Le lien mathématique / physique

Comme disait Einstein, il est incompréhensible que le monde soit compréhensible.

Et cette compréhension du monde s'exprime par cette intuition que le "langage de la nature" s'exprime en langue mathématique sans laquelle il serait humainement impossible de la comprendre. C'est la vision galiléenne qui est le fondateur de la physique "occidentale" moderne.

Tout est dans ce "humainement" car on ne sait pas s'il relève d'un monde mathématique fondamental platonicien à l'image de la perception de Connes, on ne sait pas si c'est une forme de communication entre l'homme et le monde naturel par ce langage qui ne serait qu'un intermédiaire ou on ne sait pas si les mathématiques relèvent d'une construction humaine qui serait une réinterprétation conceptuelle de la nature plus riche du monde dont la perception conceptuelle ouverte à notre raison ne serait que les mathématiques.

Toujours est il que les mathématiques expriment la réalité physique de manière "non raisonnable" en parvenant, par les mathématiques à prévoir des phénomènes physiques non observés et qui arrive à l'expression de Lavoisier qu'à repris le curieux "les équations connaissent mieux la physique que le physicien"

C'est cette question que je propose d'interroger

Au 19ème siècle, physiciens et mathématiciens étaient liés fondamentalement par l'intérêt commun de résoudre les problèmes empruntés aux sciences naturelles (Newton, Leibniz, Lagrange, Euler...)

Il y avait des petites zones d'ombre concernant les infinis pour lesquels on applique du calcul dédié aux quantités finies, des pièges concernant la permutation de l'ordre de deux limites et cela conduit d'ailleurs à des calculs sur matrices finies permettant des permutations sans différence entre inverse gauche et inverse droite qui cesse d'être vrai quand on considère des matrices infinies comme dans la mécanique d'Heisenberg

D'ailleurs Feynman a mis en garde sur l'utilisation des outils mathématiques et des réserves à prendre bien que ses propres intégrales de chemin divergentes sont traitées mathématiquement pour les faire reconverger par des manipulations ad hoc pas forcément rigoureuse du seul point de vue mathématique mais passons...

Le formalisme Hilbertien a rompu la symétrie de raisonnement math / physique. Il voulait regrouper l'ensemble des formalismes ou chaque fragment mathématique, géométrique, arithmétique, algèbre, analyse... soient regroupés dans un cadre unifié de la théorie des ensembles sous un formalisme évolutif d'axiomes à compléter pour se faire et à clôturer comme nouvelle base de la logique.

3 questions d'Hilbert en 1923

- Peut on acquérir la certitude qu'un système formel est cohérent ? (non contradictoire)

- Tout système formel peut il être syntaxiquement complet ? (toute proposition est prouvable ou réfutable, sans indécidable)

- Toute axiomatique formelle est elle décidable ? (existence d'une procédure effective qui répond oui / non à une proposition)

La réponse est négative à ces 3 questions.... et si Hilbert se satisfaisait d'une vision que je vois encore souvent d'une activité mathématique qui se contenterait d'enrichir les systèmes formels par ajouts d'axiomes non contradictoires, l'incomplétude et l'indécidabilité à tranché en donnant raison à Poincaré et l'activité mathématique ne pourra jamais se passer du secours de l'intuition

On dissocie, prouvabilité de vérité, une preuve étant vraie ou fausse mais une vérité ne pouvant pas toujours être prouvée

Bref...

En théorie, ne pas pouvoir se référer à un formalisme mathématique unique or l'histoire des mathématique a été une généralisation progressive de la notion de nombre (entier, rationnel, irrationnel, algébrique, transcendant, réel, complexe, hypercomplexe....) et il est communément admis que ZF est la théorie ultime qui décrit 'correctement' la mathématique

Hilbert avait ajouté une 6ème question :

- Peut on axiomatiser la physique théorique ?

La vision du mathématicien formaliste est de regrouper le savoir faire mathématique dans une même vision unitaire formelle en complément du rêve d'une physique unitaire qui s'affranchirait du cadre inductif (dont a parlé Einstein (tout comme Poincaré) afin de l'axiomatiser comme en mathématiques.

Ce problème fût... retiré de la liste...sans doute que les physiciens ont une vision différente de la marche du monde.

D'ailleurs la révolution quantique (cf mon post précédent) à érigé un obstacle inattendu. Elle s'exprime en logique NON BINAIRE dont les premiers pas (et non les petits pas) ont été fait par Birkhoff et Von Neumann sur base de supperposition d'états probabilistes et non d'états alternatifs.

Loin de nous rapprocher du cadre unitaire formaliste, le 20 ème siècle nous en a éloigné, la seule contrainte du mathématicien étant le cadre logique alors que le physicien doit préserver le cadre logique formaliste en tirant du système axiomatique de sa théorie les conclusions mathématiquement valides mais il doit également superposer la vérification expérimentale avec ses contraintes physique (personne n'a jamais "construit" Pi...ni la quadrature du cercle)

D'ailleurs, le formalisme de la physique est un formalisme qui s'approche d'une forme de réalité mais qui n'est pas forcément la réalité (cf Einstein - Comment je vois le monde sur le statut d'un modèle physique)

Feynman a consacré les dix dernières années de sa vie aux limites des ordinateurs classique ou quantique en rapport aux lois fondamentales de la physique et il remet en cause l'utilisation de cadre mathématique sui "use et abuse" du continu au point de permettre une quantité infinie d'information dans un volume fini de l'espace - temps

Now, what kind of physics are we going to imitate? First, I am going to describe the possibility of simulating physics in the classical approximation, a thing which is usually described by local differential equations. But the physical world is quantum mechanical, andtherefore the proper problem is the simulation of quantum physics – which of simulation do I mean? There is, of course, a kind of approximate simulation in which you design numerical algorithms for differential equations, and then use the computer to compute these algorithms and get an approximate view of what the computer to compute these algorithms and get anapproximate view of what physics ought to do. That’s an interesting subject, but is not what Iwant to talk about. I want to talk about the possibility that there is to be an exact simulation,that the computer will do exactly the same as nature. If this is to be proved and the type ofcomputer is as I’ve already explained, then it’s going to be necessary that everything that happens in a finite volume of space and time would have to be exactly analysable with a finite number of logical operations. The present theory of physics is not that way, apparently. It allows space to go down into infinitesimal distances, wavelengths to get infinitely great, terms to be summed in infinite order, and so forth; and therefore, if this proposition is right,physical law is wrong.”

Bref, la physique entretient des rapports charnels à la notion de calcul comme un "ordinateur" qui la distingue du formalisme purement logique des mathématiques dont certaines notions relatives aux infinis n'a que des contraintes logiques formaliste et non constructivistes à intégrer

A cet égard, j'avais également fait un post sur la thèse de Church Turing avec les conséquence suivante dans sa version physique

1- Il est inutile de chercher à construire une machine de Turing continue en espérant lui faire calculer une fonction que l'ordinateur discret ne calculerait pas

2- Idem pour l'ordinateur quantique qui ne permettraient qu'un calcul beaucoup plus rapide et Feynman lui même à toujours "professé" que l'ordinateur classique épuisait toutes les possibilités de calcul

3- Les contraintes calculatoires qui s'imposent à la physique au dela du seul formalisme logique se heurte au constructivisme intrinsèque et obligatoire des lois de la nature donc aucun moyen calculatoire ne peut s'affranchir des contraintes empiriques liées à la nature du monde physique

L'ordinateur ne sait pas construire des nombres inconstructibles ce qui restreint en physique un domaine d'appartenance des variables aux systèmes comprenant les réels constructibles comme sous domaine du formalisme mathématique initial.

Concernant le statut de l'infini, cette vision constructiviste s'oppose à la vision mathématique formaliste qui n'est pas contrainte par la nécessité de "construire" chaque nombre réel "constructible" par des processus calculatoires

Or, la physique, qui s'intéresse à la description du monde sensible, adopte toujours des formalismes de type ZF sauf lorsqu'ils ont recours aux contraintes du calcul par ordinateur bien évidemment.

Kronecker, Brouwer ont défendu la vision constructiviste en physique et à l'expression "il existe A tel que.." ils substituent une logique "On peut construire A par une procédure effective telle que..."

Se quereller sur le statut ontologique des objets mathématiques comme Connes parait dérisoire mais non et de la nature du lien mathématique - physique, il y a bien davantage qu'une simple bijection

C'est bien pratique les maths, mais si nous sommes actuellement à tracer des épicycles, elles ne peuvent pas nous aider à progresser, à moins peut-être qu'on puisse leur faire avouer qu'elles modélisent justement des épicycles.

Si on se fie à la simplicité conceptuelle qui a découlé de l'héliocentrisme, la complexité des maths actuelles n'est quand même pas bon signe. Pourrait-on, avec des maths, déterminer si nous sommes dans des épicycles ou pas? Et sinon, comment leur faire confiance pour déterminer ce qui est réel ou pas?

Paramètre alpha