Maths

Bonsoir,

Je dois exprimer l'aire A en faisant apparaître dans l'expression, une intégrale.

Sachant que f(x) = (x²+1)e^(-x+2) et que la droite D a pour équation y = 5/2 x

A = "Intégrale sur [0 ; 2]" f(x)dx - ydx

= "Intégrale sur [0 ; 2]" f(x) - ydx

= "Intégrale sur [0 ; 2]" (x²+1)e^(-x+2) - (5/2 x) dx

= "Intégrale sur [0 ; 2]" (x²+1)e^x / e² - 5/2 x

Je ne sais pas si c'est bon et si je peux simplifier plus .. :gurp:

Salut,

Il faut développer (x² + 1)e ^{-x + 2}. e ^{-x + 2} tu sais l'intégrer directement et les expressions du type xⁿe ^{-ax + b} s'intègrent par intégrations par parties successives, en faisant diminuer le degré du polynôme devant l'exponentielle. En l'occurrence, l'intégrale de x²e ^{-x + 2} se calcule par deux intégrations par parties successives.

Une remarque en passant, tu as écrit e ^{-x + 2} = e^x / e², ce qui est exactement l'inverse de ce qui est juste : e ^{-x + 2} = e ² / e^x.

Je ne comprends pas ..

Tu as déjà vu le théorème d'intégration par parties ?

ah non

Bizarre. C'est un théorème très utile et pas bien compliqué alors je t'en fais une démo :

Soit u et v deux fonctions dérivables sur [a,b] qui se dérivent en fonctions continues sur ce même intervalle.

Tu sais que (uv)' = u'.v + u.v' donc en intégrant cette relation (avec | pour le signe de l'intégrale) : |_a^b (uv) ' (x) dx = |_a^b u'(x).v(x) dx + |_a^b u(x).v'(x) dx

Or |_a^b (uv) ' (x) dx = [u(x).v(x)]_a^b donc |_a^b u(x).v'(x) dx = [u(x).v(x)]_a^b - |_a^b u'(x).v(x) dx.

Toi, tu as x²e ^{-x + 2} donc tu vas appliquer le théorème d'intégration par parties en dérivant x² et en intégrant e^{-x + 2}. Concrètement, tu poses u(x) = x² et v'(x) = e^{-x + 2}, d'où u'(x) = 2x et v(x) = -e^{-x + 2}. Tu as alors en utilisant l'équation violette :

|₀² x²e ^{-x + 2} dx = [-x²e ^{-x + 2}]₀² - |₀² (-2x.e^{-x + 2}) dx = -4 + 2.|₀² x.e^{-x + 2} dx

Après, il faut que tu réutilises le théorème d'intégration par parties pour déterminer |₀² x.e^{-x + 2}dx, en posant cette fois u(x) = x et v'(x) = e^{-x + 2}.

D'accord, je vais essayer! Merci beaucoup :)