Etude d'une suite récurrente associée à f

Salut tout le monde, je m'en remet à vous pour m'éclaircir sur mon Dm de Maths... En voilà l'énoncé :

On considère l'application f définie par : x x ]0;+[, f(x)=[x+ln(x)]*e^(x-1).On considère la suite (Un) avec n définie par u0=2 et pour tout n , Un+1= f(Un).

1) Montrer que, pour tout n , Un existe et Un 2.

2) Établir par récurrence : n , Un e^(n). Quelle est la limite de Un lorsque l'entier n tend vers +?

3) On définit F par : F: ]0;+[,xF(x)=de 1 à x f(t)dt

Montrer que F est dérivable sur ]0;+[ et exprimer F'(x), pour tout x ]0;+[ à l'aide de f(x)

J'ai vaguement une idée pour la question 1, car f est croissante si on trouve sa dérivée f'(x)= e^(x-1)*[1+(1/x)+x+ln(x)].

Mais je bloque totalement pour la suite, notamment la récurrence pour le 2)

Si quelqu'un pourrait m'aider car je ne trouve vraiment aucune piste, merci d'avance.

La récurence peut se faire si tu prends comme acquit que Un≥e^n et que tu arrive à démontrer que Un+1 ≥ e^(n+1)

Donc la difficulté, c'est de triturer la formule Un+1 pour retomber sur une formule avec Un

Tu peux essayer de voir ce que donne des chose comme Un+1-Un ou Un+1/Un

C'est en général ce qu'il faut faire pour les démonstration par récurrence.

Vu les exponentielles, je penche pour la deuxième (parce qu'additionner des exponentielle, tu oublie ^^)

Donc en développant Un+1/Un avec que des Un, tu devrais arriver à démontrer que c'est supérieur à e^(n+1)/e^n c'est à dire ≥ e

( oublie pas de préciser que ça marche uniquement parce que passé un n, tous les sont Un>0 cf 1) sinon, le Un+1/Un pourrai changer le sens de l'inégalité de temps en temps... )

Il faudra très certainement que tu te serve du 1) pour continuer en remplaçant des Un par des 2 (en prenant bien garde que ça fonctionne.

par exemple : si Un≥2, e^(Un-1) ≥ e^(2-1)... et ho miracle, tu te retrouve avec un e^(Un-1) ≥ e

je te laisse donc faire avec l'ensemble de la formule.

Et prend bien garde à justifier les remplacement des Un par des 2 !! fait gaffe si les fonctions sont croissantes ou décroissantes.

va y coup par coup.