Réels et suites de R^N

Salut,

Soit la suite définie de manière récursive par :

u_0=a réel

pour tout n entier naturel, u_{n+1}=u_n - u_n².

Soit a négatif, je dois alors montrer que (u_n) tend vers moins l'infini.

Idée : Je montre que pour tout alpha de R, il existe un n_0 de N tel que pour tout n supérieur ou égal à n_0, u_n sera toujours plus petit ou égal à cet alpha (définition d'une suite qui diverge vers moins l'infini).

Modus operandi : Je montre successivement que (u_n) est décroissante et qu'elle n'est pas minorée.

1) En effet, pour tout n de N, u_{n+1}-u_n=-u_n² qui est négatif ou nul. Donc pour tout n entier naturel, j'ai bien u_{n+1} plus grand ou égal à u_n.

2) Montrons que (u_n) n'est alors pas minorée.

Et alors soit j'ai la flemme, soit je ne peux plus réfléchir mais je vous avoue que je n'ai pas d'idée... Peut-être que je devrais montrer que pour tout "machin" de R, je pourrai toujours trouver un entier à partir duquel la suite u_n prendra des valeurs inférieures à "machin". Mais comment démontrer ça, no idea.

Donc gros pâté pour pas grand chose, mais j'espère que quelqu'un saura me donner une piste !

Merci

Tu te fait une branlette intellectuelle pour rien la. Raisonne par absurde. Suppose que u_n converge vers un réel b. Tu passes à la limite dans l'équation et tu as que b=b-b^2. C'est à dire que b=0. Donc si la limite est fini c'est que ton a=0. Sinon a est différent de zéro ta suite converge donc vers l'infini. Si a est réel négatif strictement, tu as une suite decroissante strictement convergent vers l'infini, il s'agit donc de - l'infini.

Gracias my lord :p

Ya un truc qui me titille tout de même dans ton raisonnement : comment justifies-tu que (u_n) diverge vers moins l'infini et non pas vers plus l'infini ? Parce que oui, j'avais d'ores et déjà montré que si l (limite de u) était réel, alors il devait valoir 0.

Et de même, que se passe-t-il lorsque a appartient à [0;1] ? (u) converge vers 0, donc "a différent de 0" n'est pas une CNS pour avoir une divergence de la suite. Ca me fait grave buguer.

Oui pardon, je suis allé trop vite et j'ai dit de la merde. Si la limite existe, elle vaut zéro. Or si on prends a strict négatif, tu as ta suite u_n strictement inférieure à zéro (tu le montres par récurrence). De plus u_n est une suite decroissante. Donc on en conclu qu'elle ne peut pas tendre vers 0 donc sa limite est - l'infini.

Bon je chevauche 2 problèmes en même temps (en fait je comprends rien à mes equa diff :D). Si tu as a qui est superieur à 1, tu as que u_1 est négatif et tu te ramennes au cas ou a est négatif. Si à appartient à l'intervalle 0 1, tu montres que ça tends vers 0 en disant que c'est minoré par zéro et stric décroissant.

T'es un dieu mec :)