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Tenseur des contraintes


MasterGoat68

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Nouveau, 25ans Posté(e)
MasterGoat68 Nouveau 5 messages
Baby Forumeur‚ 25ans‚
Posté(e)

Bonjour à tous,

A partir de ce schéma je dois établir le tenseur des contraintes mais j'hésite entre plusieurs solutions:

2020612138_Capturedcran2022-10-08002736.png.caf6e44bde1891c885f8d5a825aca662.png

 

\begin{bmatrix}
 1000& -200 &0 \\ 
-200 &-400  & 0\\ 
 0& 0 & -400
\end{bmatrix}

ou

\begin{bmatrix}
500 & -100 & 0\\ 
-100 &-200 & 0\\ 
 0&0  & -200
\end{bmatrix}

ou

\begin{bmatrix}
1000 &  -100& 0\\ 
 -100& -400 & 0\\ 
 0& 0 & -400
\end{bmatrix}

Instinctivement j'aurais multiplier par deux la diagonale donc le tenseur n°3 mais j'ai aucune preuve scientifique.

Logiquement j'aurais rien multiplier par deux  donc le tenseur n°2

Enfin bref je suis perdu et j'ai trouvé aucun exercice similaire en ligne, il y en a un dans mon livre mais pas de corrigé donc même problème 

L'établissement de ce tenseur est primordiale car je dois calculer les valeurs propres et faire les cercles de Mohr, je maitrise ces deux notions car je les ai vu en cours mais le tenseur était toujours donné.

 Pouvez vous m'aider et me donner le vraiment raisonnement à avoir..

Bonne soirée,

Damien S.

 

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Invité Paléocène
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Je n'arrive même pas à comprendre s'il s'agit de mathématiques, physique, technologie ou encore informatique. :|

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Nouveau, 25ans Posté(e)
MasterGoat68 Nouveau 5 messages
Baby Forumeur‚ 25ans‚
Posté(e)

Bonjour,

Désolé je n'arrive pas à mettre en forme correctement les tenseurs sur le site, c'est de la mécanique des solides:

                   1000    -200    0

Tenseur 1=   -200    -400    0

                    0          0   -400    

 

                    500    -100    0

Tenseur 2=   -100    -200    0

                    0          0   -200 

 

                   1000    -100    0

Tenseur 3=   -100    -400    0

                   0          0   -400    

 et je dois à partir du  schéma du cube ci-dessous établir le tenseur des contraintes mais j'hésite entre plusieurs solutions que j'ai présenté au-dessus.

Bonne soirée 

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Invité Jim69
Invités, Posté(e)
Invité Jim69
Invité Jim69 Invités 0 message
Posté(e)

Je n’ai pas fait meca. Le schéma du cube ne me parle pas. Je ne suis pas sûr qu’on ait quelqu’un ayant le bon profil pour t’aider ici.

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Membre, 57ans Posté(e)
SpookyTheFirst Membre 3 880 messages
Maitre des forums‚ 57ans‚
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Il y a 10 heures, MasterGoat68 a dit :

Bonjour à tous,

A partir de ce schéma je dois établir le tenseur des contraintes mais j'hésite entre plusieurs solutions:

2020612138_Capturedcran2022-10-08002736.png.caf6e44bde1891c885f8d5a825aca662.png

Bon, perso, j’y connais rien… mais je répond quand même…:D

1000 -100 0

-100 -400 0

0       0 -400

en effet le shéma indique 2 contraintes de cisaillement de 100 MPa, qui s’annulent.

 * S12=-100 (face 1 direction -x2)

 * S21=-100 (face 2 direction x1), attention piège la fléche est dessinée sur la mauvaise face pour calculer le signe.

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Membre, 77ans Posté(e)
hybridex Membre 10 059 messages
Maitre des forums‚ 77ans‚
Posté(e)
Il y a 13 heures, MasterGoat68 a dit :

Bonjour à tous,

A partir de ce schéma je dois établir le tenseur des contraintes mais j'hésite entre plusieurs solutions:

2020612138_Capturedcran2022-10-08002736.png.caf6e44bde1891c885f8d5a825aca662.png

 

\begin{bmatrix}
 1000& -200 &0 \\ 
-200 &-400  & 0\\ 
 0& 0 & -400
\end{bmatrix}

ou

\begin{bmatrix}
500 & -100 & 0\\ 
-100 &-200 & 0\\ 
 0&0  & -200
\end{bmatrix}

ou

\begin{bmatrix}
1000 &  -100& 0\\ 
 -100& -400 & 0\\ 
 0& 0 & -400
\end{bmatrix}

Instinctivement j'aurais multiplier par deux la diagonale donc le tenseur n°3 mais j'ai aucune preuve scientifique.

Logiquement j'aurais rien multiplier par deux  donc le tenseur n°2

Enfin bref je suis perdu et j'ai trouvé aucun exercice similaire en ligne, il y en a un dans mon livre mais pas de corrigé donc même problème 

L'établissement de ce tenseur est primordiale car je dois calculer les valeurs propres et faire les cercles de Mohr, je maitrise ces deux notions car je les ai vu en cours mais le tenseur était toujours donné.

 Pouvez vous m'aider et me donner le vraiment raisonnement à avoir..

Bonne soirée,

Damien S.

 

C'est la première fois que j'entends parler de tenseur des contraintes. Je vais suur wikipedia qui m'explique comment on le construit

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_contraintes

Citation

Construction du tenseur

Dans le cas de certaines sollicitations simples (traction ou compression uniaxiale, flexion, torsion), la contrainte peut être représentée par un simple nombre (scalaire). Dans le cas général, on peut définir une contrainte équivalente (ou effective) qui est aussi un scalaire, mais qui ne définit que très incomplètement l'état de contrainte. Pour le décrire complétement il faut utiliser un tenseur d'ordre 2 ou, dans un référentiel donné, une matrice 3×3.

Prenons une base ( e 1 → , e 2 → , e 3 → ) {\displaystyle ({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})} ({\vec  {e_{1}}},{\vec  {e_{2}}},{\vec  {e_{3}}}) et un point M de la pièce. Considérons un cube de matière autour de M, d'arête infinitésimale dx = a, et dont les arêtes sont parallèles aux axes du repère.

220px-Numerotation_faces_cube.png
 
Numérotation des faces du cube.

Numérotons ses faces :

les faces i et −i sont les faces normales à e i → {\displaystyle {\vec {e_{i}}}} {\vec  {e_{i}}}, en partant du centre du cube, e i → {\displaystyle {\vec {e_{i}}}} {\vec  {e_{i}}} pointe vers i, la face −i étant la face opposée.

Nous ne considérons que les faces numérotées positivement. En effet si l'on considère que le milieu reste globalement au repos (ou non accéléré), les forces sur des faces opposées sont elles aussi opposées (dans la limite des très petits volumes).

220px-Tenseur_des_contraintes_generalise
 
Indices des composantes du tenseur.

Sur la face j s'exerce un vecteur-force F → j {\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{j}} {\vec  {{\mathrm  {F}}}}_{j} qui a trois composantes :

F → j = ( F 1 j F 2 j F 3 j ) {\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{j}={\begin{pmatrix}F_{1j}\\F_{2j}\\F_{3j}\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{j}={\begin{pmatrix}F_{1j}\\F_{2j}\\F_{3j}\end{pmatrix}}},

Fij étant la composante selon e i → {\displaystyle {\vec {e_{i}}}} {\vec  {e_{i}}} du vecteur-force s'exerçant sur la face j.

La surface de chaque facette étant a2, on peut définir neuf composantes σij homogènes à des contraintes :

σ i j = F i j a 2 {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {F_{ij}}{a^{2}}}} {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {F_{ij}}{a^{2}}}}

On décrit donc l'état de contrainte par le tenseur :

T ( M ) = ( σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ) {\displaystyle \mathrm {T} (\mathrm {M} )={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{pmatrix}}} {\displaystyle \mathrm {T} (\mathrm {M} )={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{pmatrix}}}

et j'essaie d'appliquer

On me dit qu'on ne s'intéresse qu'aux faces positives, ici ce sont les faces visibles du cube

Première colonne                      Deuxième colonne                   Troisième colonne

Face orthogonale à X1               Face orthogonale à X2             Face orthogonale à X3

 

 

sur X1    500                                           0                                        0                             

sur X2    100                                         200                                      0

sur X3    200                                            0                                     -200

 

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Membre, 57ans Posté(e)
SpookyTheFirst Membre 3 880 messages
Maitre des forums‚ 57ans‚
Posté(e)
il y a 30 minutes, hybridex a dit :

C'est la première fois que j'entends parler de tenseur des contraintes. Je vais suur wikipedia qui m'explique comment on le construit

https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_contraintes

et j'essaie d'appliquer

On me dit qu'on ne s'intéresse qu'aux faces positives, ici ce sont les faces visibles du cube

Première colonne                      Deuxième colonne                   Troisième colonne

Face orthogonale à X1               Face orthogonale à X2             Face orthogonale à X3

 

 

sur X1    500                                           0                                        0                             

sur X2    100                                         200                                      0

sur X3    200                                            0                                     -200

 

Mais c’est fô…:D le tenseur est symmétrique pour commencer… en plus je suppose que si tu as 500 d’un cote et 500 de l’autre t’as 1000 au final, pareil pour les autres axes, tes signes sont bons (si on le problème n’est pas posé dans une optique géologique, sinon faut inverser…).
Comme toi, wiki et 2,3 autres articles….

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Nouveau, 25ans Posté(e)
MasterGoat68 Nouveau 5 messages
Baby Forumeur‚ 25ans‚
Posté(e)

Merci à tous pour votre implication! 

Il y a 2 heures, hybridex a dit :

on ne s'intéresse qu'aux faces positives

C'est cette phrase que je ne savais pas ! Du moins j'en étais pas sûr. D'habitude les faces négative ne sont pas représenté mais dans cette exo c'était le cas donc ça m'a mis un gros doute..

Merci pour l'aide précieuse !

 

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Membre, 77ans Posté(e)
hybridex Membre 10 059 messages
Maitre des forums‚ 77ans‚
Posté(e)
il y a 13 minutes, MasterGoat68 a dit :

Merci à tous pour votre implication! 

C'est cette phrase que je ne savais pas ! Du moins j'en étais pas sûr. D'habitude les faces négative ne sont pas représenté mais dans cette exo c'était le cas donc ça m'a mis un gros doute..

Merci pour l'aide précieuse !

 

T'emballes pas, n'oublies pas que je n'y connais rien, alors vérifie bien ce que je raconte

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Membre, 77ans Posté(e)
hybridex Membre 10 059 messages
Maitre des forums‚ 77ans‚
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Il y a 2 heures, SpookyTheFirst a dit :

Mais c’est fô…:D le tenseur est symmétrique pour commencer… en plus je suppose que si tu as 500 d’un cote et 500 de l’autre t’as 1000 au final, pareil pour les autres axes, tes signes sont bons (si on le problème n’est pas posé dans une optique géologique, sinon faut inverser…).
Comme toi, wiki et 2,3 autres articles….

Tu as raison, le tenseur doit être symétrique. Mais on ne doit tenir compte que des faces positives et de plus les pressions de 500 MPa sont de sens opposées elles s'annuleraient par addition.

Je crois que mon erreur vient du fait que je lis mal le schéma et je tiens compte de pressions s'exerçant sur des faces cachées!

Si je lis le schéma en considérant que les flèches qui ne sont pas issues du centre des faces ou ne pointent pas vers le centre d'une face concernent des pressions sur faces cachées

le tenseur devient

Première colonne                Deuxième colonne                 Troisième colonne
Face orthogonale à X1         Face orthogonale à X2          Face orthogonale à X3

sur X1 500                                                 0                                             0

sur X2     0                                             200                                              0

sur X3     0                                                 0                                         -200

 

Pour avoir autre chose que des 0 en dehors de la diagonale, il faudrait que les pressions sur les faces ne soient pas orthogonales à la face, les flèches seraient en biais ou bien il y aurait des flèches sur plusieurs axes pour la même face (cas ou le cube serait posé en biais, par exemple)

 

 

 

 

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Membre, 57ans Posté(e)
SpookyTheFirst Membre 3 880 messages
Maitre des forums‚ 57ans‚
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il y a 52 minutes, hybridex a dit :

Tu as raison, le tenseur doit être symétrique. Mais on ne doit tenir compte que des faces positives et de plus les pressions de 500 MPa sont de sens opposées elles s'annuleraient par addition.

Je crois que mon erreur vient du fait que je lis mal le schéma et je tiens compte de pressions s'exerçant sur des faces cachées!

Toutes les forces s’annulent par définition, et pour toutes les faces.
Mais je vois mon erreur d’un facteur 2, alors je corrige en effet:

500    -100     0

-100    -200     0

0          0        -200    

S22=S33 comme sur le shéma.
Pas certain pour le signe de S12 (=S21)…

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MasterGoat68 Nouveau 5 messages
Baby Forumeur‚ 25ans‚
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Il y a 2 heures, hybridex a dit :

T'emballes pas, n'oublies pas que je n'y connais rien, alors vérifie bien ce que je raconte

J'ai regardé le lien wikipedia que vous avez joint et effectivement ils prennent pas en compte les faces dites "négative" donc 

 

il y a 16 minutes, SpookyTheFirst a dit :

500    -100     0

-100    -200     0

0          0        -200    

est le bon tenseur

le signe de S12 est bon car S12 signifie la contrainte de la face ayant pour normal x1 suivant l'axe x2 or celle ci est suivant -x2 donc -100

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Membre, 57ans Posté(e)
SpookyTheFirst Membre 3 880 messages
Maitre des forums‚ 57ans‚
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il y a une heure, MasterGoat68 a dit :

J'ai regardé le lien wikipedia que vous avez joint et effectivement ils prennent pas en compte les faces dites "négative" donc 

 

est le bon tenseur

le signe de S12 est bon car S12 signifie la contrainte de la face ayant pour normal x1 suivant l'axe x2 or celle ci est suivant -x2 donc -100

Cool, reste à maîtriser le cercle de Mohr maintenant 😃

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Membre, 77ans Posté(e)
hybridex Membre 10 059 messages
Maitre des forums‚ 77ans‚
Posté(e)
Il y a 2 heures, MasterGoat68 a dit :

J'ai regardé le lien wikipedia que vous avez joint et effectivement ils prennent pas en compte les faces dites "négative" donc 

 

est le bon tenseur

le signe de S12 est bon car S12 signifie la contrainte de la face ayant pour normal x1 suivant l'axe x2 or celle ci est suivant -x2 donc -100

Pour ma curiosité, je ne vois pas quelle flèche justifie le S21 = -100, la seule contrainte que je vois s'appliquer  sur le coté droit du cube est la contrainte horizontale de  -200 MPa

Je n'arrive pas à discerner à qu'elles faces s'appliquent les deux contraintes de 100MPa

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Nouveau, 25ans Posté(e)
MasterGoat68 Nouveau 5 messages
Baby Forumeur‚ 25ans‚
Posté(e)
Il y a 2 heures, hybridex a dit :

Pour ma curiosité, je ne vois pas quelle flèche justifie le S21 = -100, la seule contrainte que je vois s'appliquer  sur le coté droit du cube est la contrainte horizontale de  -200 MPa

Une des contraintes est sur la face avant et l'autre de gauche  

Il y a 4 heures, SpookyTheFirst a dit :

Cool, reste à maîtriser le cercle de Mohr maintenant

ça c'est maitrisé mais le rendu est pas très beau car deux valeurs principales sont très proches

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Membre, 77ans Posté(e)
hybridex Membre 10 059 messages
Maitre des forums‚ 77ans‚
Posté(e)
il y a 25 minutes, MasterGoat68 a dit :

Une des contraintes est sur la face avant et l'autre de gauche  

Je pourrais  admettre la S12 de la face avant, je me suis planté sur le signe de la S22, mais si on prend comme vous le faites la face droite comme S2, je ne vois pas comment on peut lui appliquer une contrainte de la face gauche.

Mais je ne veux pas vous ennuyer, ce n'est pas grave si je ne comprends pas

Bonne soirée

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Membre, 57ans Posté(e)
SpookyTheFirst Membre 3 880 messages
Maitre des forums‚ 57ans‚
Posté(e)
Il y a 7 heures, hybridex a dit :

Je pourrais  admettre la S12 de la face avant, je me suis planté sur le signe de la S22, mais si on prend comme vous le faites la face droite comme S2, je ne vois pas comment on peut lui appliquer une contrainte de la face gauche.

Mais je ne veux pas vous ennuyer, ce n'est pas grave si je ne comprends pas

Bonne soirée

Si, c’est grave, tu peux pas rester comme ca hybridex…:D

C’est juste une convention, si c’est écrasé (compression pure) c’est négatif, sinon c’est positif (traction pure), à noter que d’après wiki en géologie ils ont la convention inverse (normal ils ont toujours de la compression, ca doit les gaver le -)….

S12 c’est du cisaillement pur.

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