Système logiquement clos : forteresses imprenables ?

il y a 52 minutes, Dattier7 a dit :

Pas tout à fait, si on regarde la preuve d'Euclide avec nos concepts, actuels, il a tord, un contre exemple existe.

Mais ce contre exemple était inconcevable à l'époque d'Euclide, donc à son époque le raisonnement d'Euclide était parfaitement exacte.

De la même façon, que tant que les damiers LCD étaient impossible, les régles du jeu de dames étaient bonnes, mais avec cette possibilité, il faut ajouter des précisions dans les régles, n'est ce pas ?

Je te donne mon sentiment de ma lecture de ce fil

1- Le premier point est à ton avantage : Beaucoup de citoyens y compris des étudiants en mathématiques "imaginent" les mathématiques comme un bloc qui progresse et qui sera capable progressivement de tout démontrer

C'est faux et tu as bien raison de le dire

Non seulement il existe des propositions mathématiques qui ne sont pas démontrées mais Gödel a ... démontré ... qu'il existera toujours des propositions mathématiques non démontrables quelle que soit la sophistication du système mathématique si il contient ce simple principe d' énumération 

Donc qu'aucun système COHERENT (on ne peut prouver une chose et son contraire), complexe (on dit suffisamment expressif car contenant une arithmétique basique) ne peut être COMPLET (toutes les propositions mathématiques vraies y sont démontrables 

Donc par définition toutes les mathématiques COHERENTES (les seules qui aient un sens...) sont INCOMPLETES

Je comprends que tu butes à l'expliquer 

2- Ta confusion avec le contre exemple

Un contre exemple n'a pas pour vocation à montrer qu'un système est incomplet... mais à montrer qu'un système est incohérent (donc amène à prouver une chose et son contraire)

Tout contre exemple à l'intérieur d'un système l'invalide (en mathématiques parce qu'en physique il amène à réviser le modèle parfois à la marge parfois complètement)

3- Ce que tu appelles à tort "contre exemple", c'est une proposition mathématique qui est vraie dans un système axiomatique donné et fausse dans un autre

Non...ces "contre exemples" n'invalident ni le premier système ni le second

Il montre simplement qu'il existe des propositions qui sont dites indécidables soit parce qu'on ne sait pas les démontrer

Soit parce qu'elles peuvent prendre une valeur de vérité ou une autre en ayant pour conséquence de rentrer dans l'axiomatique

C'est par exemple l'axiome des parallèles ou l'axiome du continu

Bref...