(cos(x) - 1)/x , dérivable en 0 ?

f(x), c'est la fonction défini par (cos(x)-1)/x si x different de 0 et f(0)=0 si x=0. Cette fonction est continue et dérivable sur R. Mais bon ca c'est ce qu'on veut montrer.

Je veux bien reprendre mes cours, mais je sais encore que la fonction cosinus est une fonction analytique sur R car indéfiniment dérivable. Elle est donc developpable en série entiere en 0. Série entiere en 0 dont le rayon de convergence est l'infini d'aprés le critere de d'Alembert. Ainsi, quand on concidere f comme son developpement en série entiere en 0, cela donne une fonction analytique sur le disque [0,R[. Ainsi la fonction f est developpable en série entiere pour x appartenant a [0,R[, et comme le rayon est infini, elle est égale au developpement en série entiere en 0.

Ainsi pour tout x, on a en faisant tendre n vers l'infini le developpement en série entiere :

" />

 Et de la on en déduit l'encadrement pour tout x du cos proposé plus haut.

f(x), c'est la fonction défini par (cos(x)-1)/x si x different de 0 et f(0)=0 si x=0. Cette fonction est continue et dérivable sur R. Mais bon ca c'est ce qu'on veut montrer.

Je veux bien reprendre mes cours, mais je sais encore que la fonction cosinus est une fonction analytique sur R car indéfiniment dérivable. Elle est donc developpable en série entiere en 0. Série entiere en 0 dont le rayon de convergence est l'infini d'aprés le critere de d'Alembert. Ainsi, quand on concidere f comme son developpement en série entiere en 0, cela donne une fonction analytique sur le disque [0,R[. Ainsi la fonction f est developpable en série entiere pour x appartenant a [0,R[, et comme le rayon est infini, elle est égale au developpement en série entiere en 0.

Ainsi pour tout x, on a en faisant tendre n vers l'infini le developpement en série entiere :

" />

 Et de la on en déduit l'encadrement pour tout x du cos proposé plus haut.

Tu utilises là les dévelopements en série entière. Un développement en série entière, c'est un outil beaucoup plus puissant qu'un simple DL.

La grosse différence réside dans le fait que les DL, ça marche sur un voisinage d'un point (et qu'on ne peut pas "contrôler" la taille de ce voisinage).

Le développement en série entière, lui, est valable sur tout le rayon de convergence.

Effectivement, avec Les série entières, tu peux faire beaucoup plus de choses, et tu peux montrer l'encadrement (ce qui n'était pas faisable avec les DL). Remarquons au passage qu'il est loin d'être si facile de déduire l'encadrement à partir de la série entière. En effet, le x^3 devient très grand quand x tend vers l'infini.

Je veux bien reprendre mes cours, mais je sais encore que la fonction cosinus est une fonction analytique sur R car indéfiniment dérivable.

Non.

Il faut savoir que :

• cos est analytique (ce que tu dis)
  
• cos est infiniment dérivable (ce que tu dis)
  
• qu'on peut être infiniment dérivable sans être analytique (c'est là où tu t'emmèles les pinceaux).
  

Exemple.

On définit la fonction g par :

g(x) = e^(-x²) si x >0

g(x) = 2e^(-x²) si x <0

g(0) = 0

La fonction g est infiniment dérivable, mais elle n'est pas développable en série entière (tu peux le montrer en utilisant par exemple l'unicité du prolongement analytique).