Défis mathématiques

Il suffit de remarquer que le système d'équation obtenue, correspond à un déterminant de 1 sur le corps à 2 éléments.

C'est-à-dire ? :)

Pour le 2/ :

Théorème d'Erdos

Je confirme en effet que c'est le théorème d'Erdös. Autant que cela soit dit maintenant, sa démonstration est l'une des plus élégantes que j'ai jamais vues : On démontre par l'absurde qu'en considérant trois points non alignés et à distances entières les uns des autres dans cet ensemble infini de points à distances entières les uns des autres, il n'y a qu'un nombre fini de choix de trouver un quatrième point qui soit lui-même à distance entière des trois premiers points et distinct de ceux-ci. Contradiction.

C'est-à-dire ? :)

2/Je confirme en effet que c'est le théorème d'Erdös. Autant que cela soit dit maintenant, sa démonstration est l'une des plus élégantes que j'ai jamais vues : On démontre par l'absurde qu'en considérant trois points non alignés et à distances entières les uns des autres dans cet ensemble infini de points à distances entières les uns des autres, il n'y a qu'un nombre fini de choix de trouver un quatrième point qui soit lui-même à distance entière des trois premiers points et distinct de ceux-ci. Contradiction.

1/Je me suis tromper,(2n+1 le nombre de diamants) le système est dans le corps à 2 éléments de rang 2n, donc dans Q est au minimum de rang 2n, or on a un ensemble de dimension 1 solution immédiates (lorsque les diamants sont du même poids), donc le système est au plus de rang 2n.

Donc le système est de rang 2n, et les seuls solutions sont quand les diamants sont de même poids.

2/Démonstration dans le lien.

Sinon j'ai un petit défi :

La multitude de multi-ensemble

Un={0,n,n^2,n^3}

S=U1+U2+...+U100

S={s1,...,sk}

T=s1^3+...+sk^3

Combien vaut T ?

Sachant que {1,3}+{0,2}={1+0,3+0,1+2,3+2}={1,3,3,5} .

Remontons désormais le raisonnement : Puisque le nombre de "trajectoires qui ne sont pas de Dyck" est "n-1 parmi 2n", les trajectoires qui sont de Dyck sont comptées comme étant le nombre de trajectoires reliant O à M dont on élimine un certain nombres de trajectoires (celles qui ne sont pas de Dyck, que l'on commence par un pas vers la droite ou par un pas vers le haut, ce qui nécessite de comptabiliser deux fois le nombre précédemment trouvé).

Finalement, le nombre recherché vaut :

"n parmi 2n" - 2*("n-1 parmi 2n")

Sinon j'ai un petit défi :

Définis au moins tes variables et les lois que tu utilises ! Comment peut-on additionner des ensembles ?

Définis au moins tes variables et les lois que tu utilises ! Comment peut-on additionner des ensembles ?

Des multi-ensembles fini, et c'est classique :

{a1,..,an}+{b1,..,bk}={a1+b1,a1+b2,...,a1+bk,a2+b1,..,a2+bk,..,an+b1,...,an+bk}

C'est opération sur les multi-ensembles est associative, pour le voir :

Cela revient à une multiplication de polynôme entier : (X^a1+...+X^ak)*(X^b1+...+X^bk).

Un multi-ensemble pouvant être représenté par un polynôme.

J'espère que c'est plus clair, sinon n'hésitez pas.

Ce n'est pas plutôt 2*["n parmi 2n" - "n-1 parmi 2n"] ?

C'est astucieux en tout cas, la bijection entre D' et D'', je n'y aurais pas pensé. C'est sûr que le résultat est bien plus élégant que ma relation de récurrence dégueulasse, même si elle me donne les mêmes valeurs au final (on se console comme on peut).

La multitude de multi-ensemble

Un={0,n,n^2,n^3}

S=U1+U2+...+U100

S={s1,...,sk}

T=s1^3+...+sk^3

Combien vaut T ?

Sachant que {1,3}+{0,2}={1+0,3+0,1+2,3+2}={1,3,3,5} .

Le niveau : L1.5

Inutile de me donner une méthode, trouver le résultat suffira à prouver que vous avez trouver une bonne méthode.

Hmmm je ne pense pas. Partant du constat que :

{Trajectoires reliant O à M} = {Trajectoires de Dyck} U {Trajectoires qui ne sont pas de Dyck}, on obtient :

Nombre de trajectoires = Nombre de trajectoires de Dyck + Nombre de trajectoires qui ne sont pas de Dyck.

Or, les trajectoires qui coupent la diagonale au moins une fois s'obtiennent de deux façons : En partant vers la droite ou en partant vers le haut. Nous avons montré que les trajectoires de Dyck qui débutent vers la droite sont au nombre de "n-1 parmi 2n". Il y en a autant qui commencent vers le haut, et ces deux ensembles ont des éléments deux à deux distincts (on ne peut pas confondre deux chemins avec l'un qui commence vers la droite et l'un qui commence vers le haut, ce sont des trajectoires fondamentalement différentes). D'où le résultat.

Ta formule est peut-être juste :) C'est toujours le moment de transformer l'essai en montrant que ta conjecture est un résultat (par récurrence, si tu ne veux pas trop te fouler) !

D'après ton raisonnement, "n-1 parmi 2n", c'est le nombre de trajectoires de O à M qui traversent la bissectrice en étant parti à droite au début (ou bien en haut, indifféremment). Du coup, "n parmi 2n" - "n-1 parmi 2n", c'est le nombre de chemins de Dyck de O à M en étant parti à droite au début, d'où le nombre total de chemins de Dyck est 2*["n parmi 2n" - "n-1 parmi 2n"], puisqu'il y a effectivement symétrie entre les deux axes.

En outre, d'un point de vue purement pragmatique, "n parmi 2n" - 2*"n-1 parmi 2n" = (2n)! / [n! (n+1)!] * (1-n), ce qui est strictement négatif pour n > 1. Par ailleurs, j'ai aussi vérifié sur Wiki et 2*["n parmi 2n" - "n-1 parmi 2n"], c'est 2 fois le n-ième nombre de Catalan qui apparait bien dans le problème des mots de Dyck.

Tu parles de ce que j'appelle "ma formule de récurrence dégueulasse" ou de 2*["n parmi 2n" - "n-1 parmi 2n"] ?

1)

2)

Je parle de ta formule de récurrence.

Sinon je reformule le défi, pour ceux qui sont peu familier des multi-ensembles :

Les polies polynômes :

Pn=1+X^n+X^(n^2)+X^(n^3).

S=P1*P2*...*P100

S=a0+a1*X+...+ak*X^k

T=a0*0^3+a1*1^3+...+ak*k^3

Que vaut alors T ?

Niveau : L1-L2

Je précise, pour vous faire gagner du temps, qu'il est inutile d'écumer les annales des oraux de l'X ou l'ENS pour avoir les réponses :

Sinon je reformule le défi, pour ceux qui sont peu familier des multi-ensembles :

Les polies polynômes :

Pn=1+X^n+X^(n^2)+X^(n^3).

S=P1*P2*...*P100

S=a0+a1*X+...+ak*X^k

T=a0*0^3+a1*1^3+...+ak*k^3

Que vaut alors T ?

Niveau : L1-L2

Sinon j'ai un petit défi :

Les s_k sont les puissances de ce polynôme :

, avec les I_i qui sont les ensembles U_i.

On a 4¹⁰⁰ combinaisons possibles des i_i, une astuce pour les calculer ?

Ce sont tous des problèmes assez voire très difficiles, qui demandent avant tout de l'astuce de votre part et que vous y passiez du temps. J'espère qu'ils représenteront des casse-têtes amusants pour ceux et celles qui voudront bien s'y frotter, même si la solution ne vient pas. L'important est d'y réfléchir.

Bon jeu.

Le défi que je propose est vraiment de la même veine, il demande surtout de l'astuce.

Mais je serais incapable de vous dire si il est facile ou difficile (pour moi il est facile cela ne veut rien dire car je suis habitué à ce genre de problème).

Ce qui est sûre, c'est qu' une fois que l'on connaît l'(ou es) astuce(ou s) de ce problème il est très facile à résoudre.

En traduisant le problème, j'ai fait un pas énorme vers les solutions (car j'en connais ou moins 2 différentes, donc il peut en exister encore plus).

Alors, bon jeu.

Les s_k sont les puissances de ce polynôme :

, avec les I_i qui sont les ensembles U_i.

On a 4¹⁰⁰ combinaisons possibles des i_i, une astuce pour les calculer ?

C'est sûre que la force brut, sauf à disposer de super calculateur est inutile.

Ce qui est sûr, c'est que la valeur maximale des s_k est de multiplicité 1 et vaut :

, ce qui fait 25 502 500

J'ai donné assez d'indice, l'indice suivant c'est la solution.

Tu peux la donner en la blancotant

En fait ces résultats sont issus de mes recherches amateurs, et j'aimerais savoir si ces résultats sont déjà connus, pour cela il suffit de résoudre le problème.

C'est pour cela que je préfère que quelqu'un le résolve, ou constater qu'effectivement, il est très difficile à résoudre (chose que je suis incapable d'évaluer moi même, et peut-être même que ces résultats existent déjà).

C'est pour cela que je préfère ne pas donner la solution, si cela vous dérange, je vous invite à ne pas relever ce défi.

Cordialement.

Autant dire que tu n'as pas la solution :smile2: A quoi bon poster un problème si on est réticent à y donner une solution voire un semblant de démonstration ?

Technique intéressante pour subtiliser des indices.

Mais sinon, quand tu as donné tes énigmes, ai-je douté du fait que tu n'es pas la solution ?

Ce n'est pas parce que tu ne trouve pas, que personne ne trouvera.