Probleme de maths (structure)

Bonjours,

Je bloque sur un exo, où je dois montrer que G={2ⁿ3^m ,(m,n) ∈ ℤ²} est un sous groupe de (ℚ,+).

Mais je ne sais pas comment m'y prendre, pour montrer que G a les propriétés d'un groupe et d'un sous groupe.

Merci

Déjà, qu'est ce qu'il faut pour montrer que G est un sous groupe de Q?

Il faut montrer qui G est stable pour + dans ℚ et que tous les inverses des éléments de G appartiennent à ℚ . Puis je crois aussi qu'il faut que l'élément neutre appartienne lui aussi à ℚ

Il faut d'abord que tu montres que G est non-vide, c'est à dire qu'elle contient au moins un élément. Et que quelque soit, (n,m) appartenant à G, alors n+m' appartient à G (à savoir que m' est le symétrique de y dans G)

Si tu as ces deux conditions, tu peux dire que G est un sous groupe de Q.

Mais si je montre que l'élément neutre, dans mon cas 0 n'appartient pas à G, cela ne suffit pas a montrer que G n'est pas un sous groupe?

Oui, si G ne contient pas 0 qui est l'élément neutre de Q, alors, G n'est pas un sous groupe de Q.

Donc dans mon cas G n'est pas un sous groupe car 2ⁿ3^m ne peut pas être égal à 0 donc 0 ∉ G

Il n'existe aucun (n,m) qui appartient à Z, tel que 2n3m = 0, et puisque l'élément neutre de Q par rapport à la loi + est 0, donc G n'est pas un sous groupe de Q