Hérisson_

L'extrême difficulté de l'étude d'un objet à 4 dimensions, c'est précisément l'impossibilité d'une représentation complète parce que nous sommes plongés dans l'univers physique qui n'en comporte que 3. Nous savons par expérience ce que c'est qu'un segment, un cercle ou une sphère; par contre nous ne pouvons que pressentir ce qu'est un objet de l'hyperespace, parce que nous ne pouvons en obtenir qu'une réduction tridimensionnelle: on peut recourir - soit à la projection orthogonale, par la suppression d'une dimension - c'est en quelque sorte "l'ombre portée" par l'objet dans notre espace 3D; - soit à la projection stéréographique, équivalente à la projection centrale précédemment évoquée au sujet de la géométrie projective; ainsi l'Arche de la Défense résulte de projection stéréographique d'un hypercube dans notre espace 3D. Nous ne pouvons procéder que par analogie, et à condition de maîtriser les transformations géométriques en cause; on ne saurait prétendre avoir compris quoi que ce soit sur le seul visionnement d'une vidéo, exempte de toute information sur les calculs effectués; tout commentaire à ce niveau est inconsistant. Je le sais par expérience, pour avoir étudié par informatique la répartition de (N) points sur la 3-sphère de rayon unité; on est contraint à un effort permanent, et de ne jamais oublier par exemple qu'en tout point d'un plan, on trouve deux perpendiculaires faisant entre elle un angle droit; en effet, dans le repère orthonormé (Owxyz), le plan orienté par les deux vecteurs unitaires (Uw, Ux) est normal aux deux autres (Uy, Uz), eux-mêmes normaux entre eux; et il en va de même pour tout autre plan. L'hypersphère (S3) de rayon (R) centrée sur l'origine est la partie de l'espace vectoriel (R^4) vérifiant l'équation cartésienne: w² + x² + y² + z² = R² ; elle constitue un espace tridimensionnel, duquel la position des points dépend de trois paramètres (s, u, v) indépendants: w = RCos(s)Cos(u) , x = RCos(s)Sin(u) , y = RSin(s)Cos(v) , x = RSin(s)Sin(v) . D'autres paramétrages sont possibles; cependant seul l'effort contraignant d'esquisser quelques calculs élémentaires vous délivrera des considérations fumeuses, et des faux problèmes; vous serez au contraires mieux à même d'apprécier les bonnes vidéos - il y en a - même si vous ne comprenez pas tout.

Les 3 ou 4 messages relatifs relatifs à la géométrie projective répondaient précisément au sens de la phrase amenée en début de discussion. Ton agressivité rance t'a poussé à les dégommer. Imbécile.

Je répond à la demande de Groenland qui souhaitait plus de précision; j'aurais dû effectivement être plus explicite, en donnant les liens et en citant les passages essentiels des articles, accessibles à une compréhension immédiate. Cela se réduit à deux thèmes essentiels: # celui de géométrie projective # celui de point à l'infini Voilà donc la réponse explicite à la question initiale; nulle nécessité, comme je l'avais dit, d'aller chercher plus loin: c'est une question de définitions et d'axiomes: et l'on trouve une illustration directe de ce type de géométrie dans la représentation des paysages et des monuments. Je remercie Groenland et Azad2B de m'avoir donné l'occasion lundi dernier, à propos de la recherche du point de fuite, de découvrir un magnifique site de photographies.

Wahou ! Elle fait fort, la dinde ultracrépidarienne, qui n'a jamais franchi le cap de la règle de trois ! Allez, @DindAlpha, ressaisis-toi, et ôtes tes pattes des mathématiques: c'est très piégeux pour une handicapée de ton espèce ...

C'est perdre son temps que de s'attarder à la remarque de Sa Béatitude Omnisciente, dont il n'est pas exagéré de dire qu'elle ne comprend pas un seul mot des interventions ampoulées dont elle plombe chaque discussion; pour preuve, sa dernière allusion à un univers chiffonné, où la courbure locale varie aléatoirement à l'échelle des distances plankiennes (~10^-35 m): cela a-t-il quelque chose à voir avec le présent sujet ? Non, mais c'est un excellent moyen de couler la discussion. Laissons donc ce pédant ridicule et son galimatias, votre mainate préféré vous procurera un meilleur divertissement. Je maintiens le contenu de ma dernière intervention, et redis que la Relativité n'est pas pertinente, parce qu'elle complique inutilement le problème. La discussion a été lancée sur l'intersection éventuelle de deux droites parallèles, et j'ai dit que cela pouvait relever de la géométrie projective: le temps m'a manqué pour y revenir. Groenland bute en fait sur l'extrême difficulté qu'il y a à se représenter un espace courbe, parce que nous sommes immergés dans un univers physique tridimensionnel localement plat, c'est à dire de courbure nulle; il nous est pratiquement impossible d'en détacher notre pensée, sauf par des analogies ou des artifices qui se révèlent rapidement illusoires. Un procédé analogique consiste à considérer le cas d'un espace bidimensionnel: c'est celui de la fourmi se déplaçant sur l'orange. Mais il faut bien voir qu'il s'agit d'un être fictif d'épaisseur nulle, comme celle d'ailleurs de tous le instruments qu'il serait amenée à utiliser pour la réalisation de l'arpentage; le tout restant confiné sur la surface de la sphère, donc à distance fixe (R) de son centre. Cela passe comme un détail insignifiant, compte tenu de la petitesse de l'insecte; mais en y réfléchissant, c'est une énormité. L'intérêt est pédagogique, car le modèle permet de faire apparaître la notion de géodésique, et d'étudier les constructions qui les emploient. Les propriétés des triangles ont déjà été évoquées; la triangulation sphérique est connue depuis depuis les Arabes, et il n'est pas utile de lancer des calculs qui sont déjà difficiles. Ce qu'il est intéressant de retenir, c'est la somme des 3 angles internes, très proche de 180° dans le cas des petits triangles d'aire (A) très inférieure à R², s'éloigne d'autant plus de cette valeur remarquable que le triangle est plus grand; elle vaut (c'est facile à vérifier) ~ 540° dans le cas d'un triangle couvrant la moitié de la sphère (A ~ 2.Pi.R²). C'est par ce biais qu'on montre qu'un observateur confiné dans cet espace bidimensionnel dispose des moyens théoriques de mettre en évidence la courbure de cet espace, et de la calculer. Il existe par ailleurs des procédés analytiques permettant de réaliser des changements de coordonnées - il y en a deux indépendantes (u, v) dans le cas présent; ce que réalisent les tenseurs, qu'il est hors de question de détailler ici.

C'est une expression défectueuse parce qu'elle implique se placer en dehors de la sphère donc en dehors de l'univers ... ce qui constitue une contradiction dans les termes. Il vaudrait mieux dire que l'univers présente une courbure locale positive et constante. La valeur du rayon de courbure ne pourrait être déterminée que par des mesures de triangulation sur des distances suffisamment grandes, de l'ordre de (R). De la même façon, une fourmi géomètre placée sur une orange parviendrait à connaître la nature de la surface explorée et son rayon de courbure en recourant à l'arpentage: pour tout triangle constitué de 3 géodésiques, la somme des angles aux sommets dépasserait 180°(1). Et en faire le tour correspondrait tout simplement à trois angles plats, donc à une somme de 3*180 = 540 °. (1) Je crois qu'Azad2B a déjà parlé de cela. Et il faut je le répète renoncer à parler de droites, mais de géodésiques, parce que dans le langage ordinaire cela conduit à introduire une portion d'espace plat (de courbure nulle, donc de rayon infini) dans un espace courbe, donc à des contradictions insurmontables dans les représentations envisagées.

C'est cela

Intervention hors sujet; il est ici question de géométrie projective. Donne-toi la peine d'activer le lien qui la concerne.

La projection centrale du point à l'infini sur un plan (ici le plan focal image de l'appareil photo) n'en a pas moins une position parfaitement déterminée. Il y a d'autres belles photos sur le même site. https://www.naturephotographie.com/tutoriels/lignes-de-fuite/

Il faut éviter de tout mélanger ... L'équateur et tout méridien sont des géodésiques de la sphère, et jouent un rôle analogue à celui des droites dans le plan; les cercles parallèles à l'équateur et distincts de celui-ci n'en sont pas, parce que leur rayon est inférieur à celui de la sphère - ils peuvent d'ailleurs se réduire à un point au niveau des pôles; ils ne sauraient représenter le plus court chemin d'un point à un autre. C'est confondre la courbure d'un espace avec sa dimension, c'est à dire le nombre de coordonnées indépendantes définissant sa position. La sphère d'équation x² + y² + z² = 1 , l'hyperboloïde d'équation z² = y² - x² constituent des espaces courbes, non-euclidiens, de dimension égale à 2. L'espace ponctuel associé à R^4, orienté par le repère orthonormé (Owxyz), et muni du produit scalaire (dont je vous épargne la définition) constitue un espace quadridimensionnel euclidien. A l'intérieur de celui-ci, l'hypersphère d'équation w² + x² + y² + z² = 1 correspond à un espace courbe de dimension 3, non euclidien.

L'affirmation " 2 droites parallèles se rejoignent à l'infini ", quoique discutable, peut être considérée comme vraie dans le cadre de la géométrie évoquée, sous réserve de la condition exprimée dans l'axiome cité: deux droites (AC et BD) d'un même plan (AB et CD ont un point commun) ont nécessairement un point d'intersection. Nul besoin d'invoquer une dimension supérieure, ou la théorie de la Relativité qui a) a pour finalité de représenter l'univers physique, et b) fait intervenir 3 dimensions spatiales, et une temporelle (même si la théorie générale les traite de façon identique). Ce qui fait pour toi difficulté, c'est la représentation de la figure.

En confirmation de ma première réponse, voir l'article "géométrie projective", et en particulier l' Axiome I4: Si A B C et D sont quatre points distincts tels que les droites AB et CD contiennent un point commun, alors les droites AC et BD contiennent un point commun.

Encore une fois, ce "point à l'infini" est ajouté à un espace tridimensionnel. Les représentations en sont très nombreuses; voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Point_de_fuite Les travaux d'Einstein sont liés (entre autres ) à ceux de ceux de Poincaré, ainsi qu'à la théorie des tenseurs - c'est un sujet d'histoire des sciences que je n'ai pas le temps d'approfondir.

Sur une sphère, il ne faut plus parler de droites, mais de géodésiques; on se situe alors sur une surface de courbure positive, constituant un espace bidimensionnel non euclidien. La projection dans un plan du point d'intersection à l'infini de deux droites parallèles est connue depuis la Renaissance (*): c'est le "point de fuite" des peintres et des architectes. (*) et probablement même un peu avant - à vérifier dans l'histoire des arts - notamment à propos des oeuvres des peintres du Quattrocento. https://blog-bjl.bjl-multimedia.fr/la-premiere-renaissance-le-quattrocento-xve-siecle/

Bonjour, L'affirmation en cause peut être prise à deux niveaux: a) comme un raccourci abusif de langage, dont il faut user avec réserve, au sens où le point d'intersection entre deux droites sécantes s'éloigne indéfiniment lorsque leur écart angulaire tend vers zéro; b) en géométrie projective, où l'on travaille sur un domaine résultant de l'adjonction à l'espace ordinaire, d'un"point à l'infini". Ce sont des notions assez délicates, tu devrais chercher du côté de "droite affine", "espace projectif". Aucun rapport en tous cas avec la courbure de l'espace-temps: on reste bien dans une espace euclidien tridimensionnel.

Le pire, au sujet du bobard en cause, est qu'il existe effectivement en thermodynamique une énergie libre F = U - TS , dont les propriétés, bien définies, présentent une analogie avec celles de l'enthalpie libre G = H - TS . Malheureusement les amateurs, généralement peu (ou très mal) informés des lois abstraites de la physique, prennent cela pour une énergie gratuitement disponible et en quantité illimitée, sans facturation de la part d'EdF ... de quoi rêver, effectivement. La réponse qui a été faite est à cet égard révélatrice: Il va de soi que tous les fournisseurs d'énergie s'évertuent à cacher cette ressource au public, afin de préserver leur source de revenus; les théories du complot ne sont pas loin, et cela autorise toutes les divagations dans le domaine physique.

La géométrie, une alliée dans la recherche de médicaments contre le SARS-CoV-2 Un nouveau modèle mathématique identifie les zones des protéines du nouveau coronavirus particulièrement vulnérables à d’éventuels traitements. Michael Dhar ( 25 mai 2020) Lorsqu’un virus infecte vos cellules, il modifie votre organisme. Mais pour ce faire, l’agent pathogène, et plus particulièrement certains de ses constituants, change aussi de forme. Un nouveau modèle mathématique repère les régions des protéines virales qui permettent ce changement de forme, révélant une nouvelle façon d’identifier des cibles potentielles pour des médicaments et des vaccins. Cette approche mathématique inédite a été appliquée avec le SARS-CoV-2. Publiée en avril dans le Journal of Computational Biology, la méthode repère les sites des protéines virales où est emmagasinée de l’énergie dite « libre » et que des médicaments pourraient cibler. « Fait rare, ce travail est issu des mathématiques pures », explique l’auteur, le mathématicien Robert C. Penner, de l’Institut des hautes études scientifiques (IHES), à Bures-sur-Yvette, en France, et de l’université de Californie, à Los Angeles, aux États-Unis. « Il y a très peu de mathématiques pures en biologie », ajoute-t-il. « Les prédictions de l’article sont loin d’être vérifiées expérimentalement », pondère John Yin, de l’université du Wisconsin-Madison, mais il convient que l’approche a du potentiel : « Robert C. Penner aborde cette question du point de vue d’un mathématicien, mais un mathématicien très bien informé en biologie. C’est donc très rare. » Les ressorts des protéines La méthode de Robert C. Penner exploite l’idée que la conformation de certaines protéines virales change considérablement lorsque le virus infecte une cellule. Cette transformation dépend de l’instabilité de « sites riches en énergie libre » qui agissent comme des ressorts tendus : lorsqu’ils se relâchent, la protéine change de configuration. Robert C. Penner s’est attaché à repérer ces points « ressort », qu’il nomme « sites exotiques ». En particulier, le mathématicien a examiné les liaisons hydrogène qui se forment entre les domaines parfois éloignés de la protéine mais qui se rapprochent quand elle se replie. Rappelons qu’une protéine est constituée d’une série d’unités, des acides aminés, reliées en une chaîne par des liaisons covalentes très stables, des liaisons peptidiques. À celles-ci s’ajoutent des liaisons plus faibles, dites « hydrogène », entre acides aminés plus ou moins distants, entraînant parfois la rotation des uns par rapport aux autres. Ces torsions stabilisées stockent de l’énergie libre qui pourra être débloquée lors d’un changement de conformation : ce sont les « sites exotiques » ressorts que Robert C. Penner a traqués. Pour ce faire, Robert C. Penner a appliqué divers outils mathématiques sur une immense collection de structures protéiques, en fait un échantillon représentatif de protéines prélevé dans une base de données (la Protein Data Bank, PDB). Avec ses collègues, il a examiné quelque 1,17 million liaisons hydrogène pour ensuite les classer en différents types de rotation et établir la fréquence d’occurrence pour chacun. Pour y parvenir, Robert C. Penner s’est tourné vers la géométrie. Au XIXe siècle, le mathématicien Carl Friedrich Gauss a montré qu’il était possible de décrire de façon unique toute rotation dans l’espace tridimensionnel en précisant l’axe autour duquel cette rotation s’effectue et l’ampleur de la rotation (de zéro à 360°). Pour une protéine donnée, vous pouvez représenter chaque rotation par un vecteur dont la direction correspond à l’axe de la rotation et la longueur à l’amplitude de la rotation. Rassemblez tous les vecteurs obtenus de façon qu’ils aient la même origine, et vous obtiendrez une représentation de toutes les rotations possibles au sein de la protéine. Un oursin de vecteurs L’ensemble de ces flèches constitue une boule tridimensionnelle hérissée, une sorte d’oursin avec lequel on peut faire des calculs. Robert C. Penner a cartographié les différentes rotations repérées dans la PDB sur de telles boules, puis a déterminé la fréquence de chacune d’entre elles en les classant selon la densité en vecteurs dans la région qui l’entoure dans la structure. Un constat : les rotations dans les parties les moins denses de la boule sont les plus rares. Or on a constaté que la fréquence d’une caractéristique dans une protéine est liée à une fonction de son énergie libre. Plus précisément, plus les caractéristiques sont rares, plus les énergies libres associées sont élevées. De là, Robert C. Penner a réussi à identifier les « sites exotiques » qu’il recherchait, ces régions cruciales dans le changement de conformation des protéines lors de l’infection. L’efficacité de la méthode a été testée : elle a bien repéré les sites fonctionnels déjà connus pour divers types de virus (grippe, méningoencéphalite à tiques, stomatite vésiculaire…). Mais d’autres sites inconnus jusqu’alors ont été mis au jour. Ils pourraient être des cibles prometteuses pour de nouveaux médicaments. « Si des expériences valident les sites d'intérêt identifiés par Robert C. Penner, l’approche sera en effet prometteuse », affirme Arndt Benecke, de l’institut de biologie Paris-Seine, et collaborateur du mathématicien. « Les sites riches en énergie libre deviendraient alors automatiquement des cibles, ce qui n’est pas le cas aujourd’hui », complète-t-il. « Et tout ce que l’on imaginait de l’action d’un médicament ou d’un anticorps changerait ». Et le SARS-CoV-2 Dans une étude publiée le 13 mai 2020, Robert C. Penner annonce avoir identifié trois « sites d’intérêt exotiques » sur la protéine S du SARS-CoV-2 à l’origine du Covid-19. Ils doivent maintenant passer sous les fourches Caudines des tests en laboratoire. « Les expérimentateurs doivent montrer que frapper ces sites libère effectivement de l’énergie libre, explique Arndt Benecke. Autre obstacle à surmonter, ces sites pourraient rester inaccessibles aux petites molécules : on doit s'assurer que ce n'est pas le cas », ajoute-t-il. Et tout éventuel traitement ciblant ces sites doit réussir aux tests habituels d’efficacité et de sécurité d’abord sur des modèles animaux, puis sur les humains. Néanmoins, si elle fonctionne, la méthode aurait des applications sur un plus large éventail de cibles, comme les protéines de signalisation et même les prions, ces protéines mal repliées qui sont à l’origine de maladies dont celle de la vache folle. « Cela pourrait aller bien au-delà des virus », rêve Arndt Benecke. https://www.pourlascience.fr/sr/covid-19/la-geometrie-une-alliee-dans-la-recherche-de-medicaments-contre-le-sars-cov-2-19505.php?from=EMA20STD&utm_source=email&utm_medium=email&utm_campaign=nl_pls_covid19_N13

Le tracé d'un faisceau de graphes permet de mieux comprendre l'évolution temporelle du nombre de personnes contaminées (Ncas) et de la vitesse de propagation de la maladie pour diverses valeurs de la constante de contamination (Kcont). Celles-ci restent relativement faibles, car elle correspondent une évolution modérée et maîtrisée de l'épidémie, dont il est hors de question d'envisager l'extension à toute la population; le nombre total de cas détectés reste limité (Ncas ≤ 500E3 env.) pour que l'équation de propagation reste valide. On envisage donc pour la constante de contamination une série de nouvelles valeurs inérieures à la valeur initiale: K1 = Cf * Kini comme le définit l'extrait suivant du programme source PROCEDURE Calc_Mat_Im2(La, Ha: Z_32; VAR K_1: Reel; VAR Ma1, Ma2: Tab_Pix); CONST Nmax = 8; Cf: ARRAY[0..Nmax] OF Reel = (0.00, 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.06, 0.08, 0.10, 0.12); VAR k: Byte; Xm, Ym: Z_32; BEGIN ZeroM(Matrice_2); Axes_Grad(Xcen, Ycen, Larg_Image, Haut_Image); FOR k:= 0 TO Nmax DO BEGIN K_1:= Kini * Cf[k]; P0; TraceG1(k/Nmax, 0, Nval - 1, Haut_Image, LstN1); // TraceG2(k/Nmax, 1, Nval - 1, Haut_Image, LstV1); END END; On retrouve parmi les 9 cas représentés celui du confinement total (K1 = 0) et celui du régime quasi-linéaire: K1 = 0.08 * Kini = 0.08 * 1.181073 = 0.0944858 ~ 0.1 . On constate a) que le contrôle de l'épidémie implique une réduction de la constante de contamination à un niveau suffisamment faible: K1 <~ 0.8 * Kini , conformément à l'intuition, et b) que la vitesse de propagation présente des rebonds intrinsèques, indépendants de toute entorse illégitime aux règles de confinement.

Pour évaluer l'effet du confinement sur l'évolution de l'épidémie, il faut envisager une constante de contamination (Kcont) dépendant du temps. Nous nous limiterons au cas de la France et supposerons que la grandeur considérée: a) présente jusqu'au 17 mars inclus une valeur fixe (Kini) correspondant à l'expansion libre de la contagion, b) prend dès le lendemain (le 18, date d'entrée en vigueur du confinement) une valeur plus faible (K1), elle aussi constante. On supposera de plus que le nombre de cas détectés dans la phase initiale d'expansion (0 < x < 18) suit une loi exponentielle de la forme: Ncas = A*Bx ; et retiendra les moyennes entières approchées résultant d'une régression semi-logarithmique sur les données officielles relatives aux 17 premiers jours de mars; la tambouille numérique, incontournable mais dépourvue d'intérêt, a été déléguée à la calculatrice; on trouve ainsi, à partir de la relation Ln(Ncas[x]) = a + b.x : a = 4.766 949 355 1408 ; A = Exp(a) = 117.560 060 377 67 ; b = 0.260 409 300 8936 ; B = Exp(b) = 1.297 461 029 966 ; K = E(5b)(E(b) - 1)/(1 - E(-10b)) = 1.181 072 956 4867 , et pour la déclaration des constantes CONST NtotJ = 60; Jlim = 17; Kini = 1.1810729564867; K1 = 0.0; // valeur modifiable TYPE Tab_E = ARRAY[1..NtotJ] OF Z_32; // Z_32 = LongInt CONST LstIni: ARRAY[1..Jlim] OF Z_32 = // mars 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( 153, 198, 257, 333, 432, 561, 728, 944, 1225, 1589, 2062, 2675, 3471, 4504, 5844, 7582, 9837); C'est à partir du 18me jour qu'intervient une forme généralisée de la relation fonctionnelle évoquée dans les précédents messages; l'augmentation observée du jour actuel par rapport à la veille du nombre de personnes contaminées est désormais donnée par la somme de 10 termes proportionnels au nombres de cas apparus 5 à 15 jours auparavant, soit: Nk - Nk - 1 = Σi=515(Kcont(K1, k - i - 1)*(Nk - i - 1 - Nk - i - 2) ; La progression de l'épidémie à partir de la même séquence initiale (sur les 17 premiers jours) a été calculée et représentée sur 60 jours dans deux cas particuliers: a) celui du confinement idéal et absolu, caractérisé par un taux de contamination nul (K1 = 0); b) celui correspondant à une progression linéaire de l'épidémie, et une constante de contamination K1 = 1/10 (voir le message précédent); chaque personne atteinte en contaminant en moyenne une autre sur toute sa période contagieuse. Voici les graphiques correspondants a) au confinement absolu: remarquer que le pic de l'épidémie arrive 5 jours après le début du confinement, et que le nombre de cas est presque triplé sur cet intervalle; le caractère ravageur de l'épidémie est bien lié à la période d'incubation silencieuse, au cours de laquelle la personne a transmis la maladie; b) à la progression quasi-linéaire: le graphe (rouge) des variations du nombre de cas se confond alors pratiquement avec une droite.

Notation à reprendre dans le texte précédent, concernant la constante de contamination un + 1 – un = Kcont(un - 5 – un - 15) N0.em(k + 1) - N0.emk = Kcont(N0.em(k - 5) - N0.em(k – 15)) on en tire : Kcont = e5m( ...) = 0.91 # La linéarité de la relation fonctionnelle: un + 1 – un = Kcont(un - 5 – un - 15) a pour conséquence que toute combinaison linéaire un = λ.vn + μ.wn exprimée à partir de deux solutions particulières (vn, wn) est elle aussi solution de la même équation - cela se vérifie très facilement. # On peut envisager comme autre solution particulière une fonction affine, de la forme: un = a + b.n ; l'injection de cette expression dans la relation fonctionnelle conduit à l'équation: b.(10Kcont - 1) = 0 , et fait apparaître deux possibilités: a) Kcont= 1/10 - les termes (a) et (b) dépendant alors des conditions initiales; b) b = 0 , ce qui ramène la solution à une constante uk = a , solution triviale dépourvue d'intérêt. # Rien n'interdit enfin de recourir aux exponentielles complexes, et de reprendre l'expression de la constante réelle: K = e5m(em – 1)/(1 – e-10m) en posant m = i.φ ; il vient alors un résultat d'un simplicité déconcertante: Sin(5φ) = 0 dont je n'ai pas exploré les conséquences. Ces solutions périodiques pourraient expliquer les oscillations que présente la vitesse de propagation; la prudence s'impose cependant, car il pourrait s'agir d'un fait illusoire lié à la trop grande simplicité du modèle (et au rapport entier intervenant entre les bornes de la période de contamination: 15/5 = 3 , PGCD(5, 15) = 5). Ci-dessous le graphe (mis à jour le 27/04) des variations du nombre de cas cumulés (en rouge) et de la vitesse de contamination (en jaune); il confirme la présence d'oscillations dont la période est de l'ordre de 7 jours ... Les fugueurs du week-end réactiveraient-ils la contagion ?

L’énoncé posé par hell-spawn mérite qu’on s’y arrête, bien qu’il soit nécessaire de reprendre certaines données, et que la situation ait considérablement évolué depuis six semaines. Si on admet que le nombre de cas de contamination double tous les 3 jours, que la période d'incubation est de 15 jours, qu'il y a aujourd'hui 6000 cas diagnostiqués, combien de personnes sont réellement contaminées à l'instant présent ? Supposons la personne contaminante à taux constant entre le 5me et le 15me jour, délai au-delà duquel la transmission du virus cessera par hospitalisation ou confinement absolu – ce sont là des hypothèses idéales et simplistes, mais qui permettent de voir ce qui se passe. Le nombre de nouveaux cas apparaissant au lendemain du nième jour est alors proportionnel à ceux qui se sont préalablement déclarés, entre 5 et 15 jours plus tôt ; cela se traduit par la relation fonctionnelle : un + 1 – un = k(un - 5 – un - 15) qui admet pour solution toute fonction exponentielle uk = N0.emk . Un doublement de l’effectif tous les 3 jours se traduit par la relation : e3m = 2 d’où : em = 21/3 ; on obtient en injectant la solution dans la première équation : N0.em(k + 1) - N0.emk = k(N0.em(k - 5) - N0.em(k - 15)) ce qui donne par simplification : em – 1 = k.e-5m (1 – e-10m) ; on en tire : k = e5m(em – 1)/(1 – e-10m) = 25/3 (21/3 - 1)/(1 - 2-10/3 ) = 0.916 , soit un peu moins d’un nouveau cas par jour et par personne contaminante. Ce résultat paraît relativement faible par rapport au nombre de rencontres fortuites quotidiennes ; chaque personne cependant en aura contaminé 9 autres à l’issue de la période de 10 jours, au cours de laquelle elle émet des germes infectieux : d’où l’emballement exponentiel de la contagion, qu’aucun état ne peut supporter à long terme.

L'expression utilisée ne vérifie pas la relation y(t + 3) = 2y(t) , typique d'une fonction exponentielle. Il faut partir sur une autre base pour retrouver cette dernière - je n'ai pas le temps de développer ici les calculs.

C'est tout à fait conforme à ce qui avait été exprimé le l6 mars, dès le lancement de la discussion: Si on admet que le nombre de cas de contamination double tous les 3 jours, que la période d'incubation est de 15 jours, qu'il y a aujourd'hui 6000 cas diagnostiqués, combien de personnes sont réellement contaminées a l'instant présent ? ... / ... Si on compte tous les 3 jours et vu qu'il y a 3*5 jours d'incubation on a 2^5 fois plus de cas de contaminés a l'instant t que ceux qui sont diagnostiqués, donc déclarés. Conclusion: Aujourd'hui il y a 6000*32 personnes infectées en France Et si on compte de jours en jours c'est un suite géométrique de raison 2^(1/3) soit une multiplication du nombre de cas de 1,26 a peu près chaque jour Une regrettable confusion s'est ici installée dans la formulation du problème: il ne s'agit pas de la croissance d'une population dont l'effectif (N) varierait au cours du temps selon la loi: N' = (dN/dt) = k*N*(1-N/a ) , mais de la propagation d'une maladie au sein d'une population d'effectif donné (N), dont l'expression la plus simple, immédiatement accessible à l'intuition est y'= (dy/dt) = ky(N - y) - formellement très proche de la précédente. J'ai tenté de montrer l'apparentement qui intervient entre l'exponentielle et la sigmoïde, par la similitude des équations différentielles qui permettent de les introduire: y' = kNy et y' = k(N - y)y ; et j'ai signalé en quoi elles n'étaient pas adaptées à l'évolution de l'épidémie présente, dont la croissance, beaucoup plus complexe à décrire, fait intervenir un décalage temporel entre la valeur actuelle (y) du nombre de personnes contaminées et la vitesse (y') de contamination observée à la même date. Il serait intéressant d'explorer cette piste.

Bonjour, Je reproduis ici un texte court en français, disponible sur Futura Scuences https://www.futura-sciences.com/sante/definitions/biologie-exosome-8301/ Un exosome est une machinerie cellulaire capable de dégrader l'ARN. Structure de l’exosome L'exosome est un complexe protéique, spécifique des eucaryotes et des archées, composé d'un cœur central (formé de six protéines à activité ribonucléase) et de protéines annexes (possédant un domaine de liaison à l'ARN). Fonction de l’exosome L'exosome a pour fonction de dégrader les molécules d'ARN, de grande (ARN messager) ou de petite taille (ARN ribosomique...), dans le but d'éliminer ceux qui ne sont pas corrects. La dégradation se fait progressivement par l'extrémité (appelée 3') de l'ARN. Un article plus complet est consultable sur Wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Exosome_(vésicule) Les références abondent, mais sont pour la plupart rédigées en anglais; pour s’en tenir aux plus récentes : https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC6377728/ https://www.novusbio.com/research-areas/cell-biology/Exosome-research-tools

Il faut avoir à l’esprit les hypothèses qui ont permis l’établissement du modèle simple de propagation de l’épidémie , notamment celles selon lesquelles les personnes atteintes deviennent toutes contaminantes, immédiatement – en fait dès le lendemain, le temps étant compté en jours - et le demeurent indéfiniment, ce qui suppose : a) qu’elles poursuivent leur activité ordinaire, et souffrent peu de leur état, b) que le mal dont elles sont atteintes leur apparaît suffisamment bénin pour qu’elles ne changent rien à leurs habitudes, et n’adoptent pas de comportement de distanciation sociale - ce qui se traduit par l’attribution une valeur constante au facteur (k) présent dans l’équation différentielle initiale ; c) que leur contamination est néanmoins détectable, ce qui permet un suivi de l’épidémie par les organismes de santé publique. L’arrivée du pic de l’épidémie, correspondant au point d’inflexion de la sigmoïde, de même que le palier quasi-horizontal qu’elle présente ont une cause purement arithmétique : la raréfaction progressive des personnes indemnes, dont l’effectif (N – y) tend vers zéro. Le résultat obtenu décrirait plutôt la propagation d’une rumeur, ou d’une grippe. Or il ne s’agit pas du tout de cela : nous restons très loin d’une contamination totale de la population (3 à 11 % selon les régions, d’après le document précédemment fourni) ; et le modèle initial ignore plusieurs données importantes de la pandémie actuelle : # la présence d’une large majorité de porteurs sains, non détectés ; # la durée finie de la période sur laquelle se manifeste le caractère contagieux, qui s’étend approximativement entre le 5me et le 15me jour suivant la date de contamination , et qui cesse au-delà par rémission spontanée ou contrainte (confinement, hospitalisation ou décès); # La vitesse de propagation de l’épidémie peut être fortement réduite par des mesures de confinement appropriées - avec retard cependant, compte tenu du délai d’incubation au cours duquel les personnes bien portantes peuvent répandre le virus ; l’effet attendu pouvant être fortement compromis par le contournement de la loi (exode, rassemblements publics, réunions clandestines) ou dès la reprise partielle de l’activité économique. De plus, on ignore tout d’une éventuelle atténuation de la virulence du germe, qui de toutes façons n’interviendrait qu’au bout de plusieurs mois. L’évolution de l’épidémie dépend donc uniquement de l’efficacité des mesures de confinement imposées par l’état. Voici, à titre de comparaison, les graphes mis à jour de l'épidémie : - en rouge: nombre cumulé de cas graves en France, listés à partir du 1er mars, - en jaune: vitesse de propagation de l'épidémie (nombre de nouveaux cas quotidiens), - en vert: taux de variation de la vitesse (dérivée seconde du nombre cumulé de cas).