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Entiers premiers : crible auto-constructible


Invité Le Génie

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Voici une méthode simple n'utilisant que de la logique et des symétries pour mettre en évidence les nombres premiers et du même fait dresser une liste des réels inclus entre 0 et 1...

Elle est présentée sous 2 aspects très simple : à partir du plan cartésien pour la première et du triangle équilatéral pour la seconde...

#1 - Sélection d'un point de départ et réinscription d'une diagonale passant par ce point sur la ligne et la colonne suivante... puis répétition de la procédure en passant par les 2 points situés sur les axes dans la ligne et la colonne suivante... et ainsi de suite. Le # de la ligne ou de la colonne représente l'entier.

post-113466-1264451669_thumb.jpg

Les entiers premiers sont ceux qui forment une ligne (ou une colonne) continue de points partant de l'axe ( X ou Y) et se terminant à la droite constituée de points vides sectionnant le cadran en 2...

#2- Même procédure mais sous forme de triangle équilatéral...

post-113466-1264452903_thumb.jpg

Pas si complexe de localiser les entiers premiers en fait... et la procédure permet de ''prédire'' si un entier est premier ou non avant même la fin de sa construction... et ce sans effectuer aucun calcul!

Pensez-vous qu'il y aurait moyen de rapporter cette méthode à la résolution de l'hypothèse de Riemann? Si oui alors on partagera la récompense!!! :blush:

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Invité Mad_World
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:blush: Je comprends pas du tout comment tu construits tes points...

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Membre, Le prendre au sérieux, nuit gravement à la santé, Posté(e)
azad2B Membre 5 932 messages
Le prendre au sérieux, nuit gravement à la santé,
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Bon, pour la construction des points - au moins dans le cas du carré- je crois avoir pigé.(Je n' ai pas regardé de près le cas du triangle). Il faut partir du carré précédent, le re-dessiner compter le nombre de points (et l' espacement entre-eux) de la diagonale principale et construire ensuite les deux nouveaux cotés du carré.

On voit ainsi que pour déterminer si un nombre donné est premier, il suffit de regarder la structure du carré correspondant au nombre qui le précède.

Le problème est que l' élément n de la suite récurrente ne peut-être calculé que si l' on connaît la structure de l' élément n-1. Et que, au vu de la complexité du schéma et (en tout cas à mon niveau) de l' impossibilité de trouver un mode de génération automatique du terme n+1, je ne vois guère de progrès significatif par rapport au bon vieux crible d' eratosthène.

En tout cas, je doute que cela réduise de 1 la quantité des conjectures célèbres.

Mais c' est vrai qu' il serait intéressant de chercher la loi de formation des termes n-1, n-2, ..... et de trouver ensuite une relation analytique entre le nombre et sa représentation géométrique. Je vais lancer un truc du genre Mathematica sur le traitement des images pour voir ce qu' il va en sortir.

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Invité Mad_World
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Posté(e)

Oki j'ai pigé !! (enfin... j'ai pigé ce que azad dit :blush: ).

Je vais tenté sur MatLab, voir ce que ça donne. Mais un point intéressant peut être : tout ceci me fait violemment penser à des constructions de matrices. Finalement, si on part de la matrice :

1 0 0 ... 0 0 0

0 2 0 ... 0 0 0

. .

. .

. .

0 ... 0 ... k ... 0 0

0 ... 0 ... 0 k+1 0

. .

0 ... 0 ... ... ... n

de trace n(n+1)/2

et qu'on remplace les vides par des 0 les pleins par des 1 (il faut trouver l'algorithme...) on retrouve la formulation de la construction carrée.

...

Idée comme ça.

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Invité Mad_World
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Posté(e)

non... on part de la matrice nulle (nxn) . pardon.

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Invité Le Génie
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Invité Le Génie
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Posté(e)

''...Oki j'ai pigé !! (enfin... j'ai pigé ce que azad dit :coeur: ).

C'est plus facile de comprendre un mathématicien qu'un métaphysicien mon cher Mad_Word... :bo:

''... Je vais tenté sur MatLab, voir ce que ça donne. Mais un point intéressant peut être : tout ceci me fait violemment penser à des constructions de matrices...''

Alors on entrerait dans la matrice à bord du vaisseau MatLab cher Mad_Word :snif: Un nouveau Neo serait-il né... :bo:

Merci beaucoup pour l'intérêt... j'espère que vous pourrez casser un peu la barraque avec votre outil.

''...Et que, au vu de la complexité du schéma et (en tout cas à mon niveau) de l' impossibilité de trouver un mode de génération automatique du terme n+1, je ne vois guère de progrès significatif par rapport au bon vieux crible d' eratosthène...''

Bienvenue dans mon petit monde cher Azad2b (Comme j'avais à être = As had to be... est-ce bien celà!).

La nouveauté avec le crible d'érastosthène serait la capacité de prévision, elle est plus visible dans la construction en forme de triangle... si vous regardez bien les lignes incomplètes de ce schéma vous pourrez dire vous-même lesquelles représenteront des entiers premiers.

Vous pouvez également vous représenter la construction en carré comme purement mécanique... Vous faites pivoter la diagonale de 45 degrés et ensuite une translation dans la colonne ou la ligne suivante tout simplement... et vous recommencer avec la nouvelle diagonale obtenue.

''...Je vais lancer un truc du genre Mathematica sur le traitement des images pour voir ce qu' il va en sortir...''

Vous me faites vraiment plaisir vous aussi cher Azad2b... j'espère bien que vous m'en donnerez des nouvelles. :blush:

La méthode proposée serait-elle ce ce que l'on appelle de la ''métamathématique''... soit d'expliquer sans recours aux mathématique (mécaniquement ou logiquement) un truc mathématique. :bo:

Je vous offre un petit cadeau en passant... c'est la répétition de la forme obtenue par le triangle équilatéral sous forme d'une étoile de David... ça donne un plan catésien en 3D, ce qui la rapproche de celle du carré... mais cette fois ce sont les côtés des cubes qui donnent les entiers premiers... une jolie façon de les mettre en '' boîte''.

post-113466-1264525585_thumb.jpg

Merci encore pour votre curiosité... :coeur:

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Invité Mad_World
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Mon cher Genie... le programme est compilé sous matlab et sous forme de matrice...

Si vous souhaitez le voir faites moi signe...

Je me suis permi (pour le plaisir) d'appeller cela :

"Generation de nombres premiers par méthodes de récurence géométrique de Legenie, Auteur : Mad_World"....

:coeur:

En tout cas me suis ien amusé :blush:

Au fait : ça sort bien les nombres premiers. Je l'ai lancer pour le calcul des premiers jusqu'à 1001, mon pc de boulot (moyen de gamme...) a pris moind d'1 minute. Le seul soucis c'est que les matrices deviennes très importantes pour des grandes valeur. Je me demande jusqu'où on peut aller sans dépasser l'over flow.

On pourrait aussi, pour augmenter le nombre de sortie faire du calcul ligne à ligne sans mémoriser toutes la matrice (que les données qui nous intéressent)... mais là bon... j'ai déjà bien taffé :coeur:

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Invité Mad_World
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Invité Mad_World
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Aller... la sortie matlab pour les nombre jusqu'à 101 :

Voici les nombres premiers de 2 à 101 :

Nombres_premiers =

Columns 1 through 9

3 5 7 11 13 17 19 23 29

Columns 10 through 18

31 37 41 43 47 53 59 61 67

Columns 19 through 25

71 73 79 83 89 97 101

>>

... ca marche... :blush:

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Membre, Le prendre au sérieux, nuit gravement à la santé, Posté(e)
azad2B Membre 5 932 messages
Le prendre au sérieux, nuit gravement à la santé,
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Mad_World

Il me semble que l' on peut triangulariser la matrice carrée initiale.

Et peut-être même ne plus se préoccuper que du vecteur colonne que l' on rajoute à la matrice. Mais je reste convaincu qu' il existe une solution essentiellement graphique. Y a plus qu' à la trouver . :blush:

Si je baisse les bras, je reviens crier "au secours".

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Invité Le Génie
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Invité Le Génie
Invité Le Génie Invités 0 message
Posté(e)

Il y a une petite particularité qui pourrait vous être utile dans la méthode de construction... en effet si vous connaissez un seul nombre premier quel qu'il soit alors vous pouvez reconstruire le tout à partir de cette seule ligne... La ligne étant elle-même le résultat de la ''redisposition'' des lignes précédentes... peut-être que celà règlerait le problème de conservation en mémoire des lignes précédentes.

De même la méthode avec le triangle offre une capacité de prédiction effective, ce qui permettrait de ''sauter'' des étapes... et de la mémoire du même fait.

"Generation de nombres premiers par méthodes de récurence géométrique de Legenie, Auteur : Mad_World"....

:bo:

En tout cas me suis bien amusé :coeur:

On dirait bien que le génie en soi serait récurrent lui aussi cher Mad_Word... :blush: Heureux que vous y preniez du plaisir... :bo:

''...Au fait : ça sort bien les nombres premiers...''

En doutiez-vous... :coeur:

Heureux aussi de savoir que vous persévérez cher Azad2b... et comme vous le mentionnez, 2 têtes valent mieux qu'une bien souvent... :snif:

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Invité Mad_World
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Mad_World

Il me semble que l' on peut triangulariser la matrice carrée initiale.

Et peut-être même ne plus se préoccuper que du vecteur colonne que l' on rajoute à la matrice. Mais je reste convaincu qu' il existe une solution essentiellement graphique. Y a plus qu' à la trouver . :blush:

Si je baisse les bras, je reviens crier "au secours".

Oui elle doit se triangularisée. En fait, elle est même symétrique par construction... Si ça peut aidé pour la solution graphique :coeur:

Courage !!

(j'ai fait le plus facile :snif: )

Mais j'y pense... promis :coeur:

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Invité Mad_World
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Invité Mad_World
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Posté(e)
Il y a une petite particularité qui pourrait vous être utile dans la méthode de construction... en effet si vous connaissez un seul nombre premier quel qu'il soit alors vous pouvez reconstruire le tout à partir de cette seule ligne... La ligne étant elle-même le résultat de la ''redisposition'' des lignes précédentes... peut-être que celà règlerait le problème de conservation en mémoire des lignes précédentes.

De même la méthode avec le triangle offre une capacité de prédiction effective, ce qui permettrait de ''sauter'' des étapes... et de la mémoire du même fait.

Je n'en suis pas sûr. Cette méthode à l'air d'être une récurence forte : le terme "n" dépend du terme "n-1" mais aussi de TOUS les termes précédents. Par conséquent, pour calculer le terme "n" il faut repartir de "1"...

Les termes de la diagonales apparaissent au fur et à mesure.

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Membre, Le prendre au sérieux, nuit gravement à la santé, Posté(e)
azad2B Membre 5 932 messages
Le prendre au sérieux, nuit gravement à la santé,
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Ce problème présente une particularité. On sait que la prévisibilté d' apparition d' un nombre premier est -pour l' instant impossible- or ce "truc" de le Génie permet de le prédire à coup sûr juste avant son apparition, et même en voyant progresser "la diagonale" de voir apparaître le prochain nombre premier 2 ou 3 coup avant qu' il ne se présente. En fait plus on crée de tableaux, (ou ce qui reviens au même, plus il grandit, si l' on n' en fait qu' un) plus la prédiction est aisée

Tout cela est absolument impossible... et pourtant.

Donc le sage doit se dire : il y a un truc.

Je suis curieux de voir si cela fonctionne après le 43ème nombre premier.

Alors Mad_World, si votre simulation peut aller jusque là faites ce test s' il vous plaît.

Le chiffre 43 n' est pas choisit au hasard, car il intervient dans un polynome que je crois on doit à Euler et qui donne les 41,42 ou 43 ème premiers nombres premiers. (Après, ça ne marche plus systématiquement).

Je suis d' accord avec le fait que la connaissance de tous les termes soit nécessaire. Ca aurait été trop beau. Mais je suis persuadé qu' au moment de la vérité on va tous applaudir Le Génie pour cette jolie fantaisie.

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Invité Mad_World
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Je suis monté à plus de 200 nb premiers... donc 43 ne sera pas un soucis. J'essaye demain.

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Invité Mad_World
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Posté(e)

Voici les nombres premiers de 1 à 500 :

ans =

1

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191 <----- 43 ème ligne du vecteur "Nombres_premiers"

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

Il y a 95 nombres premiers entre 1 et 500.

Temps de calcul < 20s

ps : j'ai modifier le programme pour construire la matrice avec diagonal pleine de 1 (au lieu de 0) pour m'amuser avec un petit pivot de gauss... qui n'a rien donné... :blush:

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et voici la répartition graphique des nb premiers de 1 à 500

1a500.jpg

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et si ca peut aider azad : voici la matrice construite pour le nombre 100. On voit des répétition de certains shéma, mais à priori pas de récurence... pas à l'oeil en tout cas.

nppr.png

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Invité Le Génie
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Invité Le Génie
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Posté(e)

''...Je n'en suis pas sûr. Cette méthode à l'air d'être une récurence forte : le terme "n" dépend du terme "n-1" mais aussi de TOUS les termes précédents. Par conséquent, pour calculer le terme "n" il faut repartir de "1"...''

Petite surprise mon cher Mad_World... :snif: J'ai fait un essai en utilisant le triangle et en partant avec seulement une ligne de 12 points ( pour le nombre 13) et on a besoin de remonter jusqu'au nombre 5 ( ligne de 4 points) pour continuer le graphique :bo: ... en partant d'une ligne de 16 points (pour le nombre 17) on a besoin de remonter jusqu'au nombre 7 ( ligne de 6 points)... Ce qui représente une petite économie mais avec de grands nombres celà devrait valoir la peine...

Je vais vérifier si ça fonctionne systématiquement avec chaque nombre premier ( ligne pleine de points) et tenter de vous décrire la procédure en terme simple, ce qui pourrait prendre un certain temps :bo: ... et une certaine quantité de crayons plomb.

''...Je suis d' accord avec le fait que la connaissance de tous les termes soit nécessaire. Ca aurait été trop beau...''

Ne désespérez pas cher Azad2b... Y-a rien de trop beau pour la classe ouvrière... :blush:

Un autre petit miracle n'est pas à exclure... :coeur:

Merci encore à vous deux... votre enthousiasme fait chaud au coeur... :coeur:

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Membre, Le prendre au sérieux, nuit gravement à la santé, Posté(e)
azad2B Membre 5 932 messages
Le prendre au sérieux, nuit gravement à la santé,
Posté(e)

Salut

Je suis toujours sur ce problème, et j' espère bien sortir quelque chose d' intéressant dans les jours qui viennent. Mais j' espère aussi que Le Genie après le résultat de nos trouvailles, nous indiquera les sources de son problème. Ou au moins le processus qui l' a conduit à l' énoncer.

Ce message uniquement pour que le post reste en vie.

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Invité Le Génie
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Invité Le Génie
Invité Le Génie Invités 0 message
Posté(e)

''... Mais j' espère aussi que Le Genie après le résultat de nos trouvailles, nous indiquera les sources de son problème. Ou au moins le processus qui l' a conduit à l' énoncer...''

Il me fera plaisir de réaliser prochainement votre souhait cher Azad2B... :coeur:

Mais avant celà je dois terminer la procédure au sujet du fait que l'on a pas besoin de remonter jusqu'à 1 pour poursuivre la construction du ''triangle'' à partir de n'importe quelle ligne pleine... Et tout comme pour vous j'ai bon espoir de le sortir dans les jours qui viennent... :blush:

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