Résolution équation du Troisième degré

Bonjours, je viens de rentrer en prépa et notre prof de math m'a donné un DM avec l'exo suivant:

1) Trouver les racines carrées complexes de 5 - 12i

Là, pas de problèmes, je trouve comme solutions r₁= 3 - 2i et r₂= -3 +2i

2) On considère l'équation (E) z³ - (1 + 2i)z² + 3(1 + i)z - 10(1 + i)

a) Montrer que (E) admet une racine imaginaire pure.

b) Résoudre alors (E) dans C.

Pour la question a), j'ai remplacer "z" par "iy" puis j'ai développer l'équation jusque à pouvoir la séparer en deux (une partie réelle et une partie imaginaire) R = y² -3y -10 = 0 et I = -y³ + 2iy² + 3iy - 10i = 0.

J'ai résolu R et j'ai trouver comme solution 5 et -2, j'ai donc remplacer y par -2 (donc z par -2i) dans (E) et prouver que -2i est une solution de (E), mais là je suis bloquer je ne sais pas comment trouver la racine et encore moins comment trouver les deux autres solution de (E).

Voila, merci d'avance.

Bonjour. Je confirme la question 1), et je trouve également 5 et -2 ainsi que les mêmes parties réelles et imaginaires.

Pour prouver que -2i est racine, il suffit juste de remplacer z par -2i et vérifier que (E)=0, ce qui n'est pas le cas avec 5i.

Pour trouver les deux autres racines, c'est super simple. Tu poses une équation E' az²+bz+c=0 telle que (az²+bz+c)(z+2i)=(E).

Tu trouves les coefficients a, b et c par identification (après avoir préalablement développé E'(z)x(z-solution particulière)), et là, hyper simple, résolution d'un polynôme du second degré dans C.

Merci beaucoup, j'avait essayer en mettant z en facteur mais je n'avais pas penser à mettre -2i aussi.

Mais je ne comprend pas trop ce que tu veux dire par "développé E'(z)*(z-solution particulière)"

Si je je développe je vais retomber sur mon équation de départ non ?

En effet.

Dans C, tout polynôme est décomposable en polynôme de degré 1 ou 2 (ce qui n'est pas toujours possible dans R).

Je sais donc qu'ici, dans C, mon polynôme peut au moins se scinder en un polynôme du second degré, et un polynôme du premier degré : le but est donc de dire ici que l'on va poser un polynôme du second degré, inconnu, qui est factoriser avec polynôme qui contient ma solution particulière précédemment trouvée.

Là, tu développes les deux polynômes, dont l'expression est égale à l'équation de départ.

D'un côté, tu as un polynôme avec des az^3 + (b + a2i)z² etc... = l'équation de départ.

Tu n'as plus qu'à poser un système : les z^3 avec les z^3, les z^2 avec les z^2 etc.... Dans notre cas, on aura pour les z² : b+2ai= -(1+2i).

Et il ne te reste qu'à trouver les expressions de a, b et c. Comme tu aura 4 équations à 3 inconnues, la dernière équation te permet de vérifier tes résultats.

Dans notre cas, je trouve a=1, b=-1-4i, c=-5+5i.

Une fois que tu as ça, tu as donc E = un polynôme de degré 2 x un polynôme de degré 1.

Là, tu résous ton polynôme de degré 2, et tu obtiens tes racines, et donc les solutions de ton équation de départ.

A partir du moment où tu es dans C et que tu connais / peut trouver une solution particulière, c'est la méthode basique à appliquer.

A tout hasard, je dirais plutôt :

Trouve une solution remarquable qui convient.

Développe à l'aide de cette solution.

Identifie.

Résous le polynôme de deg 2 à coeffs dans C restant.

Conclus.

Plus simple, plus concis, moins de connaissances bac+1 mobilisées.

Capitan, tu donnes la méthode, moi j'explique pourquoi cette méthode fonctionne.

En TS on n'a pas vraiment besoin de savoir bien plus.

Merci, je crois que j'ai compris le principe.

Je crois que je vais devoir squatter la partie "aide au devoir" du site cette année.

J'espère toutefois que le jour de l'examen, tu n'auras pas besoin du forum

Je suis en prépa, c'est un concours à la fin de l'année, mais j'espère aussi.

J'ai peut-être sauter une étape ou mal compris quelque chose, mais quand je résout mon polynôme du second degré (z² -(1+4i)z-5+5i) les solutions que je trouve ne sont pas des solution de mon polynôme de degré 3 (je ne me suis pas tromper sur l'équation du second degré, je trouve -3+2i et 3-2i)

Je pense que j'ai dû mal comprendre une des étapes.

Il faut que je précise (mais j’aurai peut être dû le faire plutôt) que avant de rentrer en prépa j'ai fait un bac pro et un BTS donc même si officiellement j'ai un bac +2, en math j'ai un niveau de première S voir moins.

Non en fait j'ai rien dit, j'ai trouver mes racines de delta mais j'ai oublier de calculer les solutions du polynôme de second degré