n², 1/7 et preuve par 11

Bonjour,

Je voudrais vous faire partager quelques considérations mathématiques que je trouve amusantes ou pratiques.

Astuce de n²

Si on veut calculer plusieurs carrés de suite, ou bien qu'on en a oublié un, il y a un moyen rapide de les recalculer. En effet :

10² = 100

11² = 121 = 100 + 21

12² = 144 = 121 + 23

Le nombre qu'on ajoute augmente de 2 à chaque fois. On en déduit ici :

13² = 144 + 25 = 169

14² = 169 + 27 = 196

...

La très particulière fraction 1/7

Quand on calcule 1/7, on trouve 0,142857 142857...

Le nombre 142857 est presque magique. Quand on le multiplie par un nombre, les chiffres effectuent une rotation. Par exemple :

142857 x 2 = 285714

142857 x 4 = 571428

Il suffit de commencer par le bon chiffre. Pour le déterminer, il suffit de prendre successivement les chiffres par ordre croissant (1, 2, 4, 5, 7, 8). Cela fait qu'il est facile de calculer n'importe quelle fraction de 7. Par exemple :

3/7 = 0,428571 428571... (le 3ème chiffre dans l'ordre est 4)

La preuve par 11

On parle beaucoup de la preuve par 9, mais pas de la preuve par 11. Pourtant, ce n'est pas très compliqué. Dans la preuve par 9, on fait la somme des chiffres pour vérifier si le nombre obtenu est multiple de 9. Dans la preuve par 11, on fait une somme alterné, on ajoute un chiffre, on retranche le suivant, puis on ajoute etc.

Par exemple, 17005483 est-il multiple de 11 ?

-3 + 8 - 4 + 5 - 0 + 0 -7 + 1 = 5 + 1 - 6 = 0 qui est multiple de 11, alors oui, 17005483 est multiple de 11

Et 5649867 ? Voyons :

5 - 6 + 4 - 9 + 8 - 6 + 7 = -1 - 5 + 2 + 7 = -6 + 9 = 3 alors non 5649867 n'est pas multiple de 11

Et vous, aimez-vous ces astuces ?

Astuce de n²

C'est un bête cas particuler de (a+b)²=a²+b²+2ab avec b=1. Et avec la formule, pas besoin d'avoir le détail du niveau précédent, juste le résultat. Donc je vois pas trop l'intérêt de ton astuce par rapport à la formule.

La très particulière fraction 1/7

éa j'avais remarqué. éa marche avec toutes les fractions non entières sur des répétitions de chaines plus ou moins longues (c'est même la distinction entre les rationnels et les irrationnels) (mais il y a un cycle de cycle dans les produits de ces fractions)

1/13 = 0. 076923 076923

3/13 = 0. 230769 230769 

mais

2/13 = 0. 153846 153846 

6/13 = 0. 461538 461538

et evidemment

1/11 = 0. 09 09 09

10/11=0. 90 90 90

3/11 = 0. 27 27 27

9/11 = 0. 72 72 72

La preuve par 11

éa c'est marrant et je connaissait pas, ça se démontre tout bêtement en plus, parce l'identité des 2 rangs successifs des puissances de 10 de 11, joli. Et ça marche avec le 11 de toutes les bases (comme la preuve par 9 marche en preuve par (n-1) dans la base n, d'ailleurs)

Astuce de n²

C'est un bête cas particuler de (a+b)²=a²+b²+2ab avec b=1. Et avec la formule, pas besoin d'avoir le détail du niveau précédent, juste le résultat. Donc je vois pas trop l'intérêt de ton astuce par rapport à la formule.

Effectivement, si on connait la formule, c'est facile à retrouver. Mais là, pas besoin de formule. Faut juste se souvenir de "+2".

La très particulière fraction 1/7

éa j'avais remarqué. éa marche avec toutes les fractions non entières sur des répétitions de chaines plus ou moins longues (c'est même la distinction entre les rationnels et les irrationnels) (mais il y a un cycle de cycle dans les produits de ces fractions)

Mais c'est le seul nombre que je connaisse qui donne cela pour tous les multiples.

La preuve par 11

éa c'est marrant et je connaissait pas, ça se démontre tout bêtement en plus, parce l'identité des 2 rangs successifs des puissances de 10 de 11, joli. Et ça marche avec le 11 de toutes les bases (comme la preuve par 9 marche en preuve par (n-1) dans la base n, d'ailleurs)

Je n'ai pas compris ton explication. Personnellement, je l'explique par les modulo.

 

Effectivement, si on connait la formule, c'est facile à retrouver. Mais là, pas besoin de formule. Faut juste se souvenir de "+2".

Et du contexte. Et puis la formule, on l'apprends en quoi, en troisième ? 

Mais c'est le seul nombre que je connaisse qui donne cela pour tous les multiples.

faudrais essayer avec d'autres nombres, pour la division par 13, y'a que 2 schémas qui s'alternent. Y'a peut être une propriété des nombres premiers à rechercher

Je n'ai pas compris ton explication. Personnellement, je l'explique par les modulo.

C'est juste que 11, c'est deux 1 consécutifs (donc avec une décalage d'une puissance de 10). ce que tu annule en sommant tantot le premier en positif, tantot le second en négatif, ou inversement, quand tu fais ton calcul. Après, c'est intuitif, je l'ai pas posé formellement

 

Et du contexte.  Et puis la formule, on l'apprends en quoi, en troisième ?

Ah ben oui, mais se la poser dans la tête c'est un peu compliqué.

faudrais essayer avec d'autres nombres, pour la division par 13, y'a que 2 schémas qui s'alternent. Y'a peut être une propriété des nombres premiers à rechercher 

Je me souviens avoir fait un recherche informatique de nombre comme 142857, et je n'en avais pas trouvé. Pourtant, j'avais fait tourner la recherche assez loin. Si tu en trouves d'autres, cela peut être intéressant. Oui, sans doute une histoire de nombres premiers et de facteurs de décomposition.

C'est juste que 11, c'est deux 1 consécutifs (donc avec une décalage d'une puissance de 10). ce que tu annule en sommant tantot le premier en positif, tantot le second en négatif, ou inversement, quand tu fais ton calcul. Après, c'est intuitif, je l'ai pas posé formellement 

Ok.