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geff25 Membre 20 messages
Forumeur balbutiant‚
Posté(e)

soit la fonction g(x)=x²+6-4lnx

calculer g(racine de 2)

endeduire que g est une fonction positive sur l'intervalle I .

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existence Membre 5722 messages
Forumeur alchimiste‚
Posté(e)

De façon évidente, puisque la racine est le contraire du carré :

g(√2) = (√2)² + 6 - 4 ln(√2) = 2 + 6 - 4 ln(√2) = 8 - 4 ln(√2)

Ensuite, ln(a*b) = ln(a)+ln(b) et ln(bª) = a . ln(b)

C'est-à-dire que le logarithme transforme les multiplications en additions (et les divisions en soustractions). C'est le contraire de l'exponentielle et des fonctions puissance en général.

Or √2 = 2 puissance (1/2)

Donc g(√2) = 8 - 4*(1/2)*ln(2) = 8 - 2*ln(2)

Avec la calculatrice, on trouve que 0,69 < ln 2 < 0,70

Donc 8-2*0,69 > g(√2) > 8-2*0,70

Donc 6,62 > g(√2) > 6,60

Plus simplement g(√2) est positif.

Quel est l'intervalle I ?

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geff25 Membre 20 messages
Forumeur balbutiant‚
Posté(e)

I=]0;+infini[

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existence Membre 5722 messages
Forumeur alchimiste‚
Posté(e)

Faut que tu calcules la dérivée pour faire le tableau de variation.

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geff25 Membre 20 messages
Forumeur balbutiant‚
Posté(e)

pour la dérivée on trouve 2x - 4*1/x donc 2x - 4/x on trouve sa je pense

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existence Membre 5722 messages
Forumeur alchimiste‚
Posté(e)

Cette dérivée s'annule-t-elle sur I ?

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geff25 Membre 20 messages
Forumeur balbutiant‚
Posté(e)

x 0 racine de 2 + infini

g'(x) - 0 +

g decroissante croissante

peut tu me dire si c bon stp

je ne comprend pas ce que tu veu me dire la ?

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pere_vert Membre 3856 messages
Forumeur alchimiste‚
Posté(e)

x 0 racine de 2 + infini

g'(x) - 0 +

g decroissante croissante

peut tu me dire si c bon stp

y a du progrès rtfm.gif

oui c'est bon, mais faut pas parachuter les résultats

ils doivent être justifiés

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geff25 Membre 20 messages
Forumeur balbutiant‚
Posté(e)

en fait il faut que je dérive g(x) ou g(racine 2) le resultat

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pere_vert Membre 3856 messages
Forumeur alchimiste‚
Posté(e)

Il faut surtout que tu fasses un effort de politesse quand tu demandes de l'aide sleep8ge.gif

Concernant l'exercice, tu as bien calculé la dérivée plus haut. Il faut mettre cette expression au même dénominateur, et tu reconnaîtras une identité remarquable. Ca te permet de trouver les racines de la dérivée et son signe. Ainsi, tu peux construire le tableau de variation.

La fonction passant par un minimum, ça veut dire qu'elle est supérieure à cette valeur sur tout l'intervalle de définition.

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geff25 Membre 20 messages
Forumeur balbutiant‚
Posté(e)

g ' (x) = 2 - 4/ x

donc 2x/x - 4/x

donc 2 - 4/x

c sa ??

désolé de ne pas pouvoir parler bien mai je n'ai pas tro le temps j'ai plein de chose a faire cette après midi

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geff25 Membre 20 messages
Forumeur balbutiant‚
Posté(e)

g ' (x) = 2 - 4/x = 2x/x - 4/x

( 2x/x - 4/x ) ( 2x/x + 4/x )

(2x - 4) (2x + 4)=0

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 4/2= 2

2x + 4 = 0

2x = -4

x = -4/2 = -2

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pere_vert Membre 3856 messages
Forumeur alchimiste‚
Posté(e)

t'avais écrit g'(x)=2x-4/x

donc g'(x)=(2x²-4)/x=2(x²-2)/x=2(x-racine(2))(x+racine(2))/x

g'(x)=0 ssi x=racine(2) ou x=-racine(2) or I=]0;+inf[ donc g'(x)=0 ssi x=racine(2)

Donc g'(x) est du signe de x-racine(2) car x+racine(2) et x sont positifs sur I

Finalement, g'(x) est négative sur ]0;racine(2)[, s'annule en racine(2) et est positive sur ]racine(2);+inf[

On obtient bien le tableau de variation que tu as mis avant.

De plus, Existence a calculé g(racine(2)) et a trouvé une valeur positive.

Donc g(x) est positive pour tout x appartenant à I.

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geff25 Membre 20 messages
Forumeur balbutiant‚
Posté(e)

merci beaucoup :) c'est sympa se m'aidez pour mon DM

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existence Membre 5722 messages
Forumeur alchimiste‚
Posté(e)

Graphiquement, on voit bien que g est positive. C'est la somme de x² et de 6 - 4 ln(x).

x² vaut zéro au début, mais rapidement devient grand. Tandis que 6 - 4 ln(x) part de +infini et descend, s'incurve vers 1 en prenant la valeur 6 - 4 ln(1)= 6, c'est-à-dire en étant toujours positive, et ensuite descend lentement en-dessous de 6. De ce fait, x² compense facilement et cela reste positif.

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