un sacré casse-tête ln(x)

Bonjour,

J'ai quelques soucis concernant cette fonction f(x) = ln(x). Mon prof de math est parti pendant 1 semaine en stage et nous a laissé commencer un chapitre sur les logarithmes, nous ayant donné comme consigne de faire l'étude complète de cette fonction (domaine de définition, parité, périodicité, dérivabilité, continuité, dérivée, tableau de signe de f', tableau de variation de f, calcul des limites, asymptotes et représentation graphique).

étant donné que je n'ai jamais vu cette fonction, je me demandais comment procéder pour justifier mes réponses (rien qu'au niveau de la justification du domaine de def j'ai des problèmes). Est ce que c'est possible de justifier chaque étape à un niveau term S tout en ne sachant pas du tout ce que représente cette fonction, connaissant juste sa forme sur un repère ou alors je fais dois jouer le rôle de l'élève (voleur, menteur, tricheur) et recopier le bouquin en apprenant les résultats par c¿ur???

Merci.

Bonjour,

Au niveau Tle S Vous ne pouvez pas tout justifier a moins de connaître les théorèmes relatifs aux fonction réciproque... mais j'en doute.

En fait, ln est la fonction réciproque de exp. C'est à dire que pour tout x de IR,

ln(exp(x))=x

PARTIE I : SI VOUS TENEZ A DEMONTRER MALGRE TOUT

Si vous ne voulez pas démontrer passez à la partie II directement

Toutefois vous trouverez avec une rapide recherche le théorème suivant :

SI : Si une fonction f est continue, strictement monotone et dérivable sur un intervalle I de , et si sa dérivée f ' ne s'annule pas sur I,

ALORS : alors sa fonction réciproque f ^-1est dérivable sur f(I).

et on a :

Ce théorème, dans notre cas s'applique en prenant f = exp

Ce qui donne :

SI : Si une fonction exp est continue, strictement monotone et dérivable sur un intervalle I de , et si sa dérivée f ' ne s'annule pas sur I,

ALORS : alors ln est dérivable sur f(I).

et on a :

(ln(x))' = 1 / exp(ln(x)) = 1/x

Donc ce théorème donne l'existance, la continuité et la dérivabilité sur IR+* de ln

Il démontre que

l'ensemble de définition de ln est IR+*

La dérivée de ln(x)=1/x (pour tout x de IR+*)

La dérivée de ln(u)=u'/u (où "u" est une fonction continue bla bla bla)

PARTIE II Etude de la fonction

DE là, vous pouvez alors étudier la fonction.

nous avons vu :

l'ensemble de définition de ln est IR+* : donc pas de parité possible

La dérivée de ln(x)=1/x (pour tout x de IR+*)

La dérivée de ln(u)=u'/u (où "u" est une fonction continue bla bla bla)

Etudions la fonction f telle que

IR+* -> IR

x -> f(x) = ln(x)

Fonction continue et dérivable sur son ensemble de définition (ils'agit d'un fonction usuelle, donc pas de démonstration nécessaire).

Pour tout x de IR+* :

f'(x) = 1/x

De on déduit que :

f'(x) = 0 n'a pas de solution et pour x appartenant à IR+* : 1/x est toujours positif strictement.

Donc on peu tracer le tableau de variation :

x 0 +infini

f'(x) || +

f || croissante strictement

On peut alors dire que ln n'est pas périodique. Pour le démontrer on peu utiliser la bijection. (citer le théorème...) ln est bijective sur tout son ensemble de définition. Or par définition, une fonction périodique n'est pas bijective sur son ensemble car elle reprend plusieurs fois la meme valeur.

Nous allons maintenant chercher les borne de cette fonction ln.

Nous allons employer une méthode peu courante : on va regarder par déduction ce qui ce passe :

nous savons que

exp(ln(x))=x POUR TOUT x de IR+*

Quand x se rapproche de 0, exp(ln(x)) se rapproche de 0

Quand tu regarde la courbe de exp tu te rend compte que exp se rapproche de 0 en -infini. Ca veut dire que quand exp se rapproche de 0, ce qui est DANS exp (ici ln(x)) se rapproche de -infini.

Ce qui signifie que quand x descend vers 0, ln descend vers -infini.

On fait pareil dans l'autre sens maintenant :

Quand x monte vers +infini, exp(ln(x))=x monte vers +infini. Et quand tu regarde la courbe de exp, tu te rend compte que exp se rapproche de +infini quand on va vers +infini (vers la droite). Donc ce qui est dans exp (ici ln(x)) monte vers + infini.

(j'espère que je suis assez clair là ...)

Donc les limites de ln sont : -infini en 0 et +infini en +infini.

Pour les assymptote maintenant.

Pas d'assymptote verticale car la fonction est continue.

Pour les assymptote horizontale

il faut chercher un réel "k" tel que

lim (ln(x) - k) = 0 quand x tend vers infini

regardons de plus près ce truc...

ln(x)-k

en passant à l'exponantielle on trouve :

exp(ln(x) - k) = exp (ln(x)) * exp(-k) = x* exp(-k)

Apellons exp(-k)=A (c'est une constante)

on a :

exp(ln(x)-k) = A*x

on cherche donc un nombre A tel que :

lim (A*x) = exp(0) = 1 quand x tend vers infini... et c'est impossible. Donc ln n'a pas non plus d'assymptote horizontale.

Pour les assymptote oblique, c'est plus compliquer, donc on va laisser tomber. Ln n'en a pas de toute façon.

...

Voila... il ne reste qu'à tracer la courbe : pour cela, sachez que les fonction réciproque ont des représentation graphique symétrique de la fonction de départ par rapport à la droite y=x... En plus simple : tracez exp(x), tracez la droite y=x, faite le symétrique de exp(x) par rapport à la droite (c'est de la géométrie)... et ce que vous obtenez, c'est ln(x)...

Ceci est une manière de faire. Elle est correcte bien que très complexe quand on sait qu'il existe une méthode extrèmement plus simple mais qui n'est pas abordable en Tle... malheureusement.

Sur ce... bonne soirée, et n'hésitez pas si quelque chose vous échappe.

++

ah j'oubliai un truc.

La fonction ln s'annule en 1 (ln(1)=0)

Se démontre en passant par exp toujours et encore...

ln(exp(x))=x

ln(exp(0))=0

ln(1)=0

Voila... comme ln est bijective sur son ensemble entier, il n'existe qu'un seule valeur pour laquelle ln est nule (et cette valeur c'est 1)

++