Equation différentielle du premier ordre

Bonjours,

J'ai un DM de math dans lequel je dois résoudre l'équation suivante:

x²y' + (2x - 1)y = 0

En effectuant une résolution "classique" j'obtiens y(x) = (ke^-1/x)/x²

A partir de là, j'ai deux problèmes : D'abord, on me demandais de résoudre l'équation sur ]0;+infini[ et sur ]-infini;0[

je ne comprend pas trop ce que ça veut dire.

Ensuite, on me demande : "Cette équation (E) a-t-elle des solutions sur R? Si oui, les préciser" Je ne sais absolument pas comment faire pour définir si les solutions sont sur R

Voilà, j’espère que vous pourrez m'aider.

ben résoud l'equation quand, X est positif et négatif, 0 est exclu car tu peux pas diviser par 0

Salut,

La solution que tu obtiens n'est pas définie sur R (l'ensemble des nombres réels) mais sur R* (l'ensemble des réels privé de 0).

Pour arriver à cette solution, il faut diviser l'équation par x², ce qui n'est possible que si x est différent de 0, d'où on te demande de résoudre l'équation sur ces intervalles excluant 0. Édition : qui plus est, il faut intégrer -2/x à un moment, ce qui se fait différemment selon le signe de x ; la fonction ln n'étant définie que sur R*+.

Ce genre d'équation admet toujours la fonction nulle pour solution. En l'occurrence, c'est la seule solution sur R entier.

Merci, J'en déduis qu la seule solutions possible sur R est celle où k=0.

Mais comment je fait pour résoudre l'équation avec x positif et x négatif ?

Il faut que je fasse les Limites en -Infini, +Infini, 0⁺ et 0^-?

Mais comment je fait pour résoudre l'équation avec x positif et x négatif ?

Il faut que j'y aille là mais je t'expliquerai plus tard dans la journée si personne ne l'a fait d'ici là.

Alors attention, la solution d'une équation différentielle, c'est une fonction, pas un nombre

Mes derniers cours de maths sont loin... mais il me semble que dans un premier temps, tu trouves une solutions particulière. (c'est à dire une fonction particulière. Différente de la fonction nulle bien sûr... ramène toi sur R* dans un premier temps. )

Ensuite, tu en déduits l'ensemble des fonctions possibles, qui sont de la même forme que cette solutions particulière.

Pour la solution sur R et pas sur R*, vérifie effectivement les limites en 0. (les limites en ± infini tu t'en fiche)

Si tu tombe sur une limite finie, et identique, tu peux dire qu'il existe une solution, étendue par continuité, sur R tout entier.

Sinon annonce la solutions que tu as trouvé sur R* (Sinon tu aura 0... même si on te demande une solution sur R tout entier, précise s'il existe des solutions sur R tronqué de certains point... ^^ faut quelque part deviner un peu que ce qu'attend le prof, c'est que tu trouve des solutions à cette équation. )

Pour ce qui est de la formulation de la solution qui est différente sur R*+ ou sur R*-, fait attention lors de ton intégration au signe de x.

Le résultat devrait donner une fonction qui se représente avec un "+x" sur R*+ et avec un "-x" sur R*-

Je penses que tu as intégré un peu trop vite ta fonction, pour obtenir ton premier résultat. Sans faire attention que les "transformation" toute faite que tu as apprise par cœur ne peuvent s'appliquer que si x est positif. (sur R+) et que la transformation est un peu différente si x est négatif.

F'in j'ai pas regardé dans le détail, mais c'est les pièges habituels. Fait pour voir si tu as vraiment intégré que les transformations que tu as apprise par cœur ne s'applique que sur une plage particulière de R.

ça permet d'éliminer ceux qui ne font qu'appliquer les transfo par cœur, et de sélectionner ceux qui pensent à regarder sur quelle plage ces transfo peuvent se faire, avant de les utiliser.

Je joins une proposition de résolution. Que ce soit sur R*+ ou sur R*-, les solutions ont la même force, à la constante près. Ça fait quelques années que je n'ai plus fait de maths pures, je ne me souviens plus si du coup tu peux considérer une solution sur R* ou s'il faut s'en tenir à une solution sur R*+ et une autre sur R*-, mais comme on ne peut pas prolonger par continuité lesdites fonctions en 0, je pencherais plutôt pour la seconde option.

Mon lien

Merci beaucoup à tous, je vais me pencher sur vos réponses.

Re bonjour,

Je re-poste ici pour éviter de crée un nouveau sujet pour juste pour ça (et c'est pas totalement hors sujet puisque ça fait parti du même DM)

Je dois faire l'intégrale en 1 et h (avec 0<h<1)de la fonctions e^-1/x/x²

Donc, vu que je ne sais pas comment faire la primitive la fonctions complète, je pars sur une Intégration par partie (IPP pour les intimes), mais je ne sais pas comment intégré e^-1/x

Je rappelle, que -1/x = -x^-1

Voila, si quelqu'un peut m'aider (si possible avec une loi générale que je pourrait ré-appliquer plus tard) merci d'avance

Salut,

Essaie un changement de variable. (Il y en a un assez évident et il marche.)

C'est quoi que tu appelle un changement de variable ? Il faut que je remplace x par un nombre ? (1 à tout hasard? )

Non, sûrement pas. Tu remplaces x par une autre variable, disons t, dépendant de x. Il faut aussi remplacer dx par dt et modifier les bornes en conséquence. Je posterai un exemple d'ici quelques dizaines de minutes, mais là le petit-déjeuner m'attend.

D'accord merci.

Je prends le relais konvicted,

Pour primitiver e^-1/x on posera x=-1/t pour se ramener à du e^t

Alors dx=(1/t²)dt et on remplace les bornes par quelque chose d'adapté, puis on fait tourner la machine.

J'ai pris l'exemple de ln(x)/x. Tu peux l'intégrer par parties ou en faisant un changement de variable comme suit :

Je prends le relais konvicted,

Pour primitiver e^-1/x on posera x=-1/t pour se ramener à du e^t

Alors dx=(1/t²)dt et on remplace les bornes par quelque chose d'adapté, puis on fait tourner la machine.

Ah ! je voulais qu'il trouve le changement de variable tout seul. M'enfin, tant pis. :p

Merci, à vous deux.

j’étais entrain de faire ça en ayant mis : t=1/x, je tombe sur t²e^-t pour ma fonction complète, alors que si je pose t=-1/x, je tombe sur du -t²e^t

et je préféré avoir le - dans l’exponentielle

Je vais voir si j'y arrive comme ça, sinon je suivrai la méthode de Capitan.

-t²e^t est intégrable par parties mais tu ne devrais pas avoir ça, tu t'es trompé dans ton changement de variable.

Il va sans dire que si je te donne le changement de variable, il faut que l'on te donne la théorie.

En fait, cette technique n'est vraiment utile que lorsque tu es en présence de composées de fonctions qui ne sont pas intégrables trivialement ou par IPP (même par IPP généralisée).

Dans ce cas, on peut poser un changement de variable (si la variable d'intégration est t définie sur I par exemple) par une autre variable u définie sur J, en posant t=f(u) (attention à l'ordre dans lequel tu poses le chgt de variable, il est souvent préférable d'écrire "ancienne variable=f(nouvelle variable)" que l'inverse, car il faut encore prouver que f est bijective de I vers J).

Un changement de variable bijectif est souvent préférable (et s'il est C1 on parlera de C1-difféomorphisme) car il te permet d'effectuer le changement de variable dans le sens qui te convient le mieux. Et après il te suffit de connaitre la formule, qui se retrouve d'ailleurs facilement par le théorème de dérivation des fonctions composées.

Ah d'accord, je vais recommencer le changement de variable et voir ce que ça donne.

Merci encore.

Je prends le relais konvicted,

Pour primitiver e^-1/x on posera x=-1/t pour se ramener à du e^t

Alors dx=(1/t²)dt et on remplace les bornes par quelque chose d'adapté, puis on fait tourner la machine.

En suivant cette méthode, j'ai réussi finalement à trouver e^-1-e^-1/hcomme résultat de mon intégrale.

Par contre, je crois que tu à oublier un - dans dx=(1/t²)dt par ce que moi je trouve plutôt dx=-(1/t²)dt

Enfin en tous cas, merci.