dérivé et primitives en maths

Bonjour

Je sais très bien dériver et faire la primitives d'une fonction .Mais je ne sais pas à quoi ça sert. Je veux dire que représente la dérivé et la primitive par rapport à la fonction?

Je sais que la dérivé permet de définir le signe de f(x) etc.......Mais pourquoi à t-on besoin d'une dérivé pour définir tout cela?

Je vous remercie pour vos réponses. Répondez uniquement si vous savez svp. Je ne veux pas de réponse à l'arrache.

Merci

La dérivé d'une fonction te donne accès à son sens de variation. Lorsque la dérivé de la fonction est négative sur un intervalle, tu peux dire que la fonction est décroissante et inversement, lorsque la dérivé est positive, tu peux dire que la fonction est croissante.

Donc ce qui est important, c'est le signe de la dérivé.

La primitive c'est un peu l'inverse de la dérivé (les mathématiciens vont me tuer...) elle te rend la fonction, lorsque tu connais sa dérivé.

Elles ont un rôle très important en physique par exemple, où elles servent à obtenir des courbes de vitesses, de trajectoires ou d'accélérations. Ça n'est qu'un exemple.

Elle s'applique vraiment dans tout les domaines : biologie, chimie, physique, économie ... etc.

En effet la "primitivation" n'est pas l'inverse (qui désigne un élément, pas une opération) de la dérivation. Et attention elle ne rend pas la fonction telle quelle mais à une constante près (les mathématiciens t'auraient tué sur ce point là !). Et il faut aussi faire attention car la théorie de l'intégration est à prendre avec des pincettes. D'abord il existe plusieurs façons de définir une intégrale. On la construit au lycée et on commence par la voir dans le supérieur comme une intégrale de Riemann. Désolé(e) je n'ai pas le temps de développer bien plus (fêtes obligent). Et en plus on peut intégrer des fonctions à valeurs de R dans R mais pas seulement : Des applications d'un espace vectoriel dans R aussi ! Ce qui nécessite bien plus d'hypothèses (continuité par morceaux, caractère C1 par morceaux etc.)

Blablabla rien de particulier à dire pour les autres petites remarques...

Joyeux Noël.

D'accord merci. Mais dans un repère orthonormé que représente cette primitive par rapport à f(x)? Pourquoi faut t-il une primitive pour faire une intégrale?

JOYEUX NOEL

Si je me souviens bien, la primitive d'une fonction f(x) entre deux points de la courbe (qui est donc une intégrale puisque comprise entre deux valeurs de x), permet de calculer l'aire comprise entre l'abscisse et la courbe de la fonction entre les deux points considérés.

Dans un espace à trois dimensions, si tu fais faire une rotation à cette courbe, toujours grâce à sa primitive tu peux calculer le volume compris à l'intérieur de la rotation de la courbe (je ne sais pas si je suis bien clair).

D'accord merci. Mais dans un repère orthonormé que représente cette primitive par rapport à f(x)? Pourquoi faut t-il une primitive pour faire une intégrale?

JOYEUX NOEL

la primitive c'est une étape. elle n'est pas suffisante à elle seule pour décrire un phénomène précisément.

l'intégrale entre deux points apporte d'avantage d'informations. il s'agit de l'aire algébrique sous la courbe entre ces deux points. ça c'est l'interprétation graphique.

selon les cas, l'interprétation peut être physique, économique etc...

il faut faire le calcul de la primitive pour obtenir l'intégrale car l'intégrale entre deux points c'est la différence des primitives en ces deux points

et vu que la primitive se calcul à une constante près, quand tu fais la différence, cette constante disparaît. ce qui est pratique pour les applications numériques

(j'ai dit entre deux points mais ça peut aussi être des limites à plus ou moins l'infini

quand tu résous une équation différentielle décrivant un phénomène, tu passes par le calcul de primitives. avec les conditions initiales du phénomène, la constante de la primtiive peut être déterminée. dans ce cas, la primitive peut être autre chose qu'une étape de calcul, mais la solution du problème )

Salut.

Grosso merdo, la dérivée te dit si la courbe monte ou descend et la primitive te calcule l'aire sous la courbe.

++

la primitive c'est une étape. elle n'est pas suffisante à elle seule pour décrire un phénomène précisément.

l'intégrale entre deux points apporte d'avantage d'informations. il s'agit de l'aire algébrique sous la courbe entre ces deux points. ça c'est l'interprétation graphique.

selon les cas, l'interprétation peut être physique, économique etc...

il faut faire le calcul de la primitive pour obtenir l'intégrale car l'intégrale entre deux points c'est la différence des primitives en ces deux points

et vu que la primitive se calcul à une constante près, quand tu fais la différence, cette constante disparaît. ce qui est pratique pour les applications numériques

(j'ai dit entre deux points mais ça peut aussi être des limites à plus ou moins l'infini

quand tu résous une équation différentielle décrivant un phénomène, tu passes par le calcul de primitives. avec les conditions initiales du phénomène, la constante de la primtiive peut être déterminée. dans ce cas, la primitive peut être autre chose qu'une étape de calcul, mais la solution du problème )

Et si ce sont des bornes de l'intervalle de définition de ta fonction, on parle d'intégrale impropre (voire faussement impropre s'il est évident que la fonction est intégrable dans l'intervalle). Pour la calculer ça devient moins évident et il faut souvent ruser ne serait-ce que pour montrer qu'elle existe (comparaison avec des intégrales convergentes, minoration, majoration, domination, etc.).

Pour insister sur ce qu'a dit Père Vert, quand on résout une équation différentielle, on dit qu'on l'intègre (et ce procédé est tout particulièrement visible quand on utilise la méthode de la variation de la constante), voilà pour la page anecdote.

Et sinon, tu verras en physique ou en sciences de l'ingénieur que l'intégration a un sens particulier très pratique : Dans le supérieur, on apprend à sommer des forces sur des surfaces et à en trouver la résultante (c'est la façon dont on introduit le th. d'Archimède), à obtenir le volume d'une pièce en utilisant une triple intégration, à trouver des champs électrostatiques, à calculer des circulations de vitesses (de fluides notamment) et d'autres petites joyeusetés.

Bref, que ce soit en ingénierie, en sciences fondamentales ou autres, l'intégration c'est un "must-be-known".

Ah oui bien sûr, assez surprenamment il m'est arrivé de calculer des intégrales assez compliquées et à résoudre des EDO exotiques pour trouver des lois de vitesse en cinétique chimique, comme quoi les maths ça sert partout