Note : Pourquoi 1=0.999999999...

kyrilluk, le vendredi 12 février 2010 à 06h17, dit :

Je pense que tu as à moitié raison.
La différence entre la boite de nombre entier et nombre de fraction et tu peux meme ajouter une autre boite de nombre premiers; est que proportionnellement parlant il y aurait logiquement une infinité d'infinité d'infinité...(dire à l'infini) de plus de nombres fractionnaires comparé aux nombre entier et que la boite contenant des nombres premiers seraient la boite en contenant le moins.
Mais puisqu'il n'y a pas plus grand que l'infini, alors on dit qu'ils ont tous la meme quantité.
1 infini = 2 infini = 1/2 infini = un infini d'infini

En faite, pour savoir si deux nombres ou deux suites de nombres sont identiques, en generale ont les soustraits. Donc dans le cas ou l'on aurait une boite contenant autant de billes qu'il y a de nombres naturels (B1) et l'autre une boite contenant autant de billeS qu'il y a de nombres naturel et de fraction (B2), si l'on soustrait ces deux suites l'on obtiendrait B1-B2= suite contenant seulement les fractions (a l'exception de 1/1, 2/2, etc..). Par consequent, le nombres de billes dans ces deux "infinis" ne sont pas les memes et donc une infinite peut etre plus grand qu'une autre infinite. Si ce n'etait pas le cas, alors B1-B2 devrait etre egale a zero. Ce qui n'est pas le cas.

Citation

..
Dans ce cas , quelle est la valeur de plus grand que l'infini?
Ce n'est pas logique.
B1=l'infini
B2=l'infini
mais B2 est une infinité mois grande B1
Alors 2 X infini n'est pas égal à l'infini.
2 X infini donne 2 infini; 2 infini est plus grand que l'infini ou 1 infini.
Ca n'a plus de sens
Donc il y a plus de billes dans 10 boites d'infini que dans une boite d'infini.
Il y a 10 fois plus de billes à l'infini que dans 1 boite de billes à l'infini.
Donc l'infini n'existerais pas...

Sportdriver, le vendredi 12 février 2010 à 10h54, dit :

Je ne comprend pas.
J'avais fait une erreur de signe mais pour moi
x-1=0.999999999...-1
x-1= -0.0...01
De toute façon on peut directement écrire 1=0.999... étant donné le post de Grenouille verte.

Sportdriver, le vendredi 12 février 2010 à 10h21, dit :

Je pense que non, c'est impossible. Sinon on peut dire que "a > b > a"

Ce message a été modifié par jfsimon - 12 février 2010 - 20:47.

Sportdriver, le vendredi 12 février 2010 à 19h47, dit :

Non ca veut dire que l'infinit peut avoir differente taille tout en etant..infini!
C'est pas tres intuitif mais je pense que c'est un peu comme cette histoire de 0.99999...=1. L'esprit humain a du mal a conceptualiser l'infini.

Deux valeurs peuvent croître différemment et tendre vers l'infini, c'est cela le sens de comparer deux valeurs qui tendent vers l'infini.

jfsimon, le vendredi 12 février 2010 à 13h55, dit :

Hum... ouins,
x = 0,999999999...
x-1=0.999999999...-1
x-1=-0,111111111...
Le nombre de 9 et de 1 apres la virgule devrait rester le meme parce que j'enleve 1 entier.
Si je multiplie par 10
x-1=-0,111111111...
10x-10=-1,11111111... (Ici, la décimale serait 1 à l'infini mais avec une décimale en moins, c'est-à-dire que la valeur décimale est 10 fois moins grande que -0,111111111...(tous les 2 à l'infini quand meme))
Continuons
10x-10=-1,11111111...
10x-10+10=-1,11111111...+10
10x=9,11111111...
x=0,91111111...
La j'pense chu tout melé...

Citation

Il me semble que si tu dis 1/3=0.3333... tu utilises déjà la règle du 1=0.999999999 non?
C'est un peu: je demontre qqch par ce qqch.
Je suis pas sûr de ce que je dit, Gallium devrait nous en dire plus ^^.

jfsimon, le vendredi 12 février 2010 à 09h47, dit :

Attention !

Un réel est représenté par :

• Sa partie entière
  
• Une suite infinie de décimales

0,999... est une suite infinie de décimale. On la nate parfois 0,9 (le souligné veut dire qu'on répètre les décimales à l'infini, par exemple 0,55648=0,5564848484848484848... ).

Par contre 0,0...01 n'est pas un réel. En effet, la suite des décimale n'est pas définie : il n'est pas possible de mettre un chiffre après les trois petits points.

Pour l'histoire des infinis de tailles différentes :

Un ensemble A est de la même taille qu'un ensemble B si on peut faire correspondre chaque élément de A à un élément de B.
Par exemple les ensembles {2, 4, 6, 8} et {20, 21, 22, 23} sont de même taille vu qu'on a la correspondance suivante :
2 - 20
4 - 21
6 - 22
8 - 23

De même l'ensemble des nombres entiers {1, 2, 3,...} et l'ensemble des nombres premiers {2, 3, 5,...} sont aussi de même taille :
0 - 2
1 - 3
2 - 5
3 - 7
4 - 11
5 - 13
etc...
Il y a donc autant de nombres entiers que de nombres premiers (même si les nombres premiers font partie des nombres entiers). L'infini des nombres entiers et celui des nombres premiers sont donc "de même taille".

Il y aussi autant de nombres entiers que de couples de nombres entiers (mais c'est moins facile à voir) :
0 - (0, 0)

1 - (1, 0)
2 - (0, 1)

3 - (2, 0)
4 - (1, 1)
5 - (0, 2)

6 - (3, 0)
7 - (2, 1)
8 - (1, 2)
9 - (0, 3)
etc...
Et comme on peut voir les fractions comme des couples de nombres a/b, il y a en fait autant de fractions que de nombres entiers (contrairement à ce qui a été dis plus haut). Donc là encore l'infini des fractions est le même que celui des entiers (on parle d'infini dénombrable pour un infini de même taille que celui des entiers).

Par contre, on peut prouver qu'il n'est pas possible de trouver une telle correspondance entre les entiers et les réels (c'est à dire les fractions mais aussi les racines, pi, etc, bref tous les "nombres à virgule" imaginables).
Il y a donc plus de réels que d'entiers ; l'infini des réels (appelé infini indénombrable) est "plus grand" que l'infini des entiers.
Il existe donc plusieurs infinis de tailles différentes. Il est aussi possible d'imaginer des ensembles encore plus grand que celui des réels.