Kahler

@zenalpha le jeu de la vie est codé sur ordinateur, la structure mathématiques lui étant isomorphe y est inscrite, je vois pas ce que le matheux louperait? Oui il parait difficile d'accéder à une compréhension parfaite de la structure mathématiques dans laquelle nous évoluons, on peut cependant en avoir une bonne approximation, mais en principe cette structure existe indépendamment de notre connaissance sur sa forme exacte. @Spontzy toutes les propriétés de la chimie sont dérivables de la physique quantique, la résolution de l'équation de Dirac pour l'atome d'hydrogène nous renseigne sur ses propriétés atomiques (nombres quantique, spin, orbitales, etc.), les termes spectroscopiques également etc. Une théorie du tout fournira une description complète de tous les phénomènes, Newton a unifié la chute des corps et l'orbite des planètes, Maxwell le champ magnétique et électrique, Einstein l'espace et le temps, Dirac relativité et théorie quantique, Weinberg, Salam et Glashow l'interaction faible et électromagnétique, puis enfin le modèle standard, aujourd'hui l'objectif est d'unifier le modèle standard avec l'interaction gravitationnelle, l'histoire des sciences nous permet de supposer que cette unification aura lieu dans le futur.

Ca ne rend pas l'hypothèse fausse pour autant, on a juste des systèmes indécidables qui approximent une réalité descriptible par des systèmes décidables qu'on a toujours pas trouvé ou utilisé. On est vraiment qu'au début de la recherche scientifique, c'est pas si étonnant qu'on se restreigne aux outils mathématiques les plus simples à manier, après tout ça marche, mais d'après l'hypothèse de Tegmark à un moment ça coincera.

On en revient à l'hypothèse de Tegmark sur l'hypothèse de l'univers mathématiques, en fait comme je l'expliquais il restreint le paysage mathématiques aux structures calculables, je cite wikipedia : " In[3] (sec. VII) he gives a more detailed response, proposing as an alternative to MUH the more restricted "Computable Universe Hypothesis" (CUH) which only includes mathematical structures that are simple enough that Gödel's theorem does not require them to contain any undecidable or uncomputable theorems. Tegmark admits that this approach faces "serious challenges", including (a) it excludes much of the mathematical landscape; (b) the measure on the space of allowed theories may itself be uncomputable; and (c) "virtually all historically successful theories of physics violate the CUH".

@zenalphace qui n'arrive pas si on se restreint aux systèmes décidables et fonctions calculables. Tous les systèmes ne sont pas indécidables, donc on prend seulement les autres.

@zenalpha personne ne nie le phénomène d'émergence, enfin j'espère. Le jeu de la vie est un bon exemple que de règles simples des phénomènes complexes peuvent émerger, mais ça ne réfute absolument pas le réductionnisme dans la mesure où absolument tous les déplacements des automates cellulaires sont déterminés par avance par les lois régissant leurs mouvements. De la même manière on pourrait réduire notre réalité physique à la structure mathématiques lui étant associée.

@Spontzy en effet, seule la valeur des arguments compte, au final on s'en fout de la personne qui les émets, beaucoup de gens semblent ne pas le comprendre.

Je suis réductionniste^^ Pour moi tout est dérivable des composants fondamentaux du réel, la science elle-même est réductionniste, la compréhension d'un objet passe par la compréhension de ses composantes.

Je ne vois pas bien comment une structure mathématiques aurait pu commencer à exister? Il y aurait un moment où la possibilité même du concept n'existait pas? L'hypothèse ne vient pas de moi, comme précisé plus haut, je ne suis qu'étudiant mais les grandes questions m'intéressent, rien de +. Et je ne vois absolument rien de religieux, je trouve simplement l'hypothèse cohérente et explicative, si on m'en propose une meilleure alors je changerai d'avis.

J'ajouterais qu'on connait encore très peu de systèmes formels, on sait encore absolument rien du paysage mathématiques possible, ma supposition c'est qu'on découvrira de nouvelles mathématiques au fur et à mesure qu'on sondera le monde physique.

@zenalpha je pensais à mal défini dans le sens "non calculable", oui le système est défini mais ses conséquences sont impossible à dériver, donc sa manifestation physique n'est juste pas possible sinon ça contredirait le fait que le système soit indécidable. @Spontzy l'arithmétique de Skolem contient la multiplication et est parfaitement décidable : https://en.wikipedia.org/wiki/Skolem_arithmetic De + les préférences n'entre pas en compte quand il s'agit de chercher ce qui est vrai.

@zenalpha je parle d'indéfinissabilité dans le sens où il n'existe aucune relation permettant la preuve d'un énoncé. Si un système formel permet de déduire que des énoncés vrais sont indémontrable c'est que le système est mal défini. Le fait que la complexité des systèmes formels complet soit excessivement limité ne me pose aucun soucis, une riche complexité peut tout de même dériver de tels systèmes. Dans l'arithmétique de Peano oui, je ne connais pas toutes les mathématiques mais il existe probablement d'autres système où la multiplication est possible, en tous les cas la multiplication n'est qu'un cas particulier d'addition donc bon.

@Spontzy Je suis d'accord qu'absolument toutes nos théories physique sont non-calculable, mais ce ne sont que des approximations, on peut très bien bâtir la physique sur de nouvelles bases. On a des théories topologiques constructives : https://ncatlab.org/nlab/show/point-free+topology La théorie des topoï est également une approche prometteuse : https://fr.wikipedia.org/wiki/Topos_(mathématiques) On a même des théories de la relativité restreinte qui supposent un espace-temps discret : https://fr.wikipedia.org/wiki/Relativité_doublement_restreinte C'est comme dire que parce qu'on utilise Navier-Stokes pour modéliser la dynamique des fluides, alors les particules constituant ce fluide sont infiniment petites, c'est juste faux, on a un modèle simple approximant une réalité plus complexe. D'ailleurs on évalue pas vraiment nos théories, mais des approximations de celles-ci, on a jamais mesuré un phénomène physique avec une précision supérieure à 10^-17.

@zenalpha vidéo très intéressante! Je connais bien le théorème de Gödel cependant le problème c'est qu'en autorisant des systèmes formels incomplet à avoir une existence ontologique aussi réelle que les systèmes formels complet, on arrive à la conséquence qu'il existe des objets indéfinis, la nature ne peut pas être indéfinie, ça a pas de sens. La nature sait ce qu'elle fait après tout. Et comme je le disais dans un post précédent c'est en considérant l'infini comme quelque chose de réel qu'on abouti à des absurdités du genre, par exemple les supertâches : https://en.wikipedia.org/wiki/Supertask Et mon paradoxe favori, la lampe de Thomson : https://en.wikipedia.org/wiki/Thomson's_lamp, en considérant l'infini comme quelque chose de réel alors on pourrait établir des supertâches, par exemple allumer et éteindre une lampe une infinité de fois en un temps fini, par exemple imagine que tu allumes une lampe au bout de 60s, puis l'éteins au bout de 30s, puis tu la rallumes au bout de 15s, etc, on sait d'après les séries infinies, qu'une telle série converge, ici au bout de 2mn. Question : la lampe sera t-elle allumée ou éteinte après 2mn? Si elle est allumée ou éteinte alors l'infini est pair ou impair, donc fini dans le sens où seuls les entiers sont pair ou impair, dans le cas contraire la question n'a pas de réponse. En ne considérant que les systèmes complets on se retrouve avec une ontologie des mathématiques cohérente et satisfaisante, le fait que le premier théorème de Gödel soit prouvable est sûrement une indication sur le fait que des systèmes incomplet ne peuvent pas vraiment exister.

@zenalpha en fait je pense qu'on en sait encore trop peu pour se prononcer avec certitude, je reste sur ma position et je suis absolument convaincu qu'on arrivera à une description purement syntaxique, sans aucune interprétation, de la nature. Je pense pas qu'il y ait une interprétation du théorème de Gödel, c'est juste un énoncé purement syntaxique, on peut s'en faire une interprétation mais objectivement il ne devrait pas en avoir, sinon il dépendrait de notre existence.

Ah ok je crois savoir d'où vient la confusion, je parle de logique constructiviste (ou intuitionniste) pas de la philosophie constructiviste en mathématiques. C'est 2 choses différentes bien que liées. Et le principe du tiers exclu ne dit rien quant à l'existence a priori des objets mathématiques, ou plutôt il dit simplement que les objets non calculable n'existent pas. A partir de là si on a un système formel, tout ce qui en découle doit nécessairement exister peut importe qu'on le découvre ou non, les maths c'est juste une énorme tautologie, tout ce qui découle d'un système formel (en principe, indépendamment de l'ingéniosité humaine pour découvrir ses conséquences) existe tout autant que le système formel lui même. Si P->Q, qu'on a P et que le modus ponens fait partie intégrante de notre système alors Q existe nécessairement, indépendamment de si un humain a eu l'intelligence de le découvrir. Il n'y a pas de maths plus vraies, tant qu'il y a cohérence et complétude du système formel leur vérité est tout autant réelle, ce sont juste des structures indépendantes qui ne peuvent pas interagir les unes sur les autres (sauf si des relations les relient)

@Spontzyje suis moi même constructiviste, je ne vois aucun problème avec une existence indépendante des vérités mathématiques, la logique constructive c'est juste une logique classique dans laquelle on retire le principe du tiers exclu, rien de +, les considérations philosophiques derrières importent peu. Toutes les logiques ont une existence équivalente, elles ne sont que des structures mathématiques particulières : https://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_algébrique Tant que les systèmes formels sont récursifs, ont un modèle et sont donc complet, ils existent. Les mathématiques peuvent tout expliquer dans la nature, en théorie, mais rien ne dit que ça continuera, si l'hypothèse de l'univers mathématiques est fausse alors on est condamné à l'ignorance, il y aura un moment où on ne pourra simplement plus étudier la nature. Les maths décrivent notre univers et également des univers totalement distinct du nôtre, c'est un argument en faveur de son existence indépendante de notre univers, en fait chaque structure mathématiques possible décrit un univers, l'ensemble vide, le cube, l'algèbre de Heyting etc. décrivent tous des univers distincts, des univers très simple comme le singleton {0} et d'autres beaucoup plus complexe comme la théorie quantique des champs.

Les problèmes liés à l'incomplétude viennent principalement du fait que nous considérons des éléments infinis, l'incomplétude et l'indécidabilité disparaissent quand on restreint nos structures mathématiques aux fonctions récursives (ou calculables). Ça restreint juste le paysage mathématique, mais ça ne pose aucun problème. Je crois pas à l'infini, je suis persuadé que l'espace-temps est fini et discret, ne serait-ce que par l'absurdité de la réalisation de supertâches, ce qu'on ferait à chaque instant en parcourant une infinité de points au moindre mouvement dans l'espace et/ou le temps. La calculabilité est un aspect fondamental de la réalité, et on commence à y voir sa relation particulière avec les mathématiques.

Pourquoi ça? :/

Ah ok je comprend mieux les remarques de @zenalpha maintenant x) Oui les symboles et les découvertes mathématiques ont une origine humaine, mais les concepts en eux mêmes sont éternel, le théorème de Pythagore n'a pas commencé à devenir vrai il y a 3000 ans, ça n'a aucun sens. Et si il existe des systèmes complets, il suffit (grossièrement) que la théorie n'y démontre pas les théorèmes de base de l'arithmétique, par exemple la géométrie euclidienne est complète. Si tu fais références à l'ensemble de toutes les structures mathématiques calculables possibles, il en existe une infinité dénombrable pouvant être représenté sous forme de listes de bits. Ainsi le multivers mathématiques (la réunion de toutes les structures mathématiques) n'est pas une structure mathématiques, donc pas un membre de lui même, on évite ainsi un paradoxe à la Russell. L'univers mathématiques n'a pas de cause première, il existe nécessairement. Et les phénomènes sociaux peuvent être modélisé mathématiquement (cf : théorie des jeux, systèmes dynamiques et chaotiques etc.). En fait on pourrait en principe tout prévoir si on connaissait la structure mathématiques isomorphe à notre réalité physique (une théorie du tout).

@zenalphaYep je connais, il a raison sur le fait que c'est un miracle cette dualité entre maths et physique, enfin c'est un miracle seulement si on dissocie les 2 comme si ils étaient ontologiquement distinct. Pour conceptualiser un univers purement mathématiques j'aime bien faire l'analogie avec l'hypothèse de la simulation, imaginons que notre univers soit une simulation informatique, alors il serait complètement mathématiques, l'ordinateur manipulant essentiellement des bits soumis à des instructions mathématiques. Il y a d'ailleurs une corrélation entre information et mathématiques (cf : correspondance de Curry-Howard).

Oui, toute information du monde extérieur est subjectivement perçu, la réalité si elle existe est nécessairement indépendante de nous, donc objective, et c'est précisément ça l'argument, les seuls concepts qui ont une existence objective sont les concepts mathématiques, on peut les imaginer en couleurs, les représenter avec diverses symboles, mais les relations qu'ils entretiennent sont inchangeable, elles existent et ne peuvent être différentes, c'est un absolu. Après il y a la question de savoir si l'on peut faire confiance à sa propre pensée, et une réponse semble impossible donc on suppose que oui pour des raisons pragmatiques évidentes (au moins dans le cadre scientifique évolutif actuel). L'hypothèse de l'univers mathématiques résout le problème de la cause première, si la réalité est mathématiques alors elle existe de manière atemporelle, les structures mathématiques n'ont pas commencé à exister à un instant. Certaines structures possèdent une notion de temporalité et spatialité en elles, comme l'espace de Minkowsi, mais la structure "espace de Minkowsi" n'existe pas dans l'espace ni le temps, elle existe de toute 'éternité'.

@zenalphaLes arguments psy c'est pour Anna on est d'accord?

Mon postulat est indémontrable mais pas indécidable, ce n'est même pas une proposition mathématiques donc au final ça importe peu. Ma seule intention est de comprendre pourquoi les choses sont comme elles sont, on va dire que je suis en quête d'une théorie du tout philosophique : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_du_tout_(philosophie) Je suis guidé par un seul principe, celui de raison suffisante, à savoir que chaque fait à une explication, le monde existe, ça demande donc une explication. L'hypothèse de l'univers semble y répondre, bien que difficilement falsifiable, la cohérence y est, et c'est tout ce qui importe. Au final je comprend pas bien quelles sont vos critiques? Vous rejetez le réalisme, donc vous êtes + idéaliste, solipsiste? Quels sont vos arguments?

L'hypothèse de l'univers mathématiques a été proposée par le cosmologiste Max Tegmark, elle reprend des idées du platonisme et du réalisme structurel ontique. L'idée centrale se base sur 1 postulat : - la réalité est indépendante des humains qui la compose L'argument découle directement de ce postulat, si la réalité est indépendante des humains elle doit être objective, donc dénué de tout bagage humain, les seuls objets qu'on sait être objectif et dénué de tout bagage humain sont les objets mathématiques, la vérité d'un énoncé mathématiques ne dépend pas de celui qui l'observe, 2+2=4 est une vérité absolue (suivant un système axiomatique donné). Comment passe t-on du physique au mathématique? Si il existe une structure mathématiques isomorphe (au sens de l'isomorphisme fort 'ou naturel' de la théorie des catégories) à notre monde physique, donc qu'il existe une correspondance bijective entre tous les éléments du monde physique et de la structure mathématiques considérée, alors par définition de l'isomorphisme les 2 structures (physique et mathématiques) sont les mêmes. J'anticipe les critiques donc je vais tâcher d'y répondre en avance : Comment l'univers peut être mathématiques, les objets abstraits ne peuvent rien causer. - Les objets mathématiques ne peuvent rien causer sur d'autres structures indépendantes, mais peuvent être en relation avec divers objets de la même structure, en ce sens nous sommes des sous structures conscientes d'une structure mathématiques particulière (dont on ne connait pas encore la nature, d'où les tentatives d'unification des lois physique), pour un observateur inclus dans notre structure mathématique les phénomènes semblent avoir une dynamique propre, une texture, des couleurs etc. mais pour un observateur extérieur ce n'est qu'une structure spécifiée uniquement par ses relations totalement atemporelle et non spatiale. Imaginons un observateur dans un univers dont la structure inclus un espace de Minkowsi, pour lui les choses semblent se produire à travers le temps, mais pour un observateur extérieur son univers est simplement une structure quadridimensionnel statique et éternel, un peu comme le contenu d'un dvd (cf : univers bloc). Les théorèmes d'incomplétude de Gödel empêche l'existence d'un tel multivers mathématiques. - En effet, d'où la restriction aux structures mathématiques calculables, donc récursives, qui admettent un algorithme qui terminera en temps fini (pas de problème de l'arrêt donc, une version plus faible du 1er théorème d'incomplétude de Gödel), l'infini est donc rejeté. Le second théorème porte sur la non prouvabilité de la cohérence d'une théorie à l'intérieur de la théorie (en fait on le savait avant Gödel, une théorie incohérente pouvant tout prouver, elle pourrait également prouver sa cohérence, ce que Gödel a montré c'est qu'une théorie cohérente ne peut pas montrer sa propre cohérence), mais ça n'empêche pas à la théorie d'être cohérente, donc aucun problème. Nos théories physique actuelles se basent sur des théories mathématiques nécessairement incomplètes, comme l'arithmétique de Peano ou la théorie des ensembles. - Oui, mais rien n'empêche à une théorie incomplète d'approximer une théorie complète, la physique actuelle utilise des outils mathématiques non calculables comme les limites ou les opérateurs de dérivation, ça ne reste qu'un outil commode, il se peut que les modèles continus approximent en fait une réalité discrète (la mécanique quantique semble le supposer), par exemple on utilise les équations de Navier-Stokes qui ne s'appliquent qu'aux fluides continus or on sait que les fluides sont discrétisé en atomes et molécules (ça reste donc une approximation commode), il faut ajouter que le théorème de Stone–Weierstrass (dont la preuve est constructive) nous dit que toutes fonctions continues sur un intervalle [a,b] peuvent être uniformément approchées par une fonction polynomiale, qui elle est calculable. Tout existe alors. - Non, seulement les systèmes formels récursifs, donc complet et cohérent au sens de Gödel, toutes les classes d'équivalence des modèles de systèmes axiomatiques si on veut (la théorie des modèles est la théorie qui répertorie les structures mathématiques, en gros). Ce qui est énorme (et les logiques sont des structures mathématiques à part entière, la logique classique c'est juste la structure mathématique qu'on appelle algèbre de Boole). Le rasoir d'Occam nous dit de considérer l'hypothèse faisant intervenir le moins d'entité, donc l'hypothèse de l'univers mathématiques n'est pas parcimonieuse. Tout dépend de ce qu'on défini par entité, ici la seule hypothèse est l'existence d'une réalité extérieure aux humains, d'autant + que l'hypothèse de l'univers mathématiques n'a aucun paramètre libre, rien n'est arbitraire, ce qui implique d'après la complexité de Kolmogorov que le contenu en information du multivers mathématiques (la réalité) est nulle. Les théories sans paramètre libre sont les plus parcimonieuses qu'il soit. Je vais maintenant expliquer pourquoi j'adhère à cette hypothèse : Premièrement elle répond à la question de Eugène Wigner sur la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature, elle répond également à la question de Hawking sur ce qui insuffle le feu aux équations pour leur fournir un univers à décrire (pas de dualité mystérieuse, car maths=physique), et enfin elle permet de répondre à la question de Leibniz "Pourquoi il y a quelque chose plutôt que rien?". Pour ceux qui veulent lire son article : https://arxiv.org/pdf/0704.0646.pdf Il a aussi écrit un livre sur le sujet (très bon livre, je le conseille) : https://www.amazon.fr/Notre-univers-mathématique-nature-ultime/dp/2100570366 Une courte vidéo où il explique grossièrement l'idée : https://youtu.be/UKyth_yoJBc

Si on suppose la relativité restreinte comme étant une description correcte de la réalité (ce qu'elle semble être), alors nous devons accepter ses conséquences. Le formalisme mathématique de la relativité restreinte implique une non-simultanéité des événements, c'est une conséquence directe de la géométrie de l'espace-temps considérée par la théorie, ici un espace affine pseudo-euclidien quadridimensionnel. L'invariance de la célérité de la lumière dans tous les référentiels, déjà supposé par la théorie électromagnétique de Maxwell, implique nécessairement le groupe de Lorentz O(1,3) et en fait plus spécifiquement le groupe de Lorentz propre et ortochrone SO+(1,3) (préservant la forme quadratique de Lorentz et l'orientation + l'origine des repères de l'espace de Minkowski). Ces transformations générales mènent à des paradoxes si on suppose une simultanéité absolue (cf : paradoxe d'Andromède cité plus haut). La position la plus acceptée par les physiciens actuellement est l'univers bloc, ça ne reste que temporaire (ou pas), nous n'avons pas encore de théorie quantique de la gravitation aboutie. Et il existe des interprétations purement déterministe de la théorie quantique, donc ce n'est pas un problème non plus. En tout cas, si on en croit le formalisme de la relativité, il est clair que le temps n'est qu'une dimension comme une autre (à un signe près), en ce sens elle existe dans toute son intégralité au même titre que les dimensions spatiales.