Petite réflexion sur un système numérique accepté tel quel...

En fait je me suis fait la réflexion l'autre jour... Et donc du coup je me suis mis à penser..

Notre système numérique hérité des Arabes, hérité des Indiens nous semble parfait, complet. Les maths modernes seraient une "science noble" et presque plus rien à réinventer.

Mais pensons qualitativement sur ce système numérique base de toutes nos autres élucubrations scientifiques.

Observons 1,2,3

Ces chiffres sont suffisants pour représenter des quantités entières.

0,5/0,2/0,0003

Ces décimaux nous servent à caractériser des fractions d'une quantité.

0

On s'est bien foutu des latins avec ce chiffre, c'est à partir de ce rien symbolisé que nous avons commencé à bel et bien définir notre système comme supérieur et parfaits. Les romains passants donc pour ds abrutis sans le 0.

Mais maintenant voici ce qui me turlupine.

Notre système si parfait .. ne peux représenter 1/3, on dira 0,33333333 ... Je me demande ce que dirons les hommes du futur quand il verrons que nous utilisions des divisions a la place sur symbole qu'ils auront inventé pour symboliser ces quotients. Qui ne seront plus infinis...

Euh..

C'est tout

Bonjour,

Questionnement intéressant et concret, même si parfois pas très pertinent. Mais nous allons éclaircir quelques zones d'ombre.

Notre système numérique hérité des Arabes, hérité des Indiens nous semble parfait, complet. Les maths modernes seraient une "science noble" et presque plus rien à réinventer.

Bien au contraire, les maths sont à notre époque en pleine expansion, et il reste encore tellement de choses à découvrir : des résolutions de problèmes extrêmement connus. Je pense notamment au célèbre problème d'algorithmie P=NP qui permettrait des avancées considérables en informatique, voire encore trouver les zéros de la fonction zêta de Riemann, etc.

De même, il demeure tant de notions à éclaircir, tant de mystères à éluder. Que penses-tu de la mécanique quantique dont nous ne savons que trop peu de choses ?

Bref, les sciences demeurent incomplètes. Et je pense que nous ne pourrons jamais creuser assez loin pour en explorer tous les recoins. Mais ce n'est que mon point de vue !

Tu nous parles ensuite de la question de nombres rationnels présentant, comme 1/3, un développement décimal dit "infini" ou "illimité" (dernier terme moins abusif).

Qu'est-ce qui te gène là-dedans ? Imaginons que tu effectues la division de 1 par 3. Eh bien commençons par une simple division euclidienne :

1=3*0+1

1=3*0,3+0,1

0,1=3*0,03+0,01

0,01=3*0,003+0,001

...

Donc par récurrence sur le n-ème reste, nous avons 1 qui vaut 3*(0+0,3+0,03+0,003+...)=3*0,333333... et de manière rationnelle, 1 = 3*(1/3)

Nous en déduisons que 1/3 = 0,333333... (attention à ne pas oublier les "...")

Et tu t'aperçois alors que nous ne pourrons jamais nous arrêter, car le i-ème reste n'égale jamais 0. Alors, abérration ou pas abérration ?

Ne t'inquiète pas ma réflexion n'était volontairement aucunement poussée. Ce que j'entends par système numérique accepté tel quel. C'est que les maths actuelles me font penser aux romains. Egalement persuadés que leur système était le meilleur, mais où le zéro était absent, les conduisant ainsi à dire qu'on ne rien faire jusqu'à 0.

Et cela me fait penser à nous même quand nous posons que l'on ne peut pas diviser par 0.

C'est vrai, on ne peut pas. Mais au lieu de ressentir cela comme une vérité à mon humble avis c'est lutôt une preuve que le système de numération occidental est incomplet.

(Je ne remet aucunement en cause ta démonstration ^^ tu as parfaitement raison la dessus, dans notre système il reste plein de choses à explorer . Je me place juste sur un point de vue qualitatif par rapport à ce système de numération. Il me semble que la bas de ce système est incomplète... Comme pour les romains à qui il manquais le 0.. tu vois ou je veux en venir ? )

Oui je vois où tu veux en venir.

Mais les mathématiciens sont en train de pourvoir à ce problème. C'est ainsi qu'au tout début, nous avons créé les nombres entiers naturels {0,1,2,3,...} = N.

Puisque les romains ne voyaient pas d'utilité en zéro, on dira qu'ils considéraient N*. Vint ensuite le moment où l'on s'aperçut que le zéro avait son utilité, et on l'inclut dans le corps de numération. Puis en soustrayant des parts, on commençait à se rendre compte qu'un corps de nombres relatifs (Z) pouvait avoir son utilité. Les matheux l'ont ensuite transformé en anneau avec la loi x (multiplication interne de relatifs).

Puis les siècles ont passé... Et l'on s'aperçut qu'une chose dite "entière" n'était pas insécable. Et à partir de là on commençait à créer les rationnels (Q), puis les irrationnels (R\Q), après la découverte de pi par Archimède il semblerait.

En réunissant ces deux derniers ensembles : Q∪(R\Q) = R, on obtient notre ensemble de réels avec lesquels nous comptons tous les jours.

Néanmoins, et voilà le point intéressant, les mathématiciens se sont rendus compte que les réels étaient insuffisants. Et c'est alors que naquirent les nombres complexes qui forment le corps C. Tout commença comme un jeu, entre des scientifiques italiens qui s'envoyaient des défis sous la forme d'équations algébriques.

Puis advint un moment où l'un d'entre eux envoya à l'autre une équation de degré deux ! Celle-ci posait problème car elle n'était pas réductible sous la forme d'une équation simple à résoudre. A ton niveau, je suppose qu'on les désigne comme des équations à discriminant strictement négatif. Alors Cardan développa une théorie selon laquelle i²=-1 et où l'on pouvait définir des racines carrées de nombres négatifs. Cela lui permettait de pouvoir résoudre de manière habile de tels problèmes. Il étendit ensuite sa théorie à la résolution de certaines équations algébriques d'ordre supérieur.

Les matheux découvrirent ensuite de nouveaux ensembles, comme celui des quaternions, et d'autres dont le nom est exotique (coquaternions, biquaternions, octonions, ...).

Ce à quoi je voulais en venir, c'est que malgré les lacunes que nous pouvons encore rencontrer dans l'axiomatisation des mathématiques, et ce même d'un point de vue numérique, les mathématiciens continuent de faire évoluer le langage avec lequel ils travaillent. Et ils le peuvent, car la "structure" des mathématiques a été développée sur une base d'axiomes (voir th. d'incomplétude de Gödel) qui ne peut pas se contredire. Il est ainsi possible de la complémenter par d'autres règles logiques.

Les maths reposent finalement sur des bases solides, et ce grâce à des types comme Peano ou Cantor qui ont passé leur vie à structurer les mathématiques.

Elles sont pour ainsi dire plus "stables" que la physique qui essaie de suivre la Nature, dont la nature demeure encore impalpable.

.___.

Respect.

Argumentation claire compréhensible et tu as répondu à ma question .__. Merci et bravo .___.