Trous noirs : un point mathématique de densité infinie ?

C'est un argument qui nous dit que la masse sera finie, mais pas que la densité sera finie.

On peut, mathématiquement, imaginer avoir une masse répartie sous la forme d'un "pic de dirac" : toute la masse (finie) est en un point, la densité est alors infinie en ce point.

Tout à fait. D'où l'importance du dénominateur, c'est-à-dire sur quel espace on évalue la dite densité.

L'exposé de Gallium concernait la relativité restreinte, c'est-à-dire que selon le mouvement du référentiel d'observation, on observe des choses différentes. Cela dit, les trous noirs sont plutôt une question de relativité générale, que je vais tenter d'expliquer ici.

Pour cela, on peut partir de la gravité. Selon la loi de Newton, normalement, les objets sont attirés proportionnellement à leurs masses. D'autre part, plus les objet sont loin, moins ils sont attirés. Mais, comme pour déplacer un objet, il faut une force d'autant plus grand que l'objet est massif, en fait, la gravité accélère tous les objets à la même vitesse. Par exemple, si on est sur Terre et qu'on observe deux objets tomber, l'un étant lourd et l'autre léger, on verra la chose suivante. Si les objets ont les mêmes propriétés aérodynamiques, ils vont tomber à la même vitesse. Une boule de plastique tombera aussi rapidement qu'une boule de plomb. Alors on peut dire que c'est équivalent de considérer qu'en fait les objets ne subissent pas de force "personnellement", mais que localement, la Terre accélère vers le haut. Les objets tomberaient alors au sol parce qu'ils ne sont au contraire pas accélérés. C'est une déformation de l'espace-temps. Or c'est amusant, parce que cette déformation est toujours "vers le haut" tout autour de la Terre.

Les photons n'ont pas de masse, donc on ne peut pas les "attirer" avec la force de la gravité. Mais si on considère que l'espace-temps est déformé, c'est-à-dire que le référentiel est accéléré, alors on arrive à une "déviation" des photons. Cela permet d'expliquer que la lumière qui frôle la Terre soit déviée et que la lumière qui frôle le soleil aussi (effet Shapiro).

Dans le cas d'un trou noir, l'effet est tel que les photons qui viennent de l'objet lui-même reviennent quasiment toujours vers l'objet. Ils font une courbe et reviennent à l'objet. On peut imaginer que les photons qui peuvent sortir doivent partir exactement à la perpendiculaire de la "pente" de l'espace-temps, alors ils ne seraient dévie ni d'un côté ni de l'autre. Puisqu'ils sont à une vitesse constante (la vitesse de la lumière), ils ne retombent pas, alors j'imagine qui peuvent sortir de cette emprise. En tout cas, c'est le seul moyen que je vois.

En fait, on est encore assez proche de la notion de force de gravité, en considérant que les photons aient une petite masse mais que leur vitesse soit toujours la vitesse maximum et quelque soit le référentiel. Maintenant, la question se pose de savoir si la déformation de l'espace-temps du fait d'un trou noir soit tellement importante qu'il se passe des choses encore plus bizarres. C'est là que personnellement, je suis dubitatif.

La relativité générale semble être une approximation étant donné qu'elle suppose la continuité de l'espace et de la matière, ce qui est contradictoire avec la mécanique quantique, mais comme à cette échelle, l'effet de la gravité est très faible, on s'en accommode. L'avantage de la relativité générale est de permettre d'expliquer la déviation des photons et d'être compatible avec la relativité restreinte, dont une conséquence notable est qu'il n'y a pas d'universalité du temps, c'est-à-dire la notion d'instant ne peut pas être appliqué à l'espace tout entier, parce que les durées sont des notions relatives aux observateurs. Cela dit, sur Terre, on ne se déplace pas vite, donc ces effets sont très faibles.

Désolé de revenir rapidement à cette notion d'infiniment petit, mais il serait erroné de dire que les mathématiciens ont banni cette notion d'infiniment petit.

En analyse, un infinitésimal est une quantité infiniment petite ou plus exactement le résultat d'une quantité discrète ayant fait l'objet d'une subdivision à l'infini.

Ah ? Et dans le cas d'un volume infiniment petit, quelle est la variable ?

La variable pourrait être le temps. Et en effet, il s'agirait d'une fonction : l'expression du volume en fonction de la variable temps. Dans un repère repère plan (O;T;V), la limite en +l'infini de cette fonction devrait tendre vers 0, mais on observera une asymptôte d'équation V=0.

Un point mathématique de densité infinie...

Première absurdité... un point n'a pas de dimension donc pas de volume. Donc on ne peut pas parler de densité car la masse au centre d'un trou noir ne serait tout simplement pas contenue dans un volume.

Au mieux alors on pourrait dire que le trou noir n'est pas contenu dans l'espace... qu'il forme ou forre un trou dans l'espace et de ce fait n'est pas inclus dans l'espace... qu'il se logerait entre plusieurs quantons d'espace si l'espace n'est pas continu.

On pourrait examiner n'importe quel masse, pas seulement un trou noir, et en venir à la même conclusion... en ce sens qu'on considère que tout ce qui existe inclus au minimum un point d'espace... et ainsi la plus petite masse possible aurait au minimum un point en son centre et qu'en ce point on trouverait une densité infinie car divisée par 0 de volume...

Pour ce qui serait de 3,14159 (Pi)... n'est-il pas dit aussi que la limite spatiale se situe à la limite de Planck! Dans ce cas une dimension de longueur ne pourrait pas être plus petite que celle-ci, ce qui obligerait donc à limiter le nombres de décimales suivant le point en fonction des unités utilisées à 10 EE -36 mètres.

Y aurait-il nécessité de calculer une dimension de longueur plus petite que celle-ci?

Est-il réaliste de vouloir savoir avoir une précision de 10 EE -1500000 mètres la longueur d'une circonférence dans ces conditions?

La vraie question serait de savoir si ça existe concrètement un point... ce serait comme se demander si rien peut contenir quelquechose... :blush:

Désolé de revenir rapidement à cette notion d'infiniment petit, mais il serait erroné de dire que les mathématiciens ont banni cette notion d'infiniment petit.

En analyse, un infinitésimal est une quantité infiniment petite ou plus exactement le résultat d'une quantité discrète ayant fait l'objet d'une subdivision à l'infini.

La notion d'infiniment petit a été utilisée, historiquement, aux début de l'analyse.

Les mathématiciens ont ensuite chassé ce concept, car ils trouvaient qu'ils manquaient de rigueur.

Actuellement, en faculté de mathématique, les infiniment petits ne sont pas enseignés en analyse.

Les infiniment petits posent plusieurs problèmes :

• Qui dit infiniment petits dit aussi infiniment grands (car 1/epslion est infiniment grand si epsilon est infiniment petit).
  
• 0 n'est pas infiniment grand. Si n n'est pas infiniment grand, alors n+1 n'est pas infiniment grand. Conclusion : il n'existe pas d'entiers d'infiniment grands...
  
• S'il existait un réel infiniment grand, sa partie entière plus 1 devrait aussi être infiniment grande (car encore plus grande). Donc il devrait exister un entier infiniment grand, ce qui contredit ce qui précède...
  
• Si epsilon est infiniment petit, alors 2*epsilon ou 4*epsilon devrait encore être infiniment petit. Or, il y a des contre exemple (j'en ai donné un précédemment, il suffit de considérer la borne sup de l'ensemble des infiniment petits).
  

Certains physiciens utilisent des infiniment petits, mais il ne s'agit que d'une intuition utile pour faire les calculs. Les infiniment petits des physiciens n'ont aucun fondement mathématique rigoureux.

La variable pourrait être le temps. Et en effet, il s'agirait d'une fonction : l'expression du volume en fonction de la variable temps. Dans un repère repère plan (O;T;V), la limite en +l'infini de cette fonction devrait tendre vers 0, mais on observera une asymptôte d'équation V=0.

Un point mathématique de densité infinie...

Première absurdité... un point n'a pas de dimension donc pas de volume.

Ben si...

Le volume est une mesure sur l'espace R^3 (ou sur quelque chose qui ressemble).

Le volume permet de mesurer presque tous les objets en 3D que tu pourrais construire (il faut d'utiliser l'axiome du choix pour construire un non-mesurable).

Le point, qui se construit sans l'axiome du choix, a un volume : zéro.

Certains physiciens utilisent des infiniment petits, mais il ne s'agit que d'une intuition utile pour faire les calculs. Les infiniment petits des physiciens n'ont aucun fondement mathématique rigoureux.

Je suis parfaitement d'accord. Mais les physiciens ne sont jamais autant précis que les mathématiciens, cela serait peut-être dû à la recherche d'une certaine concrétisation. Mais je ne doute pas que dans les départements de physique de certaines fac on passe rapidement sur cette notion d'infiniment petit, mais en limitant son domaine d'application. On s'en servirait plutôt comme un raccourci, et bien évidemment quand la rigueur n'est pas très demandée ... mais néanmoins utilisée en physique.

Qui dit infiniment petits dit aussi infiniment grands (car 1/epslion est infiniment grand si epsilon est infiniment petit).

A ce propos, il pourrait y avoir certaines confusions : l'infiniment petit dont je parlais, c'est lorsqu'une valeur tend vers zéro sans jamais l'atteindre, principe d'une asymptote horizontale dans un repère plan. L'infiniment petit dont tu parles, ce serait plutôt ce qui tend vers -l'infini, et ce n'est pas la même chose.

Dans ce cas, ce n'est plus un volume, mais une fonction de type temps -> volume

Pour revenir à cette histoire de trous noirs, on a un volume qui n'est pas nul, mais qui s'approche indéfiniment de 0 en fonction du temps. Et en physique théorique, on peut alors dire que le volume devient infiniment petit car il ne peut être négatif (ce n'est pas tout à fait juste, mais c'est l'approche qu'on peut le mieux vulgariser si on veut que ça soit compréhensible sur le forum pour les non-initiés).

La variable pourrait être le temps. Et en effet, il s'agirait d'une fonction : l'expression du volume en fonction de la variable temps. Dans un repère repère plan (O;T;V), la limite en +l'infini de cette fonction devrait tendre vers 0, mais on observera une asymptôte d'équation V=0.

Dans ce cas, ce n'est plus un volume, mais une fonction de type temps -> volume

Je plussois.

D'ailleurs, je crois que ce n'est pas vrai qu'il s'agisse d'un infinitésimal. Par exemple, en thermodynamique, on utilise la notion dx ou d quelque chose pour parler d'un bout d'espace suffisamment petit pour parler de ce qui se passe au niveau du fluide à un endroit donné, et suffisamment grand pour avoir une moyenne du mouvement des particules, parce que sinon le mouvement du fluide serait assez aléatoire du fait du mouvement individuel aléatoire des particules. Il ne s'agit donc pas d'un infiniment petit.

Mais la notion est utilisée pour après faire des calculs, qui d'un point de vue mathématique sont des dérivations et des intégrations. C'est-à-dire que l'on fait une approximation en considérant que le milieu est continu et que la distribution de matière est continue (et dérivable), et aussi que le temps est continu. De là on en déduit des formules, qui décrivent effectivement ce qui se passe quand on observe à l'échelle expliquée plus haut (ni trop grand ni trop petit).

Alors, bien entendu, les notations que les physiciens utilisent sont considérées comme non rigoureuse par les mathématiciens, mais je crois que l'essentiel n'est pas là. Ce qu'il y a c'est que ces infiniment petit en physique sont en fait des tous petits bouts de taille epsilon, et que les physiciens font l'approximation de la supposition d'un milieu continu. Je ne sais pas trop ce qu'on peut en dire d'un point de vue mathématique. Peut-être qu'on pourrait calculer une marge d'erreur probabiliste.

A ce propos, il pourrait y avoir certaines confusions : l'infiniment petit dont je parlais, c'est lorsqu'une valeur tend vers zéro sans jamais l'atteindre, principe d'une asymptote horizontale dans un repère plan. L'infiniment petit dont tu parles, ce serait plutôt ce qui tend vers -l'infini, et ce n'est pas la même chose.

Non, l'infiniment petit dont je parle est proche de 0, et pas de -infini.

''...Le point, qui se construit sans l'axiome du choix, a un volume : zéro...''

Un point n'a pas de volume... il n'a pas de dimension. Il n'a ni longueur, ni largeur ni profondeur... or pour être un volume il doit posséder 3 dimensions d'espace... é moins qu'un point devienne n'importe quoi parce qu'on aurait pas le choix d'en faire quelque chose de déterminé...

En quoi ce qui n'aurait pas de volume pourrait-il contenir ce qui en aurait (masse)... un point n'a point d'espace, il en est l'abstraction même...

Dites-moi Grenouille Verte... un point ne serait-il point rien maintenant?

Sur papier on pourrait donc aussi dire que si on construit Dieu sans l'axiôme du choix alors il existerait comme ce qui n'existerait pas ... qu'il serait bel et bien là, c'est à dire nulle part et nulle part ailleurs...

Un point n'est pas un espace vide... c'est une absence d'espace. Comment feriez-vous pour localiser ce qui aurait du volume si vous n'avez pas d'espace pour le mettre dans ces conditions. Sans doute en prenant du temps... ça n'a pas de volume le temps...

Si on parle de volume minimum alors on ne parle pas d'un point... on parle d'un volume, aussi petit qu'il serait. Jolie confusion dans les termes... :blush:

Pourquoi ne pas dire que l'espace lui-même serait ce que vous appellez ''masse''... on pourrait aussi construire le trou noir de cette façon sans l'axiôme du choix...

''...Le point, qui se construit sans l'axiome du choix, a un volume : zéro...''

Un point n'a pas de volume... il n'a pas de dimension. Il n'a ni longueur, ni largeur ni profondeur... or pour être un volume il doit posséder 3 dimensions d'espace... é moins qu'un point devienne n'importe quoi parce qu'on aurait pas le choix d'en faire quelque chose de déterminé...

En fait non. Un point est un objet de dimension 0.

Le volume est une mesure pour un espace de dimension 3. Tous les objets mesurables de dimension <3 sont de volume 0.

Ainsi, un point, une droite, un cercle, un segment ou un triangle sont des ensembles de mesure nulle.

Si on parle de volume minimum alors on ne parle pas d'un point... on parle d'un volume, aussi petit qu'il serait. Jolie confusion dans les termes... :blush:

Ben non, un volume peut être nulle.

Par exemple, le volume de l'ensemble vide est 0.

Le volume d'une droite ou d'un point est 0.

Je pense que le génie voulait parler du volume au sens un bout d'espace, pas de la mesure de volume, qui effectivement peut s'appliquer à un point. Le résultat "égal à zéro" exprime l'absence de volume.

J'ai une brique avec moi... j'ai donc une maison... c'est juste qu'elle est de dimension 0...

C'est ce que vous voulez me faire croire cher Grenouille Verte...

Si je n'ai pas d'argent alors je suis millionaire... c'est juste que c'est un million de dimension 0... c'est vrai puisque j'ai un million de plus que si j'avais une dette de un million... j'ai donc un million sur papier mais pas en papier...

On peut faire dire n'importe quoi à n'importe quoi vous savez... ça reste n'importe quoi quand même...

Ce qui n'est pas est quand même... c'est juste de dimension 0...

Un ensemble vide... ça n'existe pas... c'est un objet tout simplement.

Lorsque vous êtes seul... êtes-vous ensemble pour l'être dîte-moi?

"Le Génie", arrête la cocaïne... :blush:

On pourrait le faire ensemble...

Dans l'ensemble, le faire seul serait vide de sens... de sens commun évidemment. :blush:

Cela dit, si on est seul, on peut penser aux autres qui sont seul, donc en fait, on est plusieurs, et donc on est pas seul.  :blush:

Mais j'ai compris ce que voulais dire Le Génie, il a juste donné des illustrations de la question de la mesure nulle.

''... Cela dit, si on est seul, on peut penser aux autres qui sont seul, donc en fait, on est plusieurs, et donc on est pas seul. ...'''

étre seul ne veut pas dire qu'on est le seul à l'être...

Malheureusement, une pensée n'est pas une personne cher Existence, penser à quelqu'un n'est pas comme d'être avec lui ... vous êtes alors seul avec vos pensées et c'est tout...

Sinon je n'aurais qu'à penser à Dieu pour que nous soyons ensemble lui et moi... :blush:

Haaaaaa!! Si je pouvais croquer dans tous les fruits de mon imagination...

Malheureusement, une pensée n'est pas une personne cher Existence, penser à quelqu'un n'est pas comme d'être avec lui ... vous êtes alors seul avec vos pensées et c'est tout... 

Certes, mais la solitude est une construction subjective, elle n'est pas déterminée par la présence ou l'absence physique des autres. 

Sinon je n'aurais qu'à penser à Dieu pour que nous soyons ensemble lui et moi...  :blush:

Je pense aussi que Dieu est une construction subjective.  

Haaaaaa!! Si je pouvais croquer dans tous les fruits de mon imagination... 

lol

''...Certes, mais la solitude est une construction subjective, elle n'est pas déterminée par la présence ou l'absence physique des autres...''

Vous n'êtes pas du tout objectif cher Existence... être seul est une réalité dans le sens ou il n'y a personne à votre portée dans l'immédiat, je suis seul dans l'espace-temps que j'occupe et c'est une réalité physique, donc il n'y a rien de subjectif dans ce qui s'avère être un fait...

étre seul ne veut pas dire être LE seul également... il y a une différence entre les 2 expressions... vous pouvez être seul sans être le seul à l'être...

Ce qui fait un ensemble est la présence d'un minimum de deux objets... le fait de la pluralité... sinon ça n'a pas de fin et pas de sens.

Si j'ai 1 objet... j'ai n'ai pas un ensemble de 1 objet... de même que si j'ai une collection ne contenant rien alors je n'ai pas de collection...

Ce qui est subjectif en fait, c'est l'ensemble lui-même... :blush: