devoir de maths (suites)

Bonjour tout le monde, j'ai un devoir de maths sur les suites à rendre pour lundi, composé de 12 questions et d'une question bonus.

J'ai réussi toutes les questions mis à part la question bonus, qui n'est certes pas essentielle mais qui m'intrigue réellement ! je vous demande donc votre aide:

Nous devons démontrer que p et q sont divisibles pas 12

P= 5.(-1)^(n+1) + 2^(n+3)-3^(n+1)

Q= (-1)^(n+1)+2^(n+4)-3^n

Merci d'avance =) et bonne journée

P et Q divisibles par 12 implique que la différence P – Q (ou Q – P) est divisible par 12.

Salut,

Simple récurrence dans un tel contexte.

Et cristal07 : On veut montrer que P et Q sont divisibles par 12, pas P-Q.

Safa :

cristal07 a tout à fait raison. Note sa remarque P-Q (ou Q-P) est divisible par 12. Et je te met au défi de trouver A et B divisibles tout deux par N sans que |A-B| ne le soit également

Et soit dit en passant sa remarque a ceci de judicieux que si l'on soustrait les deux polynômes proposés, on voit immédiatement le facteur 12 apparaître.

Bonjour azad2B.

Tu ne connais visiblement pas le concept de réciproque. Et ici, très justement, la réciproque est fausse.

Pour que tu comprennes : Soit l'assertion "Soient A et B divisibles par n entier, alors toute combinaison linéaire entière de A et B est aussi divisible par n". Voici la démonstration :

Supposons que A et B soient divisibles par n. Il existe donc k et k' deux entiers tels que A=kn et B=k'n.

Nous pouvons écrire toute combinaison linéaire entière de A et de B sous la forme pA+qB avec p et q des entiers. Alors pA+qB=pkn+qk'n=(pk+qk')n=Kn (donc toute combinaison linéaire entière de A et de B est divisible par n).

Tu remarqueras d'ailleurs que la démonstration renferme très exactement la structure en "Si... Alors...".

Par contre, maintenant, montrons que l'assertion "Toute combinaison linéaire de A et de B est divisible par n implique que A et B sont divisibles par n" est fausse. Pour ce faire, il suffit d'exhiber un exemple :

Prenons 12. 12 s'écrit sous la forme 13-1 or ni 13 ni 1 n'est divisible par 12. Donc la propriété réciproque est fausse.

De plus - je le répète - il faut montrer que les nombres P et Q sont divisibles par 12. Si on commence par montrer que P+Q ou P-Q est divisible par 12, on se trouve dans le contexte de l'application de la réciproque du théorème que je viens d'exhiber, réciproque qui de toute évidence est fausse et n'aurait pas valeur de preuve.

Ce qu'il faut faire c'est une récurrence (puisque notre amie Marie0be n'est apparemment pas en spé maths) :

Montrer que la propriété est vraie pour n=0 puis qu'elle est héréditaire, i.e que P_n vraie => P_n+1 est aussi vraie.

On utilisera le fait que A divisible par B équivaut à "il existe k entier tel que A=k*B".

Nota : Pour finir, c'est avec des fautes de logique et de formalisme mathématique que l'on prouve n'importe quoi.

Bien entendu tu as tout à fait raison. Mais quand tu écris :

Par contre, maintenant, montrons que l'assertion "Toute combinaison linéaire de A et de B est divisible par n implique que A et B sont divisibles par n" est fausse.

ce qui est tout à fait exact…. sauf que tu oublies l'énoncé de la question, qui est :

Nous devons démontrer que p et q sont divisibles par 12

P= 5.(-1)^(n+1) + 2^(n+3)-3^(n+1)

Q= (-1)^(n+1)+2^(n+4)-3^n

Ce qui signifie que l'on a le droit de supposer qu'ils le sont vraiment !

Et s'ils le sont, alors leurs combinaisons sont divisibles par 12.

Alors s'il est vrai qu'une faute logique peut entrainer un résultat faux, il est aussi certain qu' ignorer (ou que mal lire) une affirmation dans un énoncé, peut entrainer un zéro pointé en correction.

Sans rancune, j'espère.

Bien entendu tu as tout à fait raison. Mais quand tu écris :

ce qui est tout à fait exact…. sauf que tu oublies l'énoncé de la question, qui est :

Ce qui signifie que l'on a le droit de supposer qu'ils le sont vraiment !

Et s'ils le sont, alors leurs combinaisons sont divisibles par 12.

Alors s'il est vrai qu'une faute logique peut entrainer un résultat faux, il est aussi certain qu' ignorer (ou que mal lire) une affirmation dans un énoncé, peut entrainer un zéro pointé en correction.

Sans rancune, j'espère.

Pas du tout de rancune, non. Et je ne vois pas pourquoi d'ailleurs.

Ce que tu dis est faux (et tu n'essaies même pas de me prouver en quoi j'aurais tort ce qui me conforte dans l'hypothèse que tu veux juste avoir le dernier mot). Tu n'as pas le droit de supposer que A et B sont divisibles par 12... C'est un contre-sens argumentatif : Si tu supposes qu'ils sont divisibles par 12 tu n'as rien à montrer puisqu'ils sont effectivement divisibles par 12 (on te demande de le montrer donc ils le sont forcément) !

Si par contre tu veux montrer que A et B ne sont pas divisibles par 12, tu peux supposer qu'ils sont divisibles par 12 et aboutir à une contradiction. C'est ce qu'on appelle un raisonnement par l'absurde. Mais ce n'est pas du tout l'objet de notre problème.

Ce que j'essaie tant bien que mal de t'expliquer, c'est que l'assertion que tu utilises est fausse, et donc qu'elle ne démontre rien. Je t'ai d'ailleurs montré qu'elle était fausse, et tu te bornes à ne pas l'admettre.

Il me semble que le têtu, c'est plutôt toi.

A et B sont divisibles par 12 par définition. C'est pré-supposé dans l'énoncé.

Donc on a le droit d'en déduire que |A-B| est divisible par 12. Et que Cristal07, qui a bien lu l'énoncé est dans le vrai.

Si l'énoncé avait été différent il eut fallu chercher l'existence de possibles et pas forcément définis dans R, multiples ou diviseurs communs à A et B. Et cela aurait-été une autre paire de manche.

En l'état, pour moi, l'incident est clos.

Il me semble que le têtu, c'est plutôt toi.

A et B sont divisibles par 12 par définition. C'est pré-supposé dans l'énoncé.

Donc on a le droit d'en déduire que |A-B| est divisible par 12. Et que Cristal07, qui a bien lu l'énoncé est dans le vrai.

Si l'énoncé avait été différent il eut fallu chercher l'existence de possibles et pas forcément définis dans R, multiples ou diviseurs communs à A et B. Et cela aurait-été une autre paire de manche.

En l'état, pour moi, l'incident est clos.

Alors c'est regrettable, mais tu ne sais pas lire.

Je répète l'énoncé (réécrit sous une forme que tu saurais peut-être mieux comprendre) :

P= 5.(-1)^(n+1) + 2^(n+3)-3^(n+1)

Q= (-1)^(n+1)+2^(n+4)-3^n

Montrer que P et Q sont divisibles pas 12

Si tu me répètes qu'on sait déjà que P et Q sont divisibles par 12 c'est que tu es gonflé car cette démonstration est justement l'unique enjeu de l'exo.

Pourrais-tu, s'il te plaît, me donner le sens du mot MONTRER, quand il est utilisé dans un énoncé de problème ?

Tu as finalement peut-être raison. Je n'ai pas du Français la même lecture que toi.

C'est pourtant clair.

La démonstration, c'est la preuve, l'exhibition d'une propriété par l'usage de la raison et donc d'arguments concrets.

On montre une assertion lorsqu'on a démontré qu'elle a valeur de vérité.

En cela, les mots "montrer", "démontrer", "prouver" sont parfaitement synonymes.

Donc, si je te demande de me montrer que E=mc², tu m'exposeras peu à peu les mécanismes de pensée et les arguments scientifiques qui te permettent de proche en proche de me convaincre (et non pas me persuader par un jeu de dupes) de la véracité de cette formule.

Si je te demande de démontrer que P et Q sont divisibles par 12, il faut montrer qu'ils s'écrivent "machin"*12 avec machin un entier.

Dans notre cas, P et Q dépendent de n (il faudrait donc plutôt les nommer P_n ou Q_n par exemple) donc il faut montrer que pour tout n entier naturel, on a 5.(-1)^(n+1) + 2^(n+3)-3^(n+1) et (-1)^(n+1)+2^(n+4)-3^n divisibles par 12, c'est-à-dire que pour chaque n entier, on peut exhiber une écriture de la forme 5.(-1)^(n+1) + 2^(n+3)-3^(n+1)=12*k et (-1)^(n+1)+2^(n+4)-3^n=12*k'

Pour ce faire, on effectuera une récurrence.

Oulah merci de toutes vos réponses

Et pour dire vrai je ne suis effectivement pas en spe maths mais en L1 de physique chimie ^^

Tu as donc finalement compris comment il faut faire et quelle méthode adopter ?

Et autant pour moi, j'avais oublié que tu es en L1 !

Oui, j'ai vraiment bien compris grâce à ce bel argumentaire !

Je vous remercie réellement de m'avoir consacré du temps !

Bonne soirée :)

Finalement, j'avais raison ou pas ? :blush:

Merci.

Je préfère ton explication. Et puis ça m'arrange :D

Bien sûr que tu avais raison. Si A et B sont chacun divisibles par 12 comme le laisse entendre l'énoncé que certains s'obstinent à ne pas vouloir lire, alors s'i| est plus simple de montrer que | A-B | l' est aussi, choisir cette voie fait gagner une opération.

Mais tu es un irréductible, azad2B.

Je croyais finalement que tu avais compris que tu étais dans le tort.

Je sais d'ailleurs que tu sais être dans le tort, mais tu déformes la teneur de l'énoncé pour te donner raison. NON, on ne sait pas a priori si P et Q sont divisibles par 12, d'où l'intérêt de le démontrer.

Si l'on ne comprend pas un énoncé mathématique, on ne se prononce pas !

Et cristal07, non.

Tu croyais que j'avais compris !

Remarquable. L'idée que peut-être je refusais de continuer une discussion stérile, ne t'es pas venue à l'esprit ?

Je persiste à affirmer que quand dans un énoncé on trouve une phrase du genre

Montrer que A et B possèdent la propriété P, c'est que A et B possèdent effectivement cette propriété. Il reste à le montrer et cela en utilisant les conséquences qu'impliquent la possession d'une telle propriété chez A et B. Donc Cristal07 a raison.

Sinon, l'auteur aurait écris : montrer que A est divisible par 12. Suivi d'un : montrer que B est divisible par 12.

Les maths, c'est bien. Le Français, n'est pas mal non plus.

Plutôt qu'un long discours : http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=1015792&posted=1#post1015792

De rien.

Montrer que A et B possèdent la propriété P, c'est que A et B possèdent effectivement cette propriété.

Oui. C'est même redondant, ce que l'on appelle une tautologie.

Il reste à le montrer et cela en utilisant les conséquences qu'impliquent la possession d'une telle propriété chez A et B.

Non. On sait ou on ne sait pas que A et B ont cette propriété. L'énoncé demande seulement de le prouver. Excuse-moi si tu ne sais pas lire un énoncé mathématique sans en déformer la logique.

Donc Cristal07 a raison.

Non.

Sinon, l'auteur aurait écris : montrer que A est divisible par 12. Suivi d'un : montrer que B est divisible par 12.

Et c'est justement l'énoncé.

Edit : Je retire ce que je disais au sujet des messages précédents. La réciproque est vraie dans cette formulation précise : "Si c divise toute combinaison linéaire de a et de b, alors il divise a et b". Cela n'enlève en rien la valeur de mes propos : Il s'avère que si c ne divise que certaines combinaisons linéaires de a et de b, il ne divise pas forcément a et b (car a+0*b et b+0*a sont en l'occurrence des combinaisons linéaires particulières de a et b), d'où mon exemple de 12=13-1.

Ce que vous affirmez reste donc faux, et il faut procéder par récurrence ou montrer que P(n) et Q(n) s'écrivent sous la forme 12*k et 12*k'.

Ceci dit, l'énoncé est faux. On m'a fait remarquer, sur l'autre site, que Q(2) n'est pas divisible par 12.