Espaces vectoriels (Algèbre linéaire)

Bonjours, J'ai un exo que je n'arrive pas à faire :

Soient E = R³, F = {(x;y;z)appartenant à E|x - 2y + z = 0}, u = (1;2;3) et G=Ru

- Montrer que F est un sous espace vectoriel (sev) de E.

- Montrer que E = F (+) G. ((+) = Somme directe).

Pour la première question, j'ai réussi à montrer sans difficultés que F est un sev de E (et accessoirement un R-ev):

(x;y;z) appartiennent à E, x - 2y +z = 0,0-2*0+0=0 0 appartient à E et E n'est pas un ensemble vide.

(x;y;z) appartiennent à E et (x';y';z') également, (x-2y+z)+(x'-2y'+z')=0+0=0, E est stable pour la la loi +.

Pour tout A appartenant à R et (x;y;z) à E, A.(x-2y+z)=A.x-2.A.y+A.z

et A.(x-2y+z) = A.0 = 0 Stable pour une loi externe (la loi .). Donc E est un sev de R³ et comme R³ est un R-ev, E est un R-ev.

Mais pour la seconde question, je ne sais pas quoi faire de G, je pense qu'il faut montrer que c'est aussi un sev de E, ensuite montrer que F + G = sev de E et enfin que F inter G ={0}, mais je ne sais pas comment étudier G = Ru.

Voilà, merci d'avance.

Ps: ev = Espace vectoriel

sev = Sous espace vectoriel

Bonjour,

Il est aisé de montrer que la droite vectorielle Ru a une intersection réduite au vecteur nul avec le plan vectoriel F. En d'autres termes, on a trouvé un supplémentaire G de l'hyperplan F dans E.

Par contre, si tu veux montrer ça dans un cadre plus général, tu peux montrer que tout x de E peut s'écrire de manière unique comme décomposition d'un vecteur de F et d'un vecteur de G (suppose que si une telle décomposition existe, alors elle doit satisfaire une certaine condition, puis montre que cette décompo convient en effet).

PS : Par contre, ce que tu dis pour la démonstration de "F est un R-ev" est foireux.

Ce "(x,y,z) appartient à E" que tu mets en début de ligne ne sert à rien. Il suffit juste de dire "on vérifie que 0_R³ appartient bien à F et que F est inclu dans E car tout vecteur de F est aussi dans E. Puis soit (x,y) dans ExE, on vérifie que... et soit (k,x) dans RxE, on vérifie que..., donc F est un sev de E". De même, on s'attend à ce que tu t'arrêtes à "F est un sev de E", parce que dire que F est un R-ev c'est juste par implication mais on s'en fiche.

Merci.

Pour le 2°, E=F+G, il faut montrer que tout élément de E s'écrit de manière UNIQUE comme d'un élément de F et G. On peut aussi montrer que F+G=E et F inter G=ensemble vide.

Merci pour la redite !

J'ai pas pris le temps de lire ta réponse Capitan, désolé !