géométrie non commutative

Alain Connes est le père de cette géométrie qu'il expose très largement dans ses conférences grand public souvent en anglais

La géométrie "classique" est une géométrie dont l'algèbre commutative qui lui est associée permet de commuter l'ordre des termes, donc AxB =BxA et c'est ce que nous apprenons à l'école qui est conforme à notre vision classique du monde.

La découverte de la mécanique quantique et les travaux de Heisenberg ont nécessité de qualifier de nouvelles propriétés et on parle alors d'état d'une particule dont le "moment" et la "position" ne commutent plus.

Comme image, admettons que ce n'est pas pareil d'ouvrir une bouteille de champagne pour la boire que d'essayer de la boire avant de l'avoir ouverte... l'ordre compte et le résultat n'est pas le même... c'est donc le cas au niveau de l'état d'une particule.

Ce que fait Connes, c'est donc généraliser la dualité de Descartes entre espace géométrique et algèbre dans le cas où l'algèbre n'est plus commutative ce qui modifie les concepts traditionnels d'espace et de symétrie et à adapter des outils mathématiques tels que le calcul infinitésimal et la cohomologie

Loin d'être une simple généralisation sans conséquence, Connes définie l'effet principal de cette prise en compte de la non commutativité comme cause nécessaire et suffisante de l'apparition du temps en physique

En fait, cette nouvelle géométrie prolonge la géométrie classique de Riemann mais chacune des notions classique prend alors un sens nouveau par exemple la courbure de l'espace devient le calcul de la surface de cet espace dans un espace à 4 dimensions.

La géométrie non commutative traite d'espaces à dimensions non entière, à dimensions infinies, d'espaces de nature "quantique" discrets et de l'espace temps lui même et, en tenant compte de l'électromagnétisme, des forces nucléaires fortes et faibles, donc des principales forces hors gravité définie un modèle général non commutatif de l'espace-temps

Dans les espaces non commutatifs, les points sont remplacés par des états et cela permet de reformuler géométriquement la théorie qui couple la relativité générale avec le modèle standard des particules.

Plus particulièrement du point de vue physique maintenant,

Les calculs des physiciens en théorie quantique des champs repose sur des méthodes de développement perturbatifs où les termes sont des intégrales divergentes nécessitant une renormalisation

c'est ici qu'entre la combinatoire des diagrammes de Feynman (calcul par intégrale de chemins) et des formules dites de Bogoliubov-Parashiuk permettent de simplifier les diagrammes complexes en diagrammes plus simples

Ces "méthodes de cuisine" perçues comme de simples recettes ont été comprises grâce au travail d'un physicien appelé Kreimer qui a vu qu'elles correspondaient précisément à une algèbre de Hopf

Hors Connes a découvert que ces méthodes et celles de Connes-Moscovici étaient pour l'essentiel les mêmes vu sous un formalisme différent donc ce sont les mêmes règles de symétries qui régissent les calculs de théorie quantique des champs de celles de la géométrie non commutative...

Par un travail de rapprochement, Connes a qui plus est montré que la décomposition de Birkhoff est l'origine mathématique de cette algèbre de Hopf

Et par cette démarche il a établi un lien direct avec le problème de Rieman-Hilbert donc avec les nombres premiers qui est un des problèmes du Millénaire proposé par Hilbert en 1900 !

Avec Marcolli, Connes a ensuite découvert la signification mathématique de cette correspondance qui n'est pas moins que la théorie de Galois motivique introduite par Grothendieck que Cartier avait conjecturé sous le nom de "groupe de galois cosmique" reliant ainsi la géométrie non commutative à la théorie des nombres elle même.

Bien... je ne sais pas si ce lien géométrie algèbre théorie des nombres avec le pont vers la conjecture de Rieman vous parle, mais en bref, au delà même de l'intérêt de la géométrie non commutative dans la mécanique quantique et de ses implications dans le sens à donner à l'espace et au temps propose une autre lucarne vers la plus grande énigme des mathématiques à savoir les nombres premiers.

SI Connes vous intéresse, je vous invite à l'écouter car c'est aussi et surtout un très grand monsieur d'une simplicité magnifique.

Hello !

J ai regardé la vidéo d Alain Connes sur la géométrie non commutative, espérant comprendre la vidéo que vous m aviez proposée sur un autre fil, et comme vous parlez de la naissance du temps, je vous rapporte son propos concernant le muon, qui ne pourrait pas atteindre la terre, car il ne vit pas assez longtemps, sans la présence du bain thermique.

Pourriez vous m en dire plus sur le bain thermique, qui, semble agir sur le temps.

Pour Connes, la transition de l'absence du temps dans le quantique à la présence du temps dans le classique est conditionné par l'existence d'une capacité thermique presque infinie

La chaleur est selon lui et selon Carlo Rovelli l'élément décisif amené lors du big bang

Et selon eux, cette source de chaleur à l'échelle de l'univers reste alimentée par un bain thermique constitué par le fonds diffus cosmologique ou rayonnement fossile légèrement supérieur à deux degrés kelvin de manière homogène dans tout l'univers

Sur le mecanisme physique à l'origine de cette conception, je suis incompétent

Merci. Je viens de lire que les 2 degrés kelvin dont vous parlez représentent -270,424°C.

C est peu pour parler de chaleur !

A l'échelle de l'univers ce bain thermique représente un peu plus qu'un bain bouillant :)

Pourtant on passe tranquille en combinaison spatiale.

Mais ce n est pas un bain liquide j imagine.