D.M. Nombres premiers T.S

Bonjour,

p : nombre entier premier supérieur ou égale à 7. On pose n=p⁴-1.

Le but de l'exercice est de démontrer que cette propriété est vraie pour tout p >= 7 et d'appliquer ce résultat.

1. Montrer que p est congru à 1 ou à -1 modulo 3.
   En déduire que n est divisible par 3
2. Quelle est la parité de p ?
   En déduire qu'il existe un entier naturel k tel que :
   p²-1=4k(k+1)
3. En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de p par 5, démontrer que 5 divise n.
4. a.ROC.
   Soit a,b et c trois entiers naturels.
   Démontrer que si a divise c et b divise c, avec a et b premiers entre eux, alors ab divise c
   b.Déduire de ce qui précède que 240 divise n.
5. Existe-t-il quinze nombres premiers p₁,p₂,...,p₁₅, supérieurs ou égaux à 7 tels que l'entier A=p_⁴1+p_⁴1*+...+p_⁴15 soit un nombre premier ?

*Je crois que c'est p_⁴2 (faute de l’énoncé).

Je sais comment faire mais je n'arrive pas à appliquer... :gurp::gurp:

Merci d'avance,

Snif...de la spé Math...

C'est tellement douloureux...

Bon, je vais essayer de t'aider mais je viens juste de voir les congruences donc je promets rien...Tu n'arrives pas à appliquer où ça exactement, tu es bloqué sur toutes les questions?

(Edit: tu as du faire une faute de frappe pour la 1ère question, ce n'est pas plutôt:

"montrer que p est congru à 1 ou à -1 modulo 3."?)

Bonjour,

Quelles sont exactement tes difficultés ?

Quelles questions as-tu réussies ?

Cet exercice utilise les propriétés de base sur les modulo, par exemple :

Si a= b [k], alors aⁿ = bⁿ [k] , avec n nombre entier.

Il est difficile de t'aider sans donner les réponses si on ne sait pas où sont tes difficultés.

Bon courage

Par exemple quand il dise de montrer que p est congrue à 1 ou -1 modulo 3... je sais pas comment faire mais bon apres, quand il dise en déduire n divisible par 3, c'est simple. P est un nombre premier, donc pas positif puisque p >= 7, donc il a +1 ou -1 d'un multiple de 3 ??

et Après,j 'ai pas réussit, ptete la roc un peu mais sinon le reste j'y suis pas arrivé.. :/

Pour t'aider un peu :

Le plus difficile dans les exercices sur les congruences est de comprendre les questions, (et les réponses obtenues...).

1. Pour cette question, on identifie tout nombre entier par son reste dans la division euclidienne par 3.

Par exemple,

0 = 3 * 0 + 0 , donc 0 = 0 [3]

1 = 3*0 + 1, donc 1 = 1 [3]

2 = 3*0 + 2, donc 2= 2 [3] , on peut aussi écrire 2 = 3*1 - 1, 2 = -1 [3]

3 = 3*1 + 0, donc 3 = 0 [3]

4 = 3 * 1 + 1, donc 4 = 1 [3]

....

88 = 3 * 29 + 1, donc 88 = 1 [3]

....

Tu dois démontrer en fait que p ne peut pas être un multiple de 3, on a soit p = 1 [3], ou p = 2 [3] (ce qui revient à p = -1 [3]).

En utilisant les propriétés sur les opérations et les congruences, tu peux facilement démontrer la deuxième partie de la question.

2. Cette question est une question qu'on peut poser en 3^ème, (avec des bons troisièmes...).

On peut toujours écrire un nombre pair sous la forme 2 * k, avec k nombre entier.

De même, on peut toujours exprimer un nombre impair sous la forme 2*k + 1.

3. Il suffit de se rappeler que p est un nombre premier supérieur ou égal à 7, on exprime p modulo 5, en considérant tous les cas possibles, et on calcule (p⁴ - 1) modulo 5 pour chacun des cas précédents et on conclue.

4. b. On a démontrer que 5 divise n, que 3 divise n.

En se servant de la question 2, on peut montrer que 16 divise n (aide : p⁴ - 1 = (p² - 1) (p² + 1) ).

Tu appliques le théorème de la 4a et tu trouves le résultat.

5. Quelques questions supplémentaires pour t'aider :

5a. Démontrer que 15 divise n.

b. Pour p nombre premier supérieur ou égal à 7, montrer qu'il existe un entier k tel que : p⁴ = 15 k + 1.

Tu devrais après pouvoir t'en sortir j'espère.

Bon courage

2. p étant un entier impaire donc p=2k+1

(2k+1)²=4k²+4k+1-1=4k(k+1)

4.a a divise c donc : c=qa et b divise c donc : c=kb

et j'imagine que je dois trouver que ab=c(k+q) pour que ab divise c mais je ne vois pas comment faire...

b. 3 divise 240 et 5divise 240 et on a vu que 3 et 5 divise aussi n donc 240 divise n ??

il faut alors ajouter que n>=7 donc n = 7⁴-1=2400 donc n>240 et alors 240 divise n ?? :D

2. p étant un entier impaire donc p=2k+1

p² = (2k+1)²=4k²+4k+1-1=4k(k+1)

p² = 4k(k+1) +1 ...

4.a a divise c donc : c=qa et b divise c donc : c=kb

et j'imagine que je dois trouver que ab=c(k+q) pour que ab divise c mais je ne vois pas comment faire...

Tu dois utiliser que a et b sont premiers entre eux.

b divise c, donc b divise qa (pour reprendre tes données).

b et a sont premiers entre eux, donc ...

b. 3 divise 240 et 5divise 240 et on a vu que 3 et 5 divise aussi n donc 240 divise n ??

Hélas non

Par exemple : 2 divise 30, 3 divise 30 et on a que 2 et 3 divise aussi 48, mais 30 ne divise pas 48.

Ici, 3 divise n et 5 divise n. 3 et 5 sont premiers entre eux, donc 15 divise n.

Il te suffit de prouver (question 2) que 16 divise n.

Pour t'aider, démontre que 8 divise 4k(k+1) puis que 2 divise p² + 1.

Par la suite, 16 et 15 étant premier entre eux.... (16*15 = 240)

il faut alors ajouter que n>=7 donc (non) n = 7⁴-1=2400 donc n>240 et alors 240 divise n ?? :D

Ceci est un cas particulier, 240 divise n pour tout p premier >=7

n est un nombre qui dépend de p, on devrait plutôt l'appeler n_p ou n(p)

Bon courage

4.a. donc ab divise c ? (je n'en ai aucune idée dsl... d'après mes amis, il faut utiliser Gauss or on l'a pas vu encore tout comme cette ROC et du coups ils l'ont pas fait :/ )

et j'ai pas compris la suite malgré ton aide.. :((((

donc je vais laisser tomber pck j'ai un dm de maths de plus a faire + réviser pour le controle de spé de demain et le DS de maths le mardi + DM de philo --'

Mais merci quand meme :p

La prof s'en fichait complètement des exercices 4 et 5.... elle ne voulait même pas qu'on les fasse, pck pour la roc il faut utilise Ghauss (ou Ghoss, je sais pas comment on l'écrit)...

BREF, merci pour ton aide :smile2:

Juste pour t'aider un peu sur les exercices futurs

Sans passer par le théorème de Gauss :

on a :

On sait a et b sont premiers entre eux.

Donc a et b ont pour seul diviseur commun positif 1.

a divise c et b divise c, alors, il existe k et k' entier tels que c = a k et c = b k'.

a divise c, donc a divise b k'.

a ne peut diviser b ( il est premier avec lui), donc a divise k'.

Alors, il existe un entier q tel que k' = aq.

Donc c = abq et ab divise q.

Voilà pour la ROC

Par la suite, p² - 1 = 4k(k+1) avec k nombre entier.

Soit k est pair, donc 4k est divisible par 8, soit k est impair donc k+1 est pair et 4(k+1) est divisible par 8.

Donc 8 divise p² - 1.

p² + 1 = p² - 1 +2 (rien de transcendant ici)

Donc, p² + 1 = 4k(k+1) +2 est un nombre pair, il est divisible par 2.

Par l’égalité suivante p⁴-1 = (p² - 1)( p² + 1), on en déduit que 16 divise p⁴ - 1, donc 16 divise n.

On sait aussi que 5 divise n et que 3 divise n.

5 et 3 sont premiers entre eux, donc 15 divise n.

15 et 16 sont premiers entre eux, donc 240 divise n (240 = 15 * 16).

Voilà pour la question 4.

Pour la question 5 , la réponse est non...

Pour justifier, si p est un nombre premier plus grand ou égal à 7, alors 15 divise p⁴ - 1

Il existe un entier k (pas le même que la question précédente) tel que p⁴ - 1 = 15k.

Donc, p⁴ = 4k + 1.

On obtient alors :

p⁴₁ = 15k₁ + 1 , p⁴₂ = 15k₂ + 1 .... p⁴₁₅=15k₁₅ + 1

Donc

A = (15 k₁ + 1 ) + (15k₂ + 1) + ... + (15k₁₅ + 1)

A = 15 * (k₁ + k₂ + ... + k₁₅) + 1 + 1 + ... 1

A = 15 * (k₁ + ... + k₁₅) + 15

A = 15 * (k₁ + ... + k₁₅ + 1)

Donc 15 divise A et A n'est pas premier.

Je n'aime pas laisser des exercices sans solutions, surtout si on a cherché.

La rédaction n'est pas optimale mais cela te donne une petite idée de ce qu'il fallait faire.

Bon courage pour la suite

Oui moi aussi je n'aime pas laissé des exercices sans solutions mais je me suis dis que j'allais le corrigé en cours donc je voulais pas t'embêter encore plus :)

Mais merci encore pour ton aide, les solutions ne sont pas si simple que sa à trouver (enfin pour moi...) même quand je regarde tes solutions :p mais j'ai compris comment faire, merci :)

Bonne soirée