aliochaverkiev

C'est ce que je fais ici.

Un nouveau entre dans l'arène ! Tous veulent se mesurer à Hanss ! Etonnant (j'te kif aussi Hanss !)

Vous allez vous donner le tournis.

C'est puissant.

Des paires de quoi ? (Vous êtes un sacré animateur !)

Oui je le pense aussi (que vous rigolez) et que vous êtes vous aussi ravi par sa manière de se battre !!!

C'est une sacrée battante, Hanss. Ca frappe de tous les cotés mais elle esquive avec une grâce ! Je suis mort de rire de les voir tous ainsi frapper dans le vide. Bravo Hanss, vous me ravissez !

Il y a une sorte de méprise dans ce débat. Il ne s'agit pas d'approuver les écrits antisémites de Céline, il s'agit de savoir, si, étant donné le caractère antisémite de certains écrits de Céline, il faut, oui ou non, les censurer. Le problème de la censure ce n'est pas seulement vis à vis de la liberté d'expression qu'il se pose, c'est aussi par rapport à son efficacité. J'ai toujours été sceptique, et je le suis toujours, quant à l'efficacité de la censure sur les esprits. Je n'apprécie pas trop les concepts freudiens, que je trouve pour la plupart pas très sérieux, mais il y a un point où je le suis, c'est sur ses considérations sur le retour du refoulé. Une pensée interdite disparaît-elle ? Si je condamne mon voisin pour sa pensée contre moi au point de décider de lui interdire d'exprimer sa pensée, vais-je éradiquer pour autant sa pensée ? Ou ne va t il pas au contraire la développer, mais de manière non visible ? Il y a bien sûr une limite à ne pas dépasser. Mais interdire à un homme ou à une femme de penser ce qu'il pense contre moi c'est le rendre encore plus furieux contre moi. Il doit y avoir une limite, mais elle ne doit pas être à ce point radicale d'interdire toute pensée qui exprime un ressentiment. Il y a une différence entre condamner une pensée, la combattre, et l'interdire. C'est dans le combat que les homme progressent, pas dans le refoulement par la contrainte des pensées de l'autre.

Que l'acticité consciente soit très sélective, exclusive, est vraiment un fait que nous pouvons expérimenter chaque jour. C'est bien aussi ce qui ressort de l'étude menée ici. Il y a des mécanismes de sélection très puissants qui empêchent de penser, consciemment, à deux choses à la fois, de manière soutenue. Quand l'attention est à son degré maximal nous ne pouvons "voir" qu'un aspect des choses. Nous restons aveugles au reste. Je peux le constater à propos de l'étude mathématique. Les maths obligent à une concentration maximale. Mais cette concentration maximale empêche de "voir" certaines aberrations. Spontzy par exemple soutient un raisonnement sur un sujet donné qui est béton (le raisonnement est béton). Je suis tellement concentré sur son raisonnement que je ne vois pas que les éléments sur lesquels porte son raisonnement sont aberrants. C'est exactement ce qui se passe avec les prestidigitateurs, les illusionnistes. (Je reviendrai sur la prestidigitation de Spontzy sur le fil Gödel plus tard, quand j'aurai le temps). Ils attirent l'attention sur une activité donnée ce qui leur permet de déployer une autre activité dont ne pouvons pas prendre conscience à cause justement de la sélectivité de la conscience. Mais ce qui est étrange, c'est qu'alors que l'activité consciente est sélective, les activités inconsciences, elles, continuent de se déployer, et de soumettre sans cesse, de nouvelles propositions. Là où l'activité consciente est sélective, là où elle choisit, les activités inconscientes, elles, continuent de foisonner. Du coup elles signalent par une vague impression de malaise conscient, qu'il peut y avoir erreur dans le raisonnement conscient. Ce sentiment de malaise est un signal important. Ce phénomène (la sélectivité de la conscience) je peux l'observer avec l'une de mes élèves, Mathilde, dont l'esprit est assez proche de celui de Spontzy. Elle développe des raisonnements béton (elle est en terminales S), je suis tellement attentionné au développement de son raisonnement que, lorsqu'elle arrive à une conclusion totalement aberrante, je n'en reviens pas. Je n'ai rien vu ! Le problème c'est de remonter son raisonnement pour trouver l'erreur. Car, si je remonte son raisonnement, je ne vois rien qui cloche. Comment se fait-il qu'elle arrive à des aberrations à partir d'un raisonnement juste ? Spontzy aussi m' a sidéré sur ce point là. Comment se fait-il qu'il arrive à des conclusions aberrantes à partir d'un raisonnement juste ? Du coup Mathilde se tape des 1 ou 2 sur 20 en maths. Mais quand je lis les remarques du prof je vois que lui aussi ne distingue pas l'erreur de Mathilde. Il se contente de souligner la conclusion erronée (accompagnée d'un zéro !) mais il ne parvient pas non plus à voir où se situe l'aberration de son élève. Il tente parfois, je le vois à ses remarques, de distinguer le moment où le raisonnement s'engage dans une voie aberrante mais il abandonne, il ne découvre pas pourquoi soudain ça déraille. Pourtant ça déraille. Comme chez Spontzy, ça déraille. Mais ça ne déraille pas dans le raisonnement . Alors ? Il faut alors suivre pas à pas chaque articulation du raisonnement et on trouve ! L'erreur ne vient pas du raisonnement mais des éléments sur lequel porte le raisonnement. A un moment il y a un subtil glissement. Mathilde soudain introduit une proposition fausse ou pire, une proposition incomplète, ou encore pire une proposition vraisemblable (là c'est vraiment le pire qui soit, car détecter qu'une proposition vraisemblable est fausse, il faut être sacrément concentré !) puis elle s'appuie sur la fausseté ou l'incomplétude ou la vraisemblance de cette proposition tout en développant un raisonnement juste, ce qui la conduit à des conclusions fausses. C'est parfois incroyable car la proposition incomplète introduite, je ne la vois pas, d'abord parce que sa fausseté ne saute pas aux yeux, ensuite parce que mon attention est fixée exclusivement sur le raisonnement. (Maintenant que j'écris ça je me rends compte que je devrais orienter Mathilde vers des études d'avocat et non des études scientifiques). Mais des personnes comme Mathilde ou Spontzy sont aussi essentielles, car les propositions fausses qu'ils avancent, sans le voir, sont des propositions sur lesquelles les mathématiciens ont manqué de rigueur ("Déjà utilisé" sait détecter ce manque de rigueur). Les mathématiciens ne voient pas parfois qu'ils manquent de rigueur. Bien que perfectionnistes pour la plupart ils ne le sont pas encore assez. Les meilleurs foncent, et se dispensent d'être parfois précis. Mais il y a toujours des esprits étonnants qui verront (parfois inconsciemment) l'imprécision et qui fonceront dans la brèche ! Du coup cela force les mathématiciens à réfléchir et à préciser leurs propositions. Cela les force à rendre conscients leurs fulgurances inconscientes, sinon il y aura toujours quelqu'un pour se précipiter dans la brèche de leurs imprécisions. C'est ainsi que je me suis aperçu, quant à Mathilde, que j'allais trop vite dans mes propres raisonnements, parfois je simplifiais certaines écritures pour aller plus vite. Ces simplifications avaient pour effet de gommer certaines données, certaines contraintes (pour moi évidentes) mais pas du tout évidentes pour mon élève ! Pour Spontzy je me suis vite rendu compte de l'illusion créée par son raisonnement sur l'implication, mais je n'ai rien vu sur sa conclusion sur la vérité d'une proposition dès lors qu'elle est apparemment prouvée pour tout n. La seule manière pour moi de voir qu'il se trompe, c'est que, si je le suis, il démontre la vérité de la récurrence alors qu'elle n'est pas démontrable : c'est un axiome. Mais alors à quel moment le raisonnement dérape-t-il chez Spontzy ? Puisqu'il arrive à démontrer la vérité de la récurrence alors qu'elle est indémontrable ? J'ai fini par trouver et je me suis alors rendu compte que, comme Spontzy, je partais de propositions tellement enracinées en moi par l'habitude que je ne voyais pas qu'elles étaient incongrues, qu'elles dépassaient largement le champ de leur application ! Je suis comme Spontzy, je me goure aussi sans le voir ! Pour voir ses erreurs il faut tout de même être sacrément attentionné et motivé (et je suis motivé, car, dans le réel, je transmets, donc j'ai cette responsabilité réelle de devoir bien transmettre). Tout cela pour dire que l'activité consciente peut conduire à des aberrations même quand elle raisonne avec justesse. Que cette activité ne peut déceler ses erreurs que si elle est conduite dans un certain contexte, dans une certaine ambiance. A propos d' ambiance celle-ci diffère selon les personnes. Si l'ambiance, chez moi, c'est la recherche absolue de la vérité (de la vérité mathématique j'entends, je ne parle pas là de vérité absolue) je progresserai d'une certaine manière. Si l'ambiance chez un autre c'est la sauvegarde absolue de son amour propre, c'est-à-dire si le critère dominant de l'ambiance donnée c'est le regard (imaginé) de l'autre, il progressera d'une autre manière. Si l'ambiance chez un autre c'est d'arriver à une vérité qu'il veut affirmer comme vérité a priori (c'est souvent le cas dans le quotidien) il progressera encore d'une manière différente. En conclusion l'activité consciente est dominée par une intention préalable. Ce qui restreint à mon avis considérablement notre liberté, car qui donne le ton quant à l'ambiance ? Je ne pense pas du tout que ce soit la conscience, mais alors pas du tout ! Nous en revenons à Schopenhauer (confer son concept de Volonté) ou à Husserl (l'intention). Mais alors si nous ne sommes pas libres, si nous sommes dominés par des intentions dont la formation, la présence même nous échappe, comment progressons-nous ? Nous progressons grâce à la confrontation avec le réel imposé, c'est-à-dire le réel qui ne dépend pas de notre volonté.

Il y a aussi ce trait de caractère : je n'obéis jamais à un argument d'autorité. Si le monde entier dit "Nous avons tous raison" et que je sens en moi quelque chose qui me dit "non, il y a un problème" alors je traquerai ce problème. Je cite : "Ne croyez pas les gens sur parole, aussi autoritaires qu'ils puissent être" [Nullius in verba] [Néanmoins cette assertion me fait tomber dans une aporie ! car elle est elle-même un argument d'autorité ! La logique est une discipline excitante] Cela dit revenons à l'axiome de récurrence formulé par Peano (qui n'a d'ailleurs pas formulé l'axiome de récurrence tel que nous l'apprenons aujourd'hui ; c'est d'ailleurs agaçant cette façon de faire passer l'axiome dit de récurrence de Peano pour l'axiome de récurrence; bon je ne reprends pas ici cet axiome dans son libellé originel, je l'ai déjà fait plus haut; cela me fait penser au cinquième postulat d'Euclide qui n'est pas du tout ce qu'on croit ! quand on lit ce cinquième postulat dans son écriture originelle nous voyons qu'il a fallu appliquer tout un raisonnement déductif pour en arriver au libellé usuel ! Bon, passons). Si nous en revenons à Peano, la récurrence est bien définie par l'initialisation à 0, puis par la constatation (faite comme on veut) que P(n) implique P(n+1) vraie, partant aussi que P(n) est vraie [sinon, je le répète, même si à l'issue d'un raisonnement je trouve P(n+1) vraie sans rien savoir de P(n) je ne rien inférer quant à l'implication elle-même]. Pourtant, même en posant ces conditions, l'axiome reste un axiome, pas un théorème. Pourquoi ? Pourquoi n'est-ce pas un théorème si j'initialise à 0, et si je prouve que P(n) vraie implique P(n+1) vraie ? Je pense là à Quasi-Modo, qui est de toute bonne fois, et qui se dit : "Mais où est le problème ?". Où est le problème puisque j'ai démontré l'implication quelle que soit la valeur de n ? Et bien justement le problème vient du fait que je fais intervenir les valeurs de n ! Je suis obligé d'ajouter, "quelles que soient les valeurs de n". Mais dès que je parle des valeurs de n, je parle de valeurs définies. Mais alors qu'en est-il de l'infini ? Qu'en est-il de l'infini si je pose que N est infini ? Quasi Modo pourrait alors se dire : mais alors rien n'est démontrable ! Même le théorème de Pythagore n'est pas démontrable ! et bien si ! le théorème de Pythagore est démontrable parce que les mesures des côtés n'interviennent jamais dans la démonstration. On ne dit pas quelles que soient les valeurs réelles des côtés (valeurs au sens mesure) on ne dit rien de tel parce que les valeurs n'interviennent jamais ! Tandis que dans la récurrence les valeurs interviennent et du coup intervient l'infini et là nous ne sommes plus dans des valeurs finies.

Il y a une sorte d'exultation, pour moi, à avoir compris l'erreur de raisonnement relative à l'implication. Que l'erreur que je relève plus haut soit aussi courante, même chez des mathématiciens chevronnés, peut paraître étonnant. Mais cette erreur provient de cette constatation, je cite : "La logique est, en France, une discipline traditionnellement négligée dans les études scientifiques universitaires". "La logique part, en effet, d'une réflexion sur l'activité mathématique, et une réaction épidermique courante du mathématicien est de dire "A quoi bon tout cela?" [Préface de Jean-Louis Krivive, Logique mathématique, Calcul propositionnel, algèbre de Boole, calcul des prédicats" Licence-master, par René Cori et Daniel Lascar, éditions Dunod] Curieusement les erreurs de logique commises par des mathématiciens émérites ne sont pas commises par des personnes beaucoup moins ferrées dans les mathématiques comme "Déjà utilisé". Pourquoi ? Parce que la logique ne fait pas appel à des instruments mathématiques savants et complexes. Elle fait appel à l'esprit pur (ce que moi j'appelle, faute d'être sûr que l'esprit existe, le cerveau dans son acticité inconsciente). Mais ce qui est étrange c'est que, moi même, je pensais que c'était pour avoir raison dans la dispute contre mes contradicteurs que je cherchais leur erreur. Maintenant que j'ai trouvé l'erreur, je me rends compte, que, même s'ils continuent de vouloir avoir raison contre moi, je m'en fous. En vérité c'était par rapport à moi-même que je m'énervais. J'ai toujours "senti" depuis mes études secondaires, que quelque chose n'allait pas dans le raisonnement par récurrence. Mais impossible d'exprimer ce malaise : les prof assènent leur vérité, c'est comme ça. Idem pendant les études universitaires, je me disais, ça ne va pas, je sens que ça ne va pas, mais idem, les profs "c'est comme ça, vous comprendrez plus tard, quand vous aurez le temps" [soit dit en passant ce genre de remarque m'a toujours halluciné ! quand je pense que certaines personnes qui n'ont pas fait d'études, pensent que les universitaires en savent beaucoup plus qu'eux, je me dis : s'ils savaient ! l'écrasante majorité des universitaires acquièrent des savoirs qu'ils...ne comprennent pas ! simplement ils savent que dans tel ou tel cas c'est tel ou tel raisonnement qu'il faut tenir]. Donc mon énervement était dirigé contre moi-même, car maintenant que je suis en harmonie avec moi-même, brusquement les humeurs de mes adversaires ne comptent plus. Mais tout cela pose deux questions : 1/ pourquoi je "sens" qu'il y a une faille depuis toujours dans le raisonnement par récurrence et que tant d'autres (mathématiciens) ne la voit pas ? 2/Quel rôle peut donc jouer un instrument tel que le forum quant à un esprit comme le mien, pour lequel l'imaginaire est efficace dans sa saisie du réel ?

Je n'étais pas jusque là satisfait de ma manière de démontrer à mes contradicteurs que, ne rien supposer sur la véracité ou pas de la proposition P(n), dans le raisonnement par récurrence, était absurde. J'ai en face de moi des habitués de pensées enracinées et je n'avais pour moi que mon intuition mathématique. Pour étayer mon intuition il m'a tout de même fallu étudier, un peu, la "Logique mathématique", discipline qui n'est pas vraiment prisée par nos mathématiciens. Bon j'ai fini par trouver dans un cours de Master ce que je cherchais et je comprends du coup pourquoi l'implication a soudain disparu de l'enseignement secondaire, même si beaucoup de prof continuent de l'utiliser, faisant fi des nouveaux programmes. L'erreur des mathématiciens endormis par les habitudes, c'est d'assimiler l'implication au raisonnement, c'est de croire que l'implication est la traduction d'une relation de cause à effet. Dans l'implication nous avons d'abord deux propositions, et nous étudions la véracité ou pas de ces deux propositions, puis nous en déduisons la véracité ou pas de l'implication. Pour les profanes il faut savoir que "P implique Q" n'est pas le résultat d'un raisonnement, même si les profs le croient. P implique Q se traduit par cette autre formule : non P ou Q Le connecteur "ou" entre deux propositions A et B (A ou B) donne la table de vérité suivante : si A est vraie, (A ou B) est vraie, si B est vraie (A ou B) est vraie, si A et B sont vraies (A ou B) est vraie et enfin si A et B sont faux (A ou B) est faux. Ce n'est pas un "ou" exclusif. Par exemple (deux impair ou trois impair) est une proposition vraie (il suffit en fait que l'une des deux propositions soit vraie pour que l'ensemble soit vrai). Mais (deux impair ou quatre impair) est faux car les deux propositions sont fausses. A partir de là on établit la table de vérité de l'implication P implique Q en la traduisant par sa formule de base (non P ou Q), non P étant le contraire de P. cela nous donne ceci : P Q (non P ou Q) équivalent à ( P implique Q) V V V V V F F F car non P est alors faux et Q est aussi faux F V V V (car non P est alors vraie) F F V V Ce qu'il faut retenir de cette table de vérité c'est que la vérité de la relation globale (P implique Q) est déduite des vérités sur P et Q. Quand nous faisons un raisonnement (qui est autre chose que l'implication) nous pouvons par exemple à partir d'une proposition P en déduire la proposition Q. Dès lors qu'il y a un raisonnement nous traduisons cela immédiatement par : alors l'implication est vraie. Ce qui est totalement faux. En effet l'implication N'EST PAS LE RAISONNEMENT, la justesse d'un raisonnement n'entraine pas la justesse de l'implication. Si Q est vraie, que ce soit d'ailleurs à l'issue d'un raisonnement ou à l'issue d'une simple constatation en soi, cela NE PERMET PAS de nous prononcer sur la vérité ou pas de l'implication. Nous ne pouvons rien dire sur l'implication. Car l'implication ne traduit pas une relation de cause à effet. Cela va tellement contre les habitudes des mathématiciens, et même de certains mathématiciens chevronnés que ça parait inouï ce que j'écris là (je rassure mes contradicteurs j'ai les références des cours qui prouvent ce que j'écris). En effet pour inférer de la vérité de Q celle de l'implication il faut que je me prononce sur la vérité ou pas de P. Si P est faux alors l'implication est fausse, si P est vraie alors l'implication est vraie. Or dans le raisonnement par récurrence je dois me prononcer sur la vérité de l'implication. Si donc j'ai démontré que P (n+1) est vraie, même à l'issue d'un raisonnement, je dois me prononcer sur la vérité ou pas de la proposition P(n). Nous sommes habitués à confondre raisonnement et implication parce que, dans toutes nos démonstrations depuis le primaire et jusqu'à l'université nous partons toujours d'hypothèses ou vraies ou fausses. Toujours, même quand on finit par ne même plus le voir. Ce qui nous permet de toujours décider de la vérité ou pas de l'implication, sans même que nous prenions conscience de ce que nous faisons. Un raisonnement peut me prouver que Q est vraie, mais ce n'est pas parce que le raisonnement est vraie que l'implication est vraie, car l'implication n'a aucun RAPPORT avec le raisonnement. Si j'écris "la terre est ronde" implique "les poules n'ont pas de dents" c'est vrai ! Mieux si j'écris "la terre est plate" implique "les poules ont des dents" c'est vrai aussi ! Prenons un exemple relatif à la récurrence. Nous posons que la somme des n premiers termes est égale à n(n+1)/2. Nous initialisons, puis nous posons P(n) sans nous soucier de savoir si cette proposition est vraie ou fausse. Nous savons que nous pouvons démontrer que P(n+1) est vraie à la suite d'un raisonnement partant de P(n). (En plus rien ne nous dit, et je persiste là dessus, qu'un raisonnement juste aboutit forcement à une vérité, mais bon, passons, je démontrerai cela plus tard, si c'est démontrable). Et comme nous avons fait un raisonnement juste, hop ! tout de suite nous disons : Alors l'implication P(n) implique P(n+1) est vraie. Et bien non, nous ne pouvons pas le dire. Pour que l'implication soit vraie il faut encore que nous supposions que P(n) est vraie. Car l'implication ne dépend pas du raisonnement, elle n'illustre pas le raisonnement, elle dépend de la vérité ou pas de P(n) et de P(n+1).

En fait je dois te dire que je profite un peu de cette polémique pour entrer plus profondément dans la pensée de Gödel (que je ne connais pas). Le combat me stimule ! Mais, tu as raison, je suis en train de me coltiner tout le raisonnement de Poincaré et de Gödel, en étudiant maintenant la "Logique mathématique" du niveau Licence/Master. Mais je vais avoir un problème de temps. Je suis embarqué dans un "truc" trop long. Tu poses en plus une question que je me posais : de toute façon on tombe toujours sur des axiomes, et cela nous le savons sans Poincaré, ni Gödel. Avant même que ces hommes réfléchissent à la question, nous savions tous que les axiomes sont indémontrables, et même indécidables, et pourtant nous les prenons comme étant vrais (mais le cinquième postulat d'Euclide n'a bizarrement jamais emporté la conviction qu'il fut vrai, au contraire des autres postulats d'Euclide). Mais au nom de quoi les pensons nous d'évidence vrais ? Sans doute touchons-nous là les fameux jugements synthétiques a priori dont tu parles (et que Kant mentionne). En définitive décrypter à fond la pensée de Gödel ne m'apportera sans doute pas grand chose de nouveau. Les mathématiques se sont toujours appuyées sur des fondements indémontrables, voire indécidables.

Si vous pensez que le cinquième axiome de Peano est démontrable, alors bravo. Ce n'est plus un axiome, c'est un théorème. Il faut avertir la presse. La médaille Fields vous est acquise. Trêve de plaisanterie. Dans l'axiomatique de Peano la récurrence est un axiome. Un axiome NE SE DEMONTRE PAS, sinon c'est un théorème (il se déduit alors d'autres axiomes). Il faut compléter l'axiomatique de Peano et passer à l'axiomatique ordinale. Alors la récurrence est démontrable, mais dans la démonstration nous partons de l'hypothèse que P(n) appartient bien à l'ensemble P(0), P(1), P(2) etc. autrement dit nous partons de l'hypothèse que P(n) est vrai [voir les raisonnements mathématiques de D.J. Mercier, page 97 ]

Bien sûr ! Mais je détecte cela en donnant des valeurs à n. C'est ce que je veux dire, pour détecter une erreur, je dois tout de même analyser la vérité ou pas de mes propositions ! Vous estimez, vous, qu'on s'en fout ! Qu'on peut tout dire sans se soucier de la vérité des propositions ! Bon je vois que j'ai du mal à me faire comprendre. Je vais prendre un exemple radical. Soit la proposition P(n) suivante : n= 0 (sans rien supposer sur n, donc je pose cette proposition pour toute valeur de n) Bon elle est manifestement fausse mais, pour vous, ça vous est complètement égal de considérer qu'une proposition est vraie ou fausse dès lors que vous pouvez démontrer que P(n) permet de déduire P(n+1). Allons-y Initialisation à 0. Pour n = 0, 0=0, ca marche. Je pose alors n= 0 , "n" étant donc quelconque et je vais démontrer que la proposition est vraie pour n +1. n = 0 d'après ma proposition farfelue (mais on s'en fout qu'elle soit farfelue) Pour n = 1, n= 0 ( puisque ma proposition on s'en fout qu'elle soit farfelue et que quand j'écris que n = 0, je l'entends pour toute valeur de n, je sais c'est farfelu, mais on s'en fout n'est ce pas ?, on ne préjuge en rien de la vérité ou de la fausseté de P(n)). Donc n + 1 = 0 Donc n = 0 implique n+1 = 0, donc l'implication est vraie. Donc n = 0 quelque soit n. A partir du moment où on se fout de savoir si une proposition est vraie ou fausse, on peut tout affirmer. Vous pensez, vous, que, parce qu'une proposition est vraie pour n = 0, alors ça suffit pour penser qu'elle est vraie pour tout n dès lors que nous pouvons démontrer que p(n) conduit, par un raisonnement, à p(n+1) Quand à votre remarque que nous supposons que p(n) est vraie dans l'hérédité, et que même si l'on voit cela dans les épreuves de l'agrégation, c'est que, selon vous, c'est pour faciliter la compréhension des étudiants, alors cela signifie que vous êtes très largement au delà de l'agrégation ! Bravo. Vous êtes maitre de conférences ? Félicitations. Formalisons tout cela : Soit une proposition P(n) vraie pour n = 0, mais fausse pour tout autre valeur de n. Etes vous sûr qu'il est alors impossible de trouver un raisonnement qui partant de p(n) en dérive p(n+1) ? Je vous aider : Posons [P(n) n'implique pas P(n+1)] comme n'étant pas démontrable (pour vous, dans votre esprit il est évident que p(n+1) est démontrable à partir de P(n), quelque soit n, dès lors que P(n) est vérifié pour n = 0), et pour simplifier appelons I la proposition [P(n) n'implique pas P(n+1)]. Soit la proposition suivante : "I n'est pas démontrable" Si vous me prouvez qu'elle est assurément pas démontrable, alors vous aurez gagné. Le cinquième axiome de Peano est le suivant (sur lequel est construit la récurrence) : Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de SES éléments alors cet ensemble est égal à N.

En effet. La culture cela vient de loin. Ce sont des façons de penser, de sentir, de se représenter le monde qui se transmettent sans même que nous en prenions conscience. Penser que ne plus croire en Dieu efface une culture ancestrale est faux. Les athées d'aujourd'hui ne se rendent pas compte qu'ils continuent de véhiculer une morale, une façon d'être etc. forgées au cours des siècles par le christianisme (entre autres influences). Il est impossible de faire table rase du passé. L'homme nouveau, surgi de nulle part, ça n'existe pas. il serait facile d'énumérer les façons d'être des athées qui sont issues de la pratique catholique sans qu'ils s'en rendent compte. Nous pourrions même faire remarquer à ceux qui stigmatisent l'Islam et le judaïsme qu'ils sont en fait issus de ces deux cultures (entre autres bien sûr, il y a d'autres origines aussi).

"Le chapitre 2 a mis en évidence les superpouvoirs des calculs inconscients de notre cerveau" "Tout un assortiment d'opérations cognitives depuis la perception jusqu'à la compréhension du langage, la décision, l'action, l'évaluation et l'inhibition se déroulent sans conscience" "Des myriades de processeurs inconscients œuvrent simultanément afin d'extraire l'interprétation la plus complète possible de notre environnement" "La conscience n'hésite pas à simplifier les choses : elle résume le monde à sa plus simple expression, un aperçu suffisamment condensé pour être utilisable par nos systèmes de prise de décision" "Cette division du travail entre une armée de statisticiens indépendants et un système de décision unique s'impose probablement à tout animal qui doit décider de la manière de se mouvoir" "Personne ne peut agir sur la base d'une simple probabilité, à un moment un processus dictatorial doit couper court à toutes les ambiguïtés et impose sa volonté unique" "La distribution de probabilités s'effondre pour laisser place à un échantillon unique, qui permet de réfléchir à de nouvelles décisions"

Ne pas se soucier de la vérité ou pas de P(n) est très dangereux. Prenons la proposition suivante : 1/(n² -2) < 0. Pour n = 0, la proposition est vérifiée. Je pars donc de la proposition 1/(n²-2) < 0 sans me soucier de sa vérité. (n+1) > n quelque soit n (n+1)² > n² quelque soit n (n+1)² -2 > n² -2 quelque soit n donc 1/((n+1)²-2) < 1/(n²-2) quelque soit n Mais 1/ (n²-2) < 0 donc 1 /((n+1)² -2) < 0 donc 1/(n²-2) <0 implique 1/((n+1)²-2) < 0 quelque soit n. Que s'est il passé ? pour ne pas m'être soucié de la vérité de P(n) je me suis planté car mon raisonnement ne me permet pas de détecter que l'implication n'est pas vraie pour tout n. Votre raisonnement est juste concernant l'implication mais faux concernant la démonstration qui permet de passer de n à (n+1). Je suis donc bien obligé de considérer la vérité de la proposition P(n). C'est d'ailleurs ce qui est fait dans tous les exo que j'ai pu voir dans les classes préparatoires.

Votre démonstration prouve que la proposition P implique Q n'est pas vraie pour tout n. Quand j'étudie la proposition " P implique Q " je peux détecter qu'elle n'est pas vraie pour tout n. Mais je peux détecter qu'elle est vraie pour tout n supérieur par exemple à un nombre donné. Ce qui me permet d'initialiser à ce nombre. Je n'ai donc plus de problème. Mais il y a deux questions qui se posent : est-ce que les valeurs de n pour lesquelles je ne peux pas démontrer la véracité de l'implication sont les mêmes que celles pour lesquelles elle est fausse ? Prenons un contre exemple, un cas précis. Je reviens sur la proposition 2^n plus grand ou égal à n². Je remarque que n'avez pas répondu au fait qu'elle est vraie pour n = 0, puis n=1, puis n= 2 mais elle est fausse pour n= 3. Ce qui pour vous est impossible, puisqu'une proposition est soit vraie soit fausse, indépendamment de n. A moins que vous ayez changé d'avis depuis car je vois que brusquement votre raisonnement se fortifie ! J'imagine que vous reçu l'aide d'un sachant, tant mieux, car du coup je vais pouvoir exposer mon problème à quelqu'un qui pourra (peut être) me répondre. Transmettez lui mes salutations. Je reprends. Essayons de prouver que la proposition est vraie pour (n+1) sans me soucier de savoir si la proposition est vraie ou fausse pour n. Je vais trouver que la proposition est vraie pour n plus grand ou égal à trois (je laisse la démonstration à votre soutien). Alors je lui demande : comment se fait il que je trouve n égal à 3 alors que, pour 3 la proposition est fausse ? Il va me répondre qu'il suffit que j'initialise à 3 pour voir que c'est faux. D'accord mais là je tombe dans le bricolage, pas dans la démonstration. Ensuite je vais aussi trouver que je dois écarter les valeurs n = 0, n = 1 et n = 2, alors que , pour ces valeurs la proposition est vraie. Donc ma question est celle-ci ( si je ne vois pas que je dois initialiser la proposition à 4 et non à 0) 1 : y a t il un raisonnement qui me donne immédiatement cette directive, ou est-ce je dois bricoler ? 2 existe-t-il un raisonnement qui me permette de constater que la proposition est vraie pour n = 0, n = 1, n = 2 ? Ce qui est inquiétant dans ces difficultés c'est qu'en définitive il est légitime de se poser cette question : est ce qu'il y aurait des démonstrations qui ne permettraient pas de voir que l'implication est fausse dans certains cas ? Une démonstration qui s'appuie sur des prémisses fausses peut arriver à n'importe quoi, notamment à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout n. Dans ce cas je ne peux pas détecter qu'il y a des cas où la proposition est fausse pour certaines valeurs de n. En effet votre raisonnement conduit à cette alternative : - soit la récurrence est vraie pour tout n - soit la proposition n'est pas vraie pour tout n. Dans une démonstration nous partons toujours d'hypothèses qui sont soient vraies soit fausses. Et nous le savons. C'est à dire que nous étudions les deux cas de figure en le disant. Nous disons : 1/supposons que l'hypothèse est vraie [(P(n) vraie] ou 2/ supposons que l'hypothèse est fausse [(P(n) fausse] puis nous déroulons notre démonstration. Nous ne partons pas d'hypothèses dont ne savons rien quant à la fausseté ou à la vérité. Autrement dit : prouvez moi qu'une démonstration ne conduit pas à des catastrophes quand je ne fais aucune hypothèse sur la vérité ou la fausseté de mes hypothèses. Sans cette preuve je peux toujours émettre cette objection : je peux bien trouver une démonstration qui me conduise à une erreur que je ne détecterai pas, notamment l'erreur de croire que P(n) implique P(n+1) est vraie quelque que soit n, sans voir qu'elle est fausse pour certaines valeurs de n. Ne détectant pas cela je ne peux pas même faire l'hypothèse que la proposition pourrait être fausse !!! Autrement dit existe-t- il une théorie de la démonstration qui pose comme principe que la vérité ou la fausseté des hypothèses n'a aucune importance ? je n'en ai jamais entendu parler. Enfin je suis allé voir les exercices des classes prépa que j'ai chez moi, tous partent de l'hypothèse que P(n) est vraie pour démontrer P(n+1)

Mais parce que la proposition " P(n) implique P(n+1)" peut être une proposition vraie avec P(n) vraie ou fausse, !!! oh oh reprenez vos livres de math, étudiez l'implication bon sang. Ce peut même être une proposition vraie avec P(n) faux et P(n+1) faux ! vous ne connaissez pas l'implication ! C'est bien parce que la proposition "P(n) implique P(n+1) " peut être vraie avec P(n) fausse pour certaines valeurs de n que nous avons un problème ! et c'est pour cela que, dans les manuels nous partons de l'hypothèse que P(n) est vraie ! (et c'est un abus), parce que, quand P(n) est vraie et que la proposition P(n) implique P(n+1) est vraie nous sommes sûrs que P(n+1) est vraie quelle que soit n ! c'est l'implication ! Prenez le temps de bien aller étudier l'implication, ouvrez vos livres de maths.

Bien sûr qu'il y a des propositions qui sont vraies quelles que soient les valeurs de n. Mais il y a aussi des propositions qui ne sont pas vraies quelles que soient les valeurs de n. Votre erreur est de croire qu'une proposition si elle est vraie pour une valeur de n doit être vraie pour toutes les valeurs de n. Prenons la proposition : 2^n plus grand ou égal à n². Elle est vraie pour n = 0, pour n = 1, pour n = 2, mais fausse pour n =3. Votre erreur est de croire que, dans une table de vérité le vrai ou le faux concerne les propositions quelles que soient les valeurs de n. A ce compte là la récurrence est inutile. Il suffit de démontrer qu'une proposition est vraie pour n = 0 pour que la proposition soit vraie pour tout n ! Absurde. Par ailleurs dans le théorème de Fermat la valeur de vérité ne porte pas sur l'égalité mais sur le discours sur cette vérité (il n'existe pas etc.) c'est à dire la valeur de vérité porte sur le métalangage. En plus nous ne sommes même pas dans le cadre de la récurrence où il ne s'agit que de propositions dépendant exclusivement de n. Là vous introduisez des variables x, y et z !!! La récurrence porte sur la proposition elle-même (sur le calcul propositionnel) pas sur le discours sur la proposition, et sur des propositions ne dépendant que de n. Vous êtes en train de m'embarquer dans des sophismes. C'est amusant mais nous risquons de perdre notre temps. (Il est bien évident que si je dis que l'équation n + 1 = 3 n'est vraie que pour n = 2, et si vous appelez proposition le discours sur l'équation, alors ce discours est ou vrai ou faux ! Mais là franchement amusez-vous avec quelqu'un d'autre que moi. Je voudrais que vous soyez honnête avec moi, sinon vous n'allez pas encore comprendre que je devienne agressif ! )

L'erreur de raisonnement que vous faites est intéressante. Elle m'oblige à approfondir la logique même de la relation implication et je commence à comprendre pourquoi elle est aujourd'hui exclue de l'enseignement secondaire. En effet vous pensez que, si l'implication : P implique Q est vraie alors soit P est toujours vraie, soit P est toujours fausse. Si donc l'initialisation est vraie pour n = 0, alors P est vraie et comme pour vous P ne peut être que toujours vraie ou toujours fausse, il suffit qu'elle soit vraie pour n= 0 pour qu'elle soit toujours vraie quel que soit n. De même, si P est fausse elle est toujours fausse, donc elle ne peut pas être vraie pour n = 0. Or justement ça ne marche pas comme ça, si P implique Q est vraie alors soit P(n) est fausse, soit P(n) est vraie, mais ce n'est pas exclusif. C'est l'implication qui est vraie, mais nous ne savons rien sur la vérité de P et de Q. Elle peut être vraie pour certaines valeurs de n et fausse pour d'autres valeurs de n. Cela ressort des tables de vérité. Quand l'implication (ici l'hérédité) est vraie et que Q est vraie (ici P(n+1)) alors P (ici P(n)) peut être soit vraie soit fausse, sans exclusion de l'une ou l'autre possibilité. Autrement dit elle peut être vraie pour tout n, fausse pour tout n, ou parfois vraie, parfois fausse.

Si quand même, il est important que P(n) soit vraie ! puisque c'est la base de l'utilisation de la récurrence dans les programmes de terminales S. L'hérédité peut être vraie avec une proposition P(n) fausse. C'est là le problème. Je vous recopie ici l'hérédité telle qu'elle est apprise en terminales S : -P(0) vraie (initialisation) -Pour tout n, P(n) vraie implique P(n+1) vraie, alors P(n) est vraie. Vous lisez bien : P(n) vraie. Vous pensez que, parce que l'initialisation à 0 est vraie alors cela suffit à démontrer que P(n) est vraie quelque soit n. Or vous avez des propositions qui sont vraies pour n = 0 et fausses pour d'autres valeurs. Du coup les prof disent "bon il faut initialiser à 2, ou 3 ou 4 ou 5 !" d'accord mais nous ne sommes plus dans l'axiome de Peano. C'est ainsi qu'une proposition vraie pour n = 0 peut ne pas l'être pour n = 2, ou 3 par exemple. Dans ce cas, si vous vous fondez sur le seul fait que la proposition est vraie pour n= 0 et que du coup, pour vous, la proposition est vraie pour tout n (avec une hérédité qui est fondée sur P(n) faux) vous vous plantez. Quand vous établissez l'hérédité P(n) implique P(n+1) vraie vous l'établissez pour tout n. Mais l'hérédité, ici la valeur de vérité de l'implication, ne dit rien sur la vérité ou la fausseté de P(n). L'hérédité peut être vraie mais la proposition P(n) peut être fausse pour certaines valeurs de n. P(n) peut être vraie pour n = 0 et pas pour n = 1 (et cela arrive). C'est pourquoi, dans l'enseignement actuel on part du principe que P(n) est vraie (c'est à dire que P(n) est vraie pour tout n).

Après vérification il y a bien une erreur dans les programmes de terminales S. Dans le manuel terminales S mathsrepères, chez Hachette, page 10, la récurrence est bien présentée ainsi : -P(0) vraie (initialisation) -Pour tout n, P(n) vraie implique P(n+1) vraie, alors P(n) est vraie. Donc on fait bien la supposition que P(n) est vraie. Ce qui est absurde. Ce n'est pas du tout l'axiome de Peano qui lui stipule : -P(0) vraie (initialisation) -Pour tout n, si P(n) implique P(n+1) est vraie alors P(n) est vraie. Dans le manuel il est supposé que P(n) est vraie : raisonnement circulaire. Erreur de présentation. L'axiome de Peano tient lui, la route. Reste à lever ce problème : sachant que P faux implique P (n+1) vraie est une implication vraie, suis-je sûr de toujours trouver que P (n) faux implique P (n+1) faux ? là il y a un doute.

Lisez plutôt mon exposé ci dessus sur la récurrence, ce sera plus intéressant de connaître votre avis (si vous en avez un ) plutôt que de se disputer sur des imbécillités et de se gargariser de mots prétendument savants.