + 1 = 0, on voit bien que si on prend l'hypothèse x = 5 ça ne marche pas, par contre si je prends x = f ( t ) alors je n'ai rien de faux en remplaçant, mais je n'ai aucune garantie que ce soit juste pour autant tant que je ne donne pas une valeur à f ( t ). Il faut se concentrer sur l'idée derrière et non pas sur l'exemple qui est trivial et ne pose strictement aucun problème: de remplacer une expression par une autre n'apporte de prime abord aucune garantie, même si il n'y a aucune contradiction pendant le processus; et c'est ce que je demande, quand on introduit une hypothèse formelle dans le principe de raisonnement par récurrence, comment être certain que celle-ci ne peut pas ne pas être juste ( la double négation est primordiale: je ne suis pas malheureux *n'implique pas d'être heureux, je ne suis pas pauvre *n'implique pas d'être riche ) Pas uniquement, à tous les niveaux y compris bien plus élevés: Une étude menée en France par Grenier, didactitienne des mathématiques, en témoigne. Afin de bien maitriser cet outil, constate-t-elle, des connaissances en logique mathématique s'imposent. Celles-ci ne sont pas toujours acquises et cela engendre des confusions et des erreurs à propos de la démonstration par récurrence. Parfois même, sa légitimité en tant que moyen de démonstration valide est remise en question. Tous ces constats, Grenier a pu les établir grâce à une enquête menée auprès d'étudiants universitaires de sections scientifiques et d'enseignants de mathématiques.

Je ne comprends pas la nature de l'objection !? Si " n " est un entier naturel, ne puis-je pas prendre celui que je veux, aussi grand que je veux ? Si non, dans ce cas, toute l'Analyse est à revoir, car il est plus que fréquent de faire tendre vers l'infini le " n " qui est toujours pris dans N, c'est-à-dire dans les entiers naturels. Y aurait-il en mathématique deux poids et deux mesures ? Un légitime en Analyse et un autre en Algèbre ? Néanmoins, si l'usage des infinis dans mon exemple pose problème, alors cela confirme mes réticences sur leur usage inconsidéré, si l'exemple est valide en usant des infinis, alors on voit poindre une contradiction par l'emploi justement des infinis, retour à la case départ, il faut être vigilant quand on use des infinis indéfiniment si j'ose dire.

Ce qui est amusant avec la " conscience " c'est lorsque l'on songe aux déficiences du corps calleux, qui réunit les deux hémisphères cérébraux par une sorte de " bus ", et bien tout porte à croire quand les parties sont découplées qu'il y a comme deux consciences en la même personne, un cas spectaculaire est la dyspraxie diagonistique !

Pour ce qui concerne la résolution de cet exercice en particulier, bien que mon propos était de l'utiliser à titre illustratif, on aurait pu se rendre compte, que la suite Vn pouvait s'écrire autrement formellement et en toute rigueur, et non pas par devinette, à partir des données de l'énoncé: Vn = ( n+1 ) Un où U0 = 1, cela donne V0= 1 aussi ( soit Un = Vn/( n+1 ) ) écrivons littéralement Vn+1, puis développons: Vn+1 = ( (n+1) + 1 ) Un+1 = ( n+2 ) . ( n+1 )/( 2n + 4 ) . Un = ( n+2 )( n+1 )/2( n+2 ) . Un = ( n+1 )/2 . Un = 1/2 Vn il vient tout de suite que Vn+2 = ( 1/2 )2 Vn ou que Vn+p = (1/2)P Vn, en prenant n=0, on obtient Vp = 1/2P directement, et ainsi avoir l'expression à calculer sans itération de notre suite Un = 1/( n+1 ) . 1/2n ********* Ce qui m'intéresse encore une fois, ce n'est pas l'exo en lui-même, qui ne présente pas de difficulté particulière, mais l'usage du raisonnement par récurrence en tant que principe ! Ou en tant que méthode, quelle en est alors sa légitimité ? Uniquement ça marche, alors on continue comme ça ou y a-t-il une démonstration de sa validité, d'en faire un " théorème " ? ( Voir mes " contre-exemples " donnés à Quasi-modo ) Poincaré était confiant dans ce principe, alors qu'il était intuitionniste, mais les mathématiciens ont-ils raison de faire confiance à ce guide ? Combien de fois dans l'histoire des mathématiques il y a eu des retournements de situation, comme la fois où l'on prenait pour évident que toute fonction continue était dérivable, il aura fallu attendre qu'un mathématicien arrive à montrer que c'était faux à partir d'un " exemple ", ou que l'on a cherché, persuadé mais en vain, l'expression par radicaux les solutions aux équations algébriques jusqu'à E. Galois. En science on est confiant dans le principe de moindre action ( trouvé empiriquement/par tâtonnement cela dit en passant, et émis par Fermat je crois de mémoire ) également, mais il est posé comme point de départ à appliquer, non comme la résultante d'autres critères/phénomènes plus fondamentaux, comme les forces ou l'énergie, là on est bien dans " ce principe n'a jamais été pris en défaut alors on continue ", mais c'est issu de l'expérience, ce qui est normal et un prérequis en science, en est-il de même en mathématique finalement, contrairement à ce que l'on voudrait - nous faire - croire, sur la grande rigueur/perfection exigée/attendue en math ? Merci de ta participation et du temps consacré.

C'est effectivement ce qu'il a fait, et en cela il fait ce que l'on attend de lui, comme il est indiqué dans tous les livres de math ( comme le condensé " mathématiques de A à Z " A. Larroche et P. Laurent DUNOD ). Néanmoins, cela ne répond pas à mes objections concernant la validité même du principe de raisonnement par récurrence.

Oui, il y a régulièrement des mathématiciens qui nous révèlent que telle proposition est indécidable, il n'y a certes pas qu'une seule dans le même système d'axiomes, mais delà à dire qu'il y en a une infinité, c'est peut-être en soi une proposition indécidable !

Je réitère sans vouloir abuser, si la démonstration des théorèmes d'incomplétude repose sur l'idée du paradoxe du menteur, on peut pourtant en déduire plusieurs choses, sans avoir à refaire les travaux de Gödel. Tout d'abord, le paradoxe n'est que conceptuel encore une fois, aucun menteur n'a été arrêté de stupeur dans son entreprise, il n'y a donc aucune inconsistance, ni incomplétude dans son univers, il le fait c'est tout. Et à nouveau, que la mathématique sans insister lourdement, n'est pas la réalité, mais une abstraction de celle-ci, ces " incompétences " n'engagent donc que son représentant, non la vie réelle, comme les " incompétences " de notre langage n'engage pas la réalité elle-même, je peux dire des choses qui sont irréelles, qui ne sont pas fondées, qui sont fausses, mais le monde physique ne s'en trouve pas plus affecté que ça ! Les infinis sont à prendre avec des pincettes, j'estime qu'ils ne sont pas dignes de confiance, mieux vaut s'en tenir à un nombre aussi grand que l'on veut, fixé d'avance ou potentiellement fixé. Pour reprendre rapidement l'idée du paradoxe de Richards, si l'on tronque les nombres réels à partir de la n-ième décimale dans l'intervalle ] 0, 1 [, on peut dans ce cas faire une bijection entre une sous partie de N et tous ces nombres de l'intervalle, aussi loin que l'on voudra, là je raisonne en tant " qu'analyste " à epsilon près, et comme c'est vrai quel que soit n choisi, on voit bien que tout repose sur une " course " entre les infinis des nombres réels et celui des nombre entier, il ne sont pas sur le même " plan ", mais si l'on accepte une approximation - inévitable dans le monde physique, puisque rien n'est indéfiniment infini - alors on peut produire un résultat radicalement différent de ce qui est tenu pour vrai dans le cas de la manipulation tout azimut des infinis. Voilà ce que j'appellerai une position constructiviste.

C'est exactement ce que le fiston a fait, et que je lui " reproche ", comme je le disais un peu avant, de supposer la solution pour l'intégrer dans le problème, puis finir par la retrouver en fin d'exercice, n'est-il pas l'équivalent d'un raisonnement circulaire ? Voilà ce que je dis, comment une conjecture injectée dans le problème peut devenir un résultat, si ce résultat n'est autre que la conjecture initiale ? D'autant que je le rappelle, il est trivial avant tout calcul que Vn+1 va donner 1/2exp(n+1) ( puisque Vn est pris pour 1/2exp(n) ) !? Où est l'utilité de développer, on connait déjà la réponse par l'expression elle-même ! Qu'est-ce qu'on a prouvé au juste ?

Je te réponds sans présager de ce qui suit, car je me suis arrêté à ta réponse et à la " citation " d'Aliochaverkiev juste après, je reprends donc d'ici. Si les développements de Gödel t'intéressent, et de manière accessibles au profane, je te propose de lire: les génies de la sciences n°20 de Pour la Science, intitulé Gödel logique à la folie. En attendant je peux aussi t'apporter ces précisions, qui pourrait peut-être t'aider dans ta compréhension: Définitions: • Une théorie axiomatique est dite consistante (ou cohérente ) s’il n’existe pas de proposition dont on puisse démontrer cette proposition ainsi que sa négation. • Un théorie axiomatique est dite complète s’il n’existe pas de proposition dite indécidable , c’est-à-dire dont l’on ne peut montrer ni cette proposition ni sa négation. Quand j'ai lu rapidement ta réponse la première fois, je me suis dit, il est fort ce Quasi-modo, il a vu d'emblée un truc qui m'avait échappé, aussi simple que ça, et puis... je me suis ravisé dès que j'ai commencé à réfléchir, en effet, cela ne fait que décaler le problème, non le résoudre, car par exemple dans cette base 3 il suffit de vouloir exprimer l'unité - de la base 10 - dedans et on aura là-aussi un infini, en l'occurrence 0,2222222... et on peut même s'attendre à ce qu'il en soit ainsi pour tous les nombres premiers ! Tu ne trouveras aucune base qui l'évite pour tout nombre. Ce que je dis reste donc valide Mais que l'on puisse calculer pour la base 10 et connaitre d'avance pour la base 2 la n-ième décimale, ne change pas le fait que d'un côté mathématiquement j'utilise un nombre avec une écriture indéfinie, et de l'autre j'ai une construction quand à elle bien finie ! On peut même voir plus simple, c'est la diagonale du carré unité, connue depuis les Pythagoricien, comme une abomination. Il y a donc bien la mathématique d'un côté, parfois infini et le monde réel de l'autre, fini. Aussi imparfait soit-il, il existe et est fini, contrairement à son pendant matheux défini certes, mais infini. Ce n'est pas grave, il y avait plusieurs points à relever, entre autre l'usage de l'infini " actuel " et celui de " potentiel ", comme du tiers-exclu, et de pouvoir exhiber concrètement une méthode pour construire, calculer ce dont on parle, autrement dit avoir un algorithme que l'on pousse jusqu'à la précision souhaitée, mais sans pousser le vice du jusqu'au-boutisme. Bien, alors laisse-moi te donner d'autres exemples de mon cru cette fois-ci: Partons de l'ensemble N des entiers naturels auquel je retranche les éléments d'un autre ensemble - E par exemple - qui va de 0 à n, où n est un entier naturel, que l'on pourrait appelé E', que je compare à cet ensemble E. Et bien pour n'importe quel - le fameux quel que soit - n je peux me convaincre facilement que E' - infini - est plus grand que E, j'avais pris soin de vérifier le rang 0, et maintenant je pose que c'est vrai à n et je vérifie que c'est vrai à n+1, c'est manifestement vrai tout le temps... sauf quand j'ai le vice de pousser le raisonnement jusqu'au bout, i.e. quand je fais tendre n vers l'infini, et bien dans ce cas, j'inverse totalement la donne, c'est E' qui tend vers l'ensemble vide, pendant que E tend vers N: il y a contradiction sur le principe de récurrence ! Un autre exemple plus physique cette fois-ci, supposons que l'on veuille peser de la terre à partir d'une balance parfaite ( en solidité, en taille et tutti quanti ), je commence à mettre une pelletée dedans je vois le plateau s'incliner, on peut aussi par esprit de simplification supposer que le Terre est homogène, ce qui fait que j'ai graduellement pour un volume de terre donné un poids qui augmente d'autant proportionnellement, on peut donc par itération successives imaginer qu'il en ira toujours ainsi, c'était vrai au premier rang, c'est vrai les millions d'autres étapes suivantes, sauf qu'à un moment de mon travail il y aura autant de terre dans la balance que ce qui la supporte encore ( oui c'est un travail titanesque, mais bon, c'est une expérience de pensée on ne peine pas trop ), et là on aura atteint le maximum " pesant ", et si je continue, je reviendrais à avoir la balance posée à l'envers sur la Terre. Si j'avais modélisé par une loi les premiers instants, j'aurais tout faux à la fin de l'entreprise, les maths et la réalité font deux. Je pourrais aussi prendre le cas typique de la Vie, mon enfant est né de moi, moi je suis né de mon père, et mon père du sien, il semble bien, de toute évidence, qu'il n'y a que la vie qui engendre la vie, c'était vrai au rang 1, la loi est fixée, cela signifie que même avant la naissance de l'univers lui-même la vie existait à ce petit jeu !? On pourrait s'attarder aussi sur le gaz parfait, où si l'on descend sans cesse la température purement mathématiquement, j'en viendrais à avoir un volume négatif ! ********* Ce dont nous discutons me fait inexorablement penser à la gravitation Newtonienne, avec ses effets à distance instantanés, ce n'est pas le monde réel qui est contradictoire, mais bien le modèle, la théorie, et bien, il en va de même avec les mathématiques qui ne sont qu'une approximation du réel, c'est pour cela qu'ils finissent par se mordre la queue, où l'usage immodéré des infinis, l'exclusion du tiers-exclu et le recours à un langage qui souffre des mêmes difficultés que celui naturel sont la source unique de l'embarras dans lequel est plongé la mathématique, non le monde physique lui-même. [ Le but du premier théorème de Gödel est de montrer que, sous certaines conditions, des théories axiomatiques sont forcément incomplètes. Gödel écrit lui-même dans son article de 1931 que son raisonnement est « étroitement apparenté à celui du paradoxe de Richard et au paradoxe du menteur ». Il utilise de même, sans le signaler, un argument diagonal. ] Paradoxe de Richard = Diagonale de Cantor ( autre sujet à caution selon moi à cause des infinis, car cela repose sur une " course " dans les infinis entre N et R ). ***** L'hypothèse du continu pendant que j'y suis: sommairement, si on arrive à comparer N à une droite et R à une surface, et que d'autre part l'on sait qu'il existe des dimensions fractales, comprises entre 1 et 2 ou 2 et 3, il ne reste plus selon moi qu'à créer des nombres " fractals " aussi, et infinis cela va de soi, nous aurons alors résolu l'énigme. Ben j'ai à l'esprit l'inverse figure toi, comme tu auras pu sans doute t'en rendre compte !? Comme je n'ai pas regardé la suite du Topic, peut-être as-tu jeté un œil à cet exercice, sinon peut-être quelqu'un d'autre, je verrais bien...

Je m'excuse d'être dans l'incapacité de réagir aux commentaires qui m'ont été adressés, toutefois pour lever toute ambiguïté ou raccourcis au sujet de l'exercice cité un peu avant, je mets ci-joint l'énoncé ( exo 1 ), merci d'avance aux participants, dont j'espère que Jedino fera parti, en plus au moins d'Aliochaverkiev et Quasi-modo ( C'est un sujet connexe au Topic lui-même, mais qui ne lui est pas étranger, que Quasi ne m'en tienne nullement rigueur ): Merci d'avance aux courageux/motivé !

Quand j'ai parlé d'ensemble, c'était pour illustrer les limitations des mathématiques, cela n'avait pas trait directement aux théorèmes d'incomplétude ou de complétude, en revanche cela permettait de faire un parallèle avec l'astuce utilisée par Gödel et transposée dans sa codification pour sa démonstration, à savoir qu'il utilise le paradoxe du menteur, dont j'ai également touché un mot, les deux se rejoignent sur l'auto-référencement, d'où mon allusion aux ensembles. Étant donné que je suis à la fois intuitionniste et constructiviste, je ne peux pas me satisfaire des mathématiques " classiques ", entre autre, du principe de tiers-exclu et de l'usage inconsidéré du raisonnement par l'absurde corrélativement. Comment 1/3 pourrait avoir une infinité de décimales en mathématique et en même temps de pouvoir exhiber un objet fini du monde réel qui est le tiers d'un ensemble ? Comment me serait-il possible de donner indéfiniment ( aussi précisément que je le voudrais ) une valeur à Pi de manière purement empirique, sachant que tôt ou tard je buterai sur une apparence fractale/discrète de la matière, à quoi peut bien correspondre les milliards de décimales si je suis incapable d'aller en dessous disons de la distance interatomique de la matière, car tant que je suis - suivre - la matière, je peux mesurer la ligne matérialisée par ses constituants, mais en deçà de cette échelle je suis dans le " vide ", dois-je y aller en ligne droite, avec une courbe et de quelle rayon de courbure ?, et les atomes ne sont pas nécessairement bien positionnés sur une ligne définie théoriquement. L'infini est un mot vide de sens tout simplement ! Les mathématiques sont comme un jeu de construction à partir de briques " bien " ( suffisamment pour jouer ) définies, pouvons-nous soutenir que ce jeu même si il s'inspire de la réalité, corresponde à la réalité ? Comme n'importe quel jeu de société n'est pas non plus la réalité. Dans un autre domaine, le sport est-il la vraie vie dans son entièreté, ou qu'un succédané, un ersatz ou un simulacre, bien que prenant racine en elle ? Par exactement: https://fr.wikipedia.org/wiki/Constructivisme_(mathématiques) Ça me fait plaisir que tu mettes ceci sur le tapis, car j'ai justement des griefs contre le raisonnement par récurrence. Tout d'abord, il y a le contre-exemple du tas de sable, si je pars d'un tas de sable constitué, le rang 1, puis que j'enlève un grain de sable, j'ai toujours un tas de sable, et ce à partir de n'importe quel grain de sable, de n vers n+1, c'est donc vrai, pourtant on sait bien que cette itération a une limite, au pire quand il ne reste plus qu'un seul grain de sable ! De plus, l'autre jour mon fils avait un exo de math qui réclamait ce principe, il faut pourtant bien avoir à l'esprit, que le raisonnement n'est pas formel ( le principe n'est pas mauvais en soi, c'est dans son application que le bât blesse je trouve ), mais part d'une intuition, d'un pressenti, l'élève pense que la formule qu'il cherche est celle-ci, puis en l'intégrant dans son raisonnement à partir du rang n, il cherche à trouver l'expression au rang n+1 en s'appuyant sur les données de l'exercice, qui doit normalement le reconduire à la formule devinée mais avec l'indice n+1 cette fois, il vient donc deux questions, la première comment s'assurer que la formule extrapolée ne soit pas fausse et donne malgré tout un résultat conforme aux attentes, la seconde, plus sérieuse je trouve, comment peut-on partir d'une formule que l'on pense être la solution, l'incorporée dans les calculs et se féliciter de la retrouver en fin de parcours, n'est-ce pas là utiliser la " réponse " pour prouver la... réponse ? Par exemple, incomplet, il était parti de l'hypothèse que sa suite devait s'exprimer ainsi Vn = 1/2exp(n), pourtant avant aucun calcul on voit de suite que V(n+1) = 1/2exp( n+1) ? Ce sur quoi il retombe après une page de calculs et de développement ! Et son prof a dit bingo Pour moi c'est une simple tautologie ? ( je suis un peu fatigué en ce moment, peut-être que je suis à côté de la plaque, ce qui est plus que probable cela dit en passant, mais je pense que d'en discuter cela devrait me permettre de mieux cerner ce problème - de raisonnement par récurrence - qui me turlupine quelque peu, j'attends donc tes remarques... )

Heureusement que tu es là pour animer la section philo, ce serait calme sinon ! Je ne suis pas un spécialiste en mathématique, mais je vais essayer de dire ce que je pense et ce que je comprends à ce sujet. 1er point, et pas forcément dans un ordre hiérarchique, les mathématiques sont une abstraction de la réalité, une épuration/idéalisation de celle-ci, où l'on ne garde que certaines propriétés remarquables, et cela se fait au détriment de l'exhaustivité du monde réel, et donc de la précision et de la justesse, par exemple il ne peut exister un ensemble physique qui se contiendrait lui-même, dans le monde pratique ça n'a pas de sens qu'un contenant se contienne lui-même, parce qu'il a une frontière - inévitable - entre le dedans et le dehors, bien matérielle, ceci dit pour faire un parallèle avec la théorie des ensembles afin d'illustrer les limites internes/intrinsèques, dont on finira par retrouver les conséquences plus tard/loin. 2ièmement, l'infini mathématique est là aussi abusif, il faudrait se limiter à un infini potentiel ou de principe et procéder de manière constructive, i.e. non jusqu'au-boutiste en somme, car la plupart du temps les ensembles infinis posent problème et sont mêmes sources de conflits, il y a des infinis " discrets " et d'autres " pleins ", ils ne sont pas de même nature. Personne ne peut exhiber l'ensemble des nombres entiers, et il ne peut il y avoir plus de nombre qu'il y aurait d'atomes ou particules dans l'Univers afin de les représenter, donc d'une façon pragmatique les nombres sont finis, parce que nous n'avons pas les ressources ni matérielle, ni temporelle, pour les montrer tous, car n'oublions pas que ces nombres sont justement le moyen de comptabiliser des éléments, si il n'y a plus d'objet à compter, il devient absurde de vouloir aller plus loin, il n'est donc pas légitime de laisser les infinis sauvages s'exprimer en mathématique, l'extrapolation n'est pas justifiée, et on le voit bien en se rapprochant de l'infiniment petit, une surface ou une ligne a toujours une épaisseur et elle n'est pas aussi lisse que l'on veut, il y a là aussi une limite basse, comme il y en a une haute également, physiquement ! Ensuite, la mathématique classique utilise la logique avec tiers exclu ou une logique " exclusive ", autrement dit le " ou " exclusif " et non le " ou " inclusif, par exemple pour le paradoxe du menteur, on stipule implicitement qu'il est menteur tout le temps, or si on attribuait le nom de menteur à une personne qui ment occasionnellement, qui a menti au moins une fois, la contradiction s'évanouit parce que cet individu peut dans ce cas être un menteur - occasionnel donc - et dire la vérité si il dit qu'il est un menteur, puisqu'il faut l'entendre non de manière systématique mais comme d'avoir déjà menti, il ne contredit pas ce qu'il est, il n'y a pas antinomie. Enfin, le langage mathématique exhorte les mêmes difficultés que le langage ordinaire, mais ce qu'il faut bien retenir c'est que celles-ci ne sont pas transposables directement dans le monde physique, au même titre que nos limitations verbales ne s'appliquent pas nécessairement à la réalité, autrement dit il ne faut pas confondre la représentation ou la " reproduction " du monde avec le monde lui-même, par exemple les défauts qui se trouvent sur une toile de peinture appartiennent en propre au tableau, non forcément à la scène représentée elle-même. D'ailleurs les figures " impossibles " en 2D peuvent être projetées dans la réalité par un jeu de perspective, révélant la tricherie de la représentation bidimensionnelle. Le monde réel ne souffre d'aucune contradiction, tout simplement parce qu'il Est ! Dit autrement le monde est consistant, ce sont nos outils qui ne le sont pas, parce qu'imparfaits, et lorsqu'on les pousse dans leurs retranchements, ils nous montrent leurs faiblesses, leurs lacunes, leurs limites, leurs défaillances ou les approximations qui ont été faites, mais qui n'appartiennent qu'à eux-mêmes en tant qu'intermédiaires ou abstractions par essence dénaturées ! Pour le dire autrement, l'arithmétique n'existe concrètement nulle part, et donc les théorèmes d'incomplétude ne sont que des " propriétés " sur des concepts abstraits, sans aucun lien tangible avec la réalité qui surpasse à tout point de vue sa grossière copie. A-t-on jamais vu un menteur être foudroyé/anéanti sur place par contradiction, inconsistance, incohérence ou incomplétude ? Ou une flèche rechigner à atteindre sa cible ? Une roue chercher toutes les décimales de Pi pour se fermer avec elle-même ? Un sac se retrouver à l'intérieur de lui-même ? Fourberies que tout ceci...

Un seul être vous manque et tout est dépeuplé. Lamartine Nous ne sommes jamais aussi mal protégés contre la souffrance que lorsque nous aimons. Sigmund Freud Aimer, ce n'est pas se regarder l'un l'autre, c'est regarder ensemble dans la même direction. Antoine De Saint-Exupéry L'amour, c'est être toujours inquiet de l'autre. Marcel Achard Je ne sais pas où je vais; mais je marche mieux quand ma main serre la tienne... Alfred De Musset « Aimer, c'est trouver plaisir au bonheur d'autrui » G. W. Leibniz " Parce que c'était lui ; parce que c'était moi " Montaigne “ Ce qu’on n’a pas, ce qu’on n’est pas, ce dont on manque, voilà les objets de l’amour ” Platon “ L’amour est une panique de la raison ” V. Hugo “ C’est cela l’amour, tout donner, tout sacrifier sans espoir de retour ” A. Camus La bonté en parole amène la confiance. La bonté en pensée amène la profondeur. La bonté en donnant amène l'amour. Lao Tseu La non-violence, sous sa forme active, consiste en une bienveillance envers tout ce qui existe. C'est l'amour pur. Gandhi Qu'est-ce donc que l'amour, si ce n'est de se comprendre et de se réjouir en voyant quelqu'un d'autre vivre, agir et sentir différemment de nous, parfois même à l'opposé ? Friedrich Nietzsche Ce n'est pas l'amour qu'il fallait peindre aveugle, c'est l'amour-propre. Voltaire L'amour est composé d'une seule âme habitant deux corps. Aristote Il existe un mot qui désigne l'acte de donner et celui de prendre, la charité et l'avidité, la bienfaisance et la convoitise, c'est le mot amour. Alain Finkielkraut

@Maroudiji Non désolé, décidément ce ne sera pas possible, l'entreprise ou la tâche est colossale, voire pharaonique, il y a trop de chemin à parcourir, trop de méandres ou ramifications à serpenter et à reprendre pour que nous nous retrouvions. Je vais me ranger du côté de Tison2feu, et tout bonnement jeter l'éponge ! Ta réponse précédente a eu le mérite de finir de me convaincre qu'il y a au moins un gros problème de communication, pour ne pas dire de compréhension et de mésinterprétation. Là, c'est au dessus de mes forces... Bonne continuation à toi ! ( j'espère que tu ne t'en vexeras pas outre mesure )

C'est sensiblement ce que j'ai entendu en début de semaine par l'entremise d'une grand-mère, où son petit-fils avait de petits soucis apparents, la maitresse qui l'avait, était très attentive à ce petit garçon, il progressait malgré ses difficultés langagières, puis une nouvelle enseignante a remplacé la précédente partie en retraite, celle-ci ne voulant pas s'encombrer de ce frein, l'a mis à part, l'a parqué dans un coin, l'enfant ne voulait plus aller à l'école et s'est renfermé, et cette enseignante a même appelé les parents chez eux pour leur dire des choses apparemment très dures, ils ont fini par le retirer de cette école, pour le mettre dans une autre, où une institutrice l'a pris sous son aile pour ainsi dire, l'enfant s'est à nouveau intéressé à l'école et a bénéficié de l'attention de sa nouvelle maitresse, de ses bons soins et de ses efforts consentis, en peu de temps il a rattrapé le retard accumulé et démontre qu'il veut découvrir le monde, alors chez lui, maintenant qu'il sait lire, dévore toutes sortes de livres. Quoique je ne l'ai pas vu, d'après la description détaillée de la mamie cet enfant est curieux et intelligent, mais il sera passé pour un " attardé " à cause de quelques difficultés mal diagnostiquées, et grâce à l'aide et au soutien de deux personnes en particulier ( deux professeurs des écoles ), il aura réussi à sortir de sa torpeur naturelle, et faire montre de qualités " supérieures ". J'ai demandé si il ne souffrait pas de troubles du spectre autistique, mais elle n'a pas su me répondre.