DM de mathématiques

Bonjour tout le monde ! Je suis définitivement désespérante en maths, c'est officiel...

Je viens de passer des heures et des heures sur ce DM, avec un de mes amis, et on y arrive vraiment pas... (Je crois que toute la classe n'y arrive pas, pour dire vrai)

Ce DM est composé de 2 exercices... Et je ne suis arrivée à faire que 3 questions en tout...

Je vous demande donc votre aide...

Exercice 1:

Soit n≥ 0 un entier non nul, on note M_n(lR) l'ensemble des matrices carrées à coefficients réels de dimension n, 0_n la matrice nulle de M_n(lR) et I_n la matrice identité de M_n(lR).

On considère une matrice A ∈ M_n(lR) telle que:

(*) A ≠ 0n et A² + In = 0n

On note f ∈ L(lR^n) l'application linéaire associée à la matrice A.

QUESTIONS:

1. Montrer que A est inversible et déterminer son inverse.

2. Dans cette question on suppose n=3 :

(a) Soit u un vecteur non nul de lR^3 ; montrer que la famille (u, f(u)) est libre dans lR^3

(b) Soit u et v deux vecteurs de lR^3 . Montrer que si la famille (u,v, f(u) ) est libre alors la famille (u,v, f(u),f(v) ) est libre.

© En déduire que si une matrice vérifie la relation (*), ce ne peut être le cas pour n=3

3. en utilisant le déterminant, montrer que si une matrice vérifie la relation (*), c'est nécessairement pour un entier n pair.

4. Dans cette question, on suppose n=2 ; que vaut det(A) ? Déterminer une matrice A vérifiant (*). Comment s'écrivent toutes les matrices vérifiant (*)

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Où j'en suis: J'ai réussi la question une, sans trop de problèmes, en revanche dès la question 2 je n'arrive plus à rien.

Déjà, je ne vois même pas d'où partir... en général pour démontrer qu'une famille est libre on cherche à montrer que tous les vecteurs ne sont pas linéairement dépendant des autres, or, on a aucun des deux vecteurs ici...

Je crois que je ne vois même pas qui est u, et qui est f(u)... donc comment montrer qu'ils sont libres ou non...

Salut,

Prends x différent de 0, et suppose trouvée une combinaison linéaire de x et f(x) telle que cette combinaison soit nulle. Montre que les coefficients scalaires de cette combinaison sont nuls.

Nota : Dans le cas de deux vecteurs, on peut montrer qu'ils ne sont pas colinéaires mais c'est dans des cas simples donc relativement limités.

Dans le reste des cas, soit on le fait par l'absurde (on suppose la famille liée, puis on montre qu'il y a contradiction), soit on le fait comme je viens de le suggérer, soit on le fait par récurrence (en reprenant ce schéma) dans des cas non évidents où on travaille dans un e.v de dimension n.

Trop de lettres, et pas assez de chiffres, je peux pas aider désolé :D

Mais je ne vois pas à quoi correspond x ici...

Ben x c'est simplement un vecteur de R^3.

Oui bon, on prend u dans ton cas. C'est pareil.

Je comprends vraiment pas ^^'

Comment peut on démontrer qu'un vecteur quelconque est libre avec un autre ...

On prendrait u: (X,Y,z) et ensuite ?

F(u) ce serait quoi? ...

je suis vraiment perdue la ^^'

Tu n'as pas compris la notion de liberté, oui.

On dit qu'une famille est libre lorsque la seule combinaison linéaire de ces éléments qui fasse 0 est la combinaison où tous les coefficients valent 0.

Autrement dit, pour montrer qu'une famille de vecteurs est libre, on suppose qu'il existe une combinaison linéaire de ces vecteurs qui fasse 0, et on montre qu'alors les coefficients scalaires valent tous 0.

Dans ce cas, suppose qu'il existe a et b des réels tels que a*u+b*f(u)=0. Montre que a et b valent 0.