Math : qu'est ce que le générateur d'un groupe ?

Bonsoir,

Je voudrai savoir si quelqu'un sais ce qu'est un générateur de groupe en mathématique j'a trouvé cette définition mais je ne comprends pas trop

"Soit G un groupe. On dit qu'une partie A de G est génératrice de G, ou engendre G, si le plus petit sous-groupe de G qui contient A est G tout entier. On dit alors que :

• G est monogène s'il est engendré par un seul élément, et cyclique si en plus il est fini. Z est monogène, et Z/nZ est cyclique.
  
• G est de type fini s'il est engendré par un nombre fini d'éléments."
  

Si quelqu'un pourrai me donner des exemples sa m'aiderai grandement merci.

Fais confiance à ton intuition.

Si en multipliant tous les elements d'un groupe par tous les élements de A t'obtient tous les élements du groupe, alors A est générateur.

C'est simple: {1} est génarateur dans Z car 1 * quelquechose = quelquechose

Mais {10} n'est pas generateur, car en multipliant 10 par tous les elements de Z t'obtiendra jamais 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

De meme {3} n'est pas generateur, tu peux pas avoir 1,2

De meme {5} n'est pas generateur, tu peux pas avoir 1,2,3,4

J'y vois plus claire. Merci beaucoup ^^

Clipper a raconté n'importe quoi, il mélange groupes et anneaux.

Dans un groupe, tu n'as qu'une seule loi interne, on la note en général "*" ou "+". Si on considère le groupe Z, alors on parle de Z muni de la loi + et on ignore la loi "multiplier" (pas de multiplication donc).

Une partie A d'un groupe G engendre G si et seulement si tout élément de G peut s'écrire sous la forme d'une combinaison d'éléments de A (ou d'inverses d'éléments de A).

Par exemple, 1 est un générateur de Z, parce que tout élément de Z s'écrit sous la forme 1+1+1+1+1...+1 ou sous la forme -1-1-1....-1.

Par contre, (1,1) n'est pas un générateur du groupe Z², car tout élément de Z² ne s'écrit pas sous la forme (1,1)+(1,1)+...+(1,1) ou sous la forme -(1,1)-(1,1)-...-(1,1)

C'est là qu'on voit que clipper s'est trompé, en effet, en multipliant tous les élements d'un groupe par tous les élements de A={(1,1)} t'obtient tous les élements du groupe. D'après la définition de clipper, on devrait croire que (1,1) est un générateur du groupe Z², ce qui est évidemment faux.