Révision L1 Maths: Polynôme

Bonsoir tout le monde, décidément ces derniers temps j'arrive réellement à rien ^^

Ce doit être la 5ème fois que je viens demander de l'aide sur des forums, mais je suis un peu désespérée et ma prof refuse catégoriquement de nous aider...

Je vous pose donc l'énoncé de "l'exercice type" de l'examen... Je n'arrive à rien ^^

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Soit n>=1, on définit P_n(X) = (1+X)ⁿ − (1 − X)ⁿ un polynôme de R[X].

1. Calculez P1 et P2.

2. Montrez que pour tout n>= 2, P_n admet une racine réelle évidente et que cette racine est

simple.

3. (a) Si n est pair, quel est le degré de P_n? Combien admet-il de racines dans C?

(b) Si n est impair, quel est le degré de P_n? Combien admet-il de racines dans C?

4. Montrez que pour tout z appartenant à C

Pn(z) = 0 ssi (1 + z)/(1 − z) est une racine n-ième de l’unité.

5. On suppose n = 6.

(a) Déterminez toutes les racines de P6.

(b) Décomposez P6 dans C[X] puis dans R[X].

6. On suppose maintenant n = 7. Déterminez toutes les racines de P7.

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Quant à mes réponses, elles sont très limitées:

1) P₁(X)= 2X

P₂(X) = 4X

2) je suppose que la racine évidente est 0, du moins c'est celle qui me parait évidente... mais je ne sais pas comment le prouver, et surtout comment le justifier

3) j'ai tenté à la calculatrice et j'ai remarqué que lorsque n est pair: deg(P_n)= n-1

et lorsqu'il est impair on a deg(P_n)= n

mais je ne vois pas comment le démontrer

Merci d'avance.

Marie

Salut,

Pour la deuxième question, il suffit de factoriser (1+X)ⁿ - (1-X)ⁿ (de la forme aⁿ - bⁿ ). Tu obtiens donc qqchose de la forme 2X*(Q) et 0 est effectivement racine simple de P. Pas besoin de récurrence.

Si n est pair, alors on peut écrire n=2p, p entier.

Alors le terme de plus haut degré de P est de la forme X^2p - (-1)^2p X^2p Qu'en déduis-tu ?

Si n est impair ?

Conclusion de la question ?

C'est élémentaire : T'as qu'à dire que P_n(z)=0 ssi (1+z)ⁿ = (1-z)ⁿ puis pour z différent de 1, on a ((1+z)/(1-z))ⁿ = 1 et en posant (1+z)/(1-z)=ϱe^iϑ ∈ ℂ, on obtient la conclusion.

Pour n=6, en utilisant une des questions précédentes, tu peux d'emblée réduire le degré du polynôme.

La question b ne veut rien dire, mais je suppose qu'il signifie "factoriser P₆ dans ℂ[X] puis ℝ[X]". Auquel cas reporte-toi à ton ex sujet sur ce forum.

Il est faisable. Bonne chance.

Edit : modifications liées à des pb d'écriture.

Mais honnêtement, je ne connais que: a²-b²=(a-b)(a+b)

je ne sais pas faire aⁿ-bⁿ , je ne vois absolument pas comment faire pour obtenir quelque chose de la forme 2X*(Q)

De plus, comment tu sais la forme du terme de plus haut degré ?

Car, sinon, effectivement j'ai trouvé ça simple d'en arriver à la conclusion, mais c'est cette étape qui me manque.

Pour le reste, j'ai plus ou moins compris, bien que je n'y aurais vraiment JAMAIS pensé seule....

On a aⁿ - bⁿ = (a-b)*(Somme pour k allant de 0 à n des quantités a^n-kb^k )

C'est un résultat important censé être connu en TS (je ne sais pas ce qu'il en est maintenant). Il se démontre facilement par récurrence ou par cheminement moins direct (on intuitera d'abord la forme de la somme en développant à la main) et se retient par la formule d'une somme géométrique classique : celle des x^k

Est-ce que tu as fait ce que je t'ai recommandé de faire pour la 3ème question ? Si oui, il suffit de développer les derniers termes de P_n pour constater que les plus grands termes se simplifient souvent. Comme le polynôme est à support fini et qu'il suffit que dom(P_n) soit non nul, tu en déduis le degré de P_n selon les cas.

Merci, j'ai donc bien compris comment on en arrive à 2X*Q

Ensuite, pour la question 3, quand on a X^2p - (-1)^2p X^2p on obtient donc X^2p - 1 X^2p = 0 ?

C'est hallucinant comme je le trouve difficile cet exercice ^^'

(en tout cas merci pour ta patience ^^)

Oui oui effectivement.

Et donc que se passe-t-il pour les termes de degré inférieur, disons pour ceux qui viennent juste avant ?

ahhhhhhhh d'accord, j'ai compris ^^' Merci beaucoup !