Comment calculé que 1 = X puissance 0

Non, cette définition par récurrence fonctionne aussi pour 0.

On a alors 0^0=1.

0^0 est une forme indetrminée qui par convention est imposée à 1. On pourrait tout aussi bien la posée à 2 ou à 0 ou à ce qu'on veut...

La définition de la forme indéterminée de 0^0 est la limite en 0 de la fonction f telle que

f : x -> x^x

Définie sur IR*+ (parce que l'interval ]-1;0[ pose des petit soucis, rapport aux complexes et aux racines négatives...) et prolongée par continuité sur IR+ au travers de la

convention 0^0=1

Voici la représentation graphique de f que j'ai moi même tracé sous ... (pas de nom... )

Au passage, dire que 0^0 est une "forme indéterminée" ne veut rien dire dans ce contexte. On parle de forme indéterminée pour les limites par exemple, mais ici il n'est pas quetion de limite, mais de définition.

La question est donc de savoir si 0^0 est définit.

Il est question de la limite en 0 de x^x (cf paragraphe précédent)

De plus... si tu y tiens... 0^0 n'est pas défini mais imposé par convention à 0^0=1

Et, si on définit x^n par récuurence (pour n entier naturel), alors cette définition fonctionne pour tout réel, y compris 0, y compris -1.

Elle n'est valable en 0 que parce que l'énoncé l'impose (il s'agit donc d'une sorte de convention : x^0=1 pour tout x ...)

Cette définition intègre la convention 0^0 = 1

Qui ne se démontre pas (ou alors j'aimerais bien voir ça...).

Je pourrais tout aussi bien définir par récurrence :

0^0=6

0^(n+1)=0*0^n

La démonstration de x^0=1 pour tout x réel non nul est

x^0=x^1 * x^-1 = 1

Cette démonstration est fausse pour x=0 (car 0^-1 n'existe pas)

Par contre, dans la définition x^y = exp (y*ln(x)), cette définition ne fonctionne pas pour x=0, ni même pour x=-1 (car que vaudrait (-1)^(1/2) ? ).

C'est surtout que ln n'existe pas dans IR- ... tout simplement, pas la peine d'essayer d'introduire les complexe en plus sinon on s'en sort plus :blush:

Elle n'est valable en 0 que parce que l'énoncé l'impose (il s'agit donc d'une sorte de convention : x^0=1 pour tout x ...)

Exactement, c'est une définition, donc une convention.

Une définition est TOUJOURS complètement arbitraire.

Me revoici cher Mad_Word... vous verrez que ma formulation générale diffère un peu de la vôtre par le fait qu'elle n'implique pas d'absolu... sans doute parceque l'absolution n'est pas de mon ressort... :blush:

Définition des termes.

n.......... valeur du signe (+1 ou -1)

X.......... nombre entier naturel

Y.......... exposant (nombre réel)

^.......... puissance

{X}....... somme des entiers naturels de 0 jusqu'à X (inclus).

{X-1}.... somme des entiers naturels de 0 jusqu'à X-1 (inclus).

Formulation pour les entiers positifs.

X^(Y) = X^(Y-1) + X^(Y-2) * 2 * {X-1}

Formulation générale.

nX^Y = nX^(Y-1) + nX^(Y-2) * 2 * {X - ((1 + n)/2)}

Exemple :

-4^3 = -4^2 + -4^1 * 2 * {4 - ((1 + -1)/2)}

-64 = 16 + -4 * 2 * {4 - 0/2}

-64 = 16 + -4 * 2 * (1+2+3+4)

-64 = 16 + -80

Pas besoin d'absolu comme vous voyez...

En te lisant Génie... je me rend compte d'une erreur au niveau du cas général. Il faut éviter les x appartenant à ]-1,1[ . Dans cet interval, réside toutes les puissance qui sont des racines (n ième) et donc pour le cas ou cas racinie sont des racines paires (racine carré : 1/2, quadratique : 1/4 ...) n^x pour n<0 n'est pas vraiment définit. En fait, il faudrait entrer dans un autre formalisme qui nous permettrait de travailler dans les complexes et non plus uniquement dans les réels...

Donc... évitons les demi portion, quart de portions... :blush:

Vous avez bien raison cher Mad_Word... Les demi-portions auraient vraiment un complexe en soi. :blush:

Déjà que pour ma part les nombres négatifs et le 0 ne trouvent pas grâce dans ma réalité... imaginez donc les complexes... mais ne sont-ils pas déjà imaginaires en fait!

En passant cher Mad_Word... aimeriez-vous voir comment mettre en évidence les entiers premiers sans faire aucun calcul... est-ce un domaine qui vous passionne?

En te lisant Génie... je me rend compte d'une erreur au niveau du cas général. Il faut éviter les x appartenant à ]-1,1[ . Dans cet interval, réside toutes les puissance qui sont des racines (n ième) et donc pour le cas ou cas racinie sont des racines paires (racine carré : 1/2, quadratique : 1/4 ...) n^x pour n<0 n'est pas vraiment définit. En fait, il faudrait entrer dans un autre formalisme qui nous permettrait de travailler dans les complexes et non plus uniquement dans les réels...

Donc... évitons les demi portion, quart de portions... :blush:

Le problème ne se pose pas que dans l'intervalle ]-1 1[.

Exemple : la puissance 5/2 ou la puissance 8/3 posent le même problème de "racine".

Tout n'est que dans la façon d'exprimer le X en question cher Grenouille Verte...

Prenez la question de X^(3/2) par exemple, c'est une façon d'écrire (X^3)^1/2... ce qui ramène à l'intervalle ]-1,1[ en fait.

Vous ne faîtes que travestir l'entier X en employant cette notation... :blush:

En y regardant bien... la formulation générale fonctionne en partie pour les exposant situé dans l'intervale ]-1,1[ ... sans donner la réponse elle permet cependant une décomposition sous forme de somme de 2 termes.

Formulation générale.

nX^Y = nX^(Y-1) + nX^(Y-2) * 2 * {X - ((1 + n)/2)}

En prenant X = -3 et Y = 1/2 on obtient :

-3^(1/2) = -3^(-1/2) + -3^(-3/2) * 2 * {3 - ((1 + -1)/2)}

-3^(1/2) = 1 / -3^(1/2) + 2 * {3 - 0/2} / (-3^3)^(1/2)

-3^(1/2 = 1 / -3^(1/2) + 2 * (1+2+3) / -27^(1/2)

-3^(1/2) = 1 / -3^(1/2) + 12 / -27^(1/2)

Mais ça reste complexe... :blush:

Le problème ne se pose pas que dans l'intervalle ]-1 1[.

Exemple : la puissance 5/2 ou la puissance 8/3 posent le même problème de "racine".

A moitié d'accord... La puissance 5/2 pose le même soucis... Par contre 8/3 n'en pose pas. Les racine impaire (cubique, ...) admettent les négatifs.

Par contre, il est vrai que tous les d/2 avec d entier sont un sérieux problème... Je pense que dans un premier temps pour être rigoureux il faut admettre que le formalisme de n^x pour les n<0 n'est valable que pour des x entiers si on ne veux pas compléxifier (dans tous les sens du terme d'ailleurs...) les équations...

Sur ce point nous sommes d'accord.

C'est pour cela qu'il y a deux définitions de la puissance.

Une pour les puissances entières (qui marche avec n'importe quel réel)

Une pour les puissances réelles (qui marche avec n'importe quel réel strictement positif)

...

0^0 est une forme indetrminée qui par convention est imposée à 1. On pourrait tout aussi bien la posée à 2 ou à 0 ou à ce qu'on veut...

<< C'est effectivement une convention de dire que 0^0=1, mais on peut tout aussi bien prendre comme convention 0^0=0, cela n'est pas contradictoire avec le reste des mathématiques.

On aurait pu poser conventionnellement n'importe quoi, mais le 1 est pratique en effet pour la continuité de x^x

On montre a^0=1 pour a non nul simplement par : " />. a devenant nul, ça n'est pas si simple que ça >>

NB : j'avais posté un article avant de me rendre compte que c'était du n'importe quoi ... le message étant posté il fallait bien que je dise quelque chose ...

''... C'est effectivement une convention de dire que 0^0=1...''

Dans ce cas il y a un problème de logique car si l'entier X et la puissance Y sont strictement positifs on aurait un résultat qui diminuerait lorsque la puissance augmenterait...

0^0 = 1

0^1 = 0

0^2 = 0 alors que

1^0 = 1

1^1 = 1

1^2 = 1 et que

2^0 = 1

2^1 = 2

2^2 = 4

soit (X^n-1 >= Xⁿ) car 0⁰ > 0¹ qui contredirait la règle générale (X^n-1 <= Xⁿ) voulant que le résultat augmente ou reste égale lorsque la puissance augmente...

Quelle serait donc la logique dans cette convention? :blush:

Il y a longtemps, sur un autre forum où je participe encore actuellement j'ai essayé d'expliquer ça assez clairement. Faute de temps pour recommencer l'explication, je vais vous le faire partager.

Monsieur Le Génie, juste avant de commencer, j'aimerai vous poser une question : ne pensez-vous pas que les mathématiciens ont longuement pensé à la logique bien avant vous ?

Allez c'est parti.

Remarque liminaire : les « objets » mathématiques et les relations qui les joignent ne se trouvent pas dans la nature, ce sont des définitions précises données par les mathématiciens, il n’est donc pas raisonnable de vouloir démontrer une définition ou une convention (qui n’est qu’une définition particulière), on peut, au mieux, les justifier.

Chapitre 1

Pré-requis admis : la multiplication des réels entre eux, la récurrence sur " /> .

Idée intuitive : créer une notation pour indiquer pour x un réel quelconque, et n un entier naturel non nul, qu'on a multiplié x, n fois par lui-même (on comprend bien que multiplier un nombre 0 fois par lui-même n’a pas de sens (1 fois pourrait être discutable, mais en disant « le produit de n facteurs égaux à x », la réserve n’as plus de raison d’être)).

Définition mathématique (1) : on note " /> le nombre défini par la relation de récurrence suivante :

" />

On voit rapidement qu’avec cette définition mais que " /> n’est pas pris en compte par cette définition (donc n'existe pas), pas plus que " /> d'ailleurs.

Extensions possibles : on peut démontrer facilement (et c’est conforme à la définition intuitive) que " />, c'est-à-dire que l’application de dans " /> définie par " /> est un morphisme, et comme est un magma (associatif et commutatif), il s’agit donc d’un morphisme de magma (c'est-à-dire que si f est injective (f(N*),x) a les mêmes propriétés que (N*,+). est alors un isomorphisme). Une idée naturelle de prolongement est de passer de N*à N , c'est-à-dire du magma au monoïde en ajoutant le 0.

Au niveau intuitif, cela n’a pas beaucoup de sens (cf.supra).

Au niveau de la définition mathématique(1), une très légère modification convient :

" />

On peut remarquer que poser " /> est la solution la plus « économique » (elle ne nécessite aucune modification de la condition de récurrence).

Au niveau du morphisme, c’est un peu plus compliqué : par définition du morphisme, il est obligatoire que l’image de l’élément neutre soit l’élément neutre. Pour x un réel différent de 0 et de 1, l’application " /> est injective et l’image de N* ne contient pas 1 (normal pour un isomorphisme dont la source ne contient pas l’élément neutre), il n’y a donc pas le choix " />.

Pour x=1 , l’image de N* est {1}, il n’y a donc aucun problème pour poser " />

Pour x=0 , l’image de est {0} (dont on peut remarquer que c’est un groupe multiplicatif dont l’élément neutre est 0 ), il me paraît donc possible de choisir " /> ou " /> , dans les deux cas la structure de monoïde (et même au-delà) est conservée (cependant, ils ne sont pas isomorphes) ; néanmoins il y a plusieurs arguments pour choisir " />.

a) Cohérent avec les autres valeurs de x (argument faible).

b) L’injection canonique du monoïde " /> dans " /> n’envoie pas l’élément neutre sur l’élément neutre (argument fort).

Dans cette optique, il semble donc plus naturel de poser " />.

On peut se demander s’il est raisonnable d’envisager d’autres prolongements, les idées immédiates sont vers " /> ou vers " />, malheureusement, dans ces deux cas, on perd complètement la définition intuitive et la définition par récurrence et comme on va retrouver la notion de morphisme dans le chapitre suivant, commençons celui-ci.

Chapitre 2

Pré-requis admis : , il existe un unique isomorphisme continu de groupe " /> entre " /> et , vérifiant " />, on notera " /> l’isomorphisme réciproque. On admettra aussi un certain nombre de résultats analytiques concernant ces fonctions (continuité, dérivabilité, limites etc.).

Digression : pour a = 0, il faudrait avoir " />, et donc " />, et donc " /> ne serait pas injectif. Même chose et même démonstration pour a = 1, ce qui explique que ces deux cas soient exclus.

On peut remarquer que pour un nombre entier n, " /> (suivant la définition du chapitre 1) on peut aussi remarquer que " />

par définition d’un morphisme de groupe.

On peut donc généraliser cette notation et poser " /> (d’autant plus que l’on peut démontrer que " /> et autres résultats bien connus ; je cite cet exemple car il sera utile plus bas).

Il va de soi qu’avec cette définition, une fois de plus, " /> n’existe pas, cependant on a le droit de se poser des questions (c’est même souhaitable)

1) L’application " />

peut-elle être prolongée par continuité quand a tend vers 0 ?

Pour " /> , la seule façon de prolonger cette fonction constante par continuité est de poser " />.

Mais on peut compliquer un peu.

2) L’application " /> peut-elle être prolongée par continuité quand a tend vers 0 ?

La démonstration dépasse le cadre de ce petit texte, car il faudrait étudier plus en détail les fonctions exponentielles, mais comme " /> et " /> , pour assurer la continuité il faut, à nouveau, poser " />.

Soyons fou (j'abandonne la notation " /> , tout le monde à compris j'espère, et cela devient un peu lourd) :

3) L’application " />peut-elle être prolongée par continuité quand a tend vers 0 ? (f et g sont des fonctions continues qui tendent vers 0 quand a tend vers 0).

Exemple : " />

" />

Il est facile de voir que cette dernière fonction est en fait une constante ( " />), que la seule façon de prolonger par continuité est de poser " /> (et en fait on peut choisir n’importe quel réel (et dans " /> on peut même aller plus loin)).

Si on a le choix, ce cher Ockham nous conseille de nous raser de près et de choisir pour f et g les fonctions les plus simples possibles:

f(x) = 0 ; g(x) = x impossible " /> n’existe pas

f(x) = x ; g(x) = 0 (c’est le cas 1) donne " />

f(x) = x ; g(x) = x (c’est le cas 2) donne " />

On voit donc que le plus raisonnable est de poser " />.

Chapitre 3

Pré-requis : connaissance d’un peu de théorie des ensembles.

D’une façon générale, pour deux ensembles donnés " /> et " />, il existe un ensemble " /> de toutes les applications de " /> dans " />

(ce point nécessiterait une connaissance de ZF plus précise), ce nouvel ensemble, je vais le noter " /> en attendant mieux.

Pour des ensembles finis non vides " /> et " />, le cardinal de " /> est justement " />, au sens du chapitre 1, ce qui explique la notation " />.

Que se passe-t-il en particulier quand l’un voire, les deux ensembles sont vides ?

" /> (démonstration laissée au lecteur, elle est sans problème par récurrence)

" /> (dans une application, il faut associer un élément de l’ensemble d’arrivée à chaque élément (et il en existe) de l’ensemble de départ, comme l’ensemble d’arrivée est vide, c’est impossible, il n’existe donc pas telles applications)

" /> (un peu plus subtile : comme l’ensemble de départ est vide, il n’y a rien à associer, et comme il n’y a qu’une façon de ne rien faire, le nombre d’application est 1)

" /> (exactement le même raisonnement que ci-dessus, voir un peu plus d’explications ci-dessous)

La définition formelle d’une application entre deux ensembles est :

Soit " /> et " /> deux ensembles finis, une application de " /> vers " /> est un sous-ensemble " /> de " /> vérifiant :

" />

Si " /> est vide " /> est vide, et l’ensemble vide (dans le rôle de " />) vérifie bien l’axiome ci-dessus, l’ensemble vide est donc bien une application de " /> dans " /> , et c’est évidemment la seule.

Ici, il n’y a donc aucune ambiguïté (ni aucune convention à ajouter à la définition générale) : " />.

Pour conclure, on peut remarquer que les trois définitions ci-dessus sont compatibles pour les domaines communs, que seule la troisième contient intrinsèquement la définition de " />, que les deux autres définitions trouvent un prolongement naturel (plus naturel en tout cas) en posant, par convention, " /> .

Telle est la vraie logique Monsieur Le Génie ... mais la logique on ne la trouve toujours pas juste à côté de nous !

Si tu as l'impression que j'ai fait trop complexe, tu peux toujours tenter de te rattacher à des périphéries :

Dans ce cas n'allons plus chercher loin ;

Calculons x^n * x^0 :

x^n * x^0 = x^(n+0) = x^n (d'après la définition de l'opérateur)

Or x^n * 1 = x^n.

Donc x^0 = 1

Votre explication est d'une simplicité désarmante cher Gallium...c'est clair comme de l'eau de roche. :blush:

''... Monsieur Le Génie, juste avant de commencer, j'aimerai vous poser une question : ne pensez-vous pas que les mathématiciens ont longuement pensé à la logique bien avant vous ?...''

Je dirais que ce sont les logiciens qui auraient dû penser les mathématiques... ça aurait été plus logique mais surtout plus compréhensible.

''... on comprend bien que multiplier un nombre 0 fois par lui-même n'a pas de sens...''

En effet car multiplier un nombre 0 fois par lui-même équivaut à ne pas le multiplier donc le laisser tel quel, ce qui revient à dire qu'on lui donne la puissance 1... donc si on laisse 0 tel quel on obtient 0 c'est-à dire que l'on n'obtient rien ou que l'on n'obtient pas en fait... et laisser un nombre tel quel c'est lui donner la puissance 1.

Tout comme le multiplier par 1 d'ailleurs qui revient à ne pas le multiplier... où même à lui ajouter 0 ce qui revient à dire qu'on ne lui ajoute rien ou qu'on ajoute pas... éa c'est logique.

Selon la logique que vous utilisez dans la citation alors la valeur de l'exposant revient à dire que l'on multiplie le nombre (exposant -1) de fois par lui-même et donc que l'on multiplie -1 fois le nombre par lui-même lorsque l'exposant est 0 ce qui implique que l'exposant est alors négatif et que l'on sort de l'ensemble des entiers strictement positif... une petite tricherie en fait.

De même le concept de multiplication n'est qu'une façon d'exprimer une série d'additions, ça c'est intuitif... Multiplier, c'est ajouter un certain nombre de fois une partie ou la totalité d'un nombre à lui même, ça c'est intuitif... et l'expression de la puissance lorsqu'il sagit de nombres entiers ne fait que se rapporter au concept de multiplication également, ce qui est aussi intuitif...

Quelle partie de 0 ajoutez-vous à 0 dans ce cas pour obtenir 1, cher Gallium... pour que ça reste intuitif et logique?

Et avant de finir cher Gallium je vous pose la question : n'aurait-il pas mieux fallut que ce soit des logiciens qui pensent à la logique des mathématiques?

Je vous propose une petite réflexion pour finir cher Gallium... Il est dit dans la logique de l'arithmétique de Peano que si une propriété s'applique au 0 et que cette même propriété s'applique aussi à deux entiers consécutifs alors elle s'applique à tous les entiers jusqu'à l'infini...

Je vous propose cette propriété qui est la multiplication par lui-même d'un entier : X*X = X

Si 0*0 = 0 (donc s'applique au zéro)

que

0*0 = 0

1*1 = 1 (0 et 1 sont des entiers consécutifs)

alors

X*X = X jusqu'à l'infini...

donc

2*2 = 2

3*3 = 3

C'est selon la logique des mathématiques et la définition du principe d'induction qu'elle propose... y-aurait-il une faille selon vous?

''... Calculons x^n * x^0...''

Posons donc X = 0 et n = 2

Xⁿ * X⁰ = X⁽ⁿ⁺⁰⁾

X² * X⁰ = X⁽²⁺⁰⁾

X² = X¹ * X¹

0² = 0¹ * 0¹ = 0

Qu'en pensez-vous cher Gallium... :blush:

Bin... oui... 0² = 0... je vois pas le problème là Oo

En effet ça ne prouve rien en soi cher Mad_World.... mais le but premier était de faire voir que 0¹ = 0².

Je voulais ensuite montrer le fait que 0⁰ = 1 était illogique et non intuitif en montrant que :

Si je constate que X¹ = X² = X³ = X⁴ = X⁵ = X⁶ = X⁷ = X⁸ = X⁹... et ce jusqu'à l'infini, et donc que toutes les puissances d'un entier sont égales entre-elles, que vaut intuitivement et logiquement X⁰, ne sera-t-il pas égal aux autres?

mais le but premier était de faire voir que 0¹ = 0²

Oui, et ?

Je dirais que ce sont les logiciens qui auraient dû penser les mathématiques... ça aurait été plus logique mais surtout plus compréhensible

Détrompez vous cher Génie, de nombreux mathématiciens sont aussi logiciens.

Je voulais ensuite montrer le fait que 0^0 = 1 était illogique et non intuitif en montrant que : ....

0^n = 0 pour tout n différent de 0 appartenant à R+.

Poser 0^0 = 1, est, comme je l'ai montré plus haut, une convention d'utilité. Mais rien n'empêche que 0^0 vaille 0, c'est complètement compatible avec le reste des maths.