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Waouh ! :D Là il y a trop de remarques et j'ai pas assez de temps pour répondre à tout. :D Quelques ptit trucs qui m'ont marqués dans les derniers posts : Bien tenté mais non ! Vous essayez aussi de calculer avec l'infini comme avec un entier, alors qu'en fait : 1∞ = lim(n→∞) eln(1^n) = lim(n→∞) en*ln(1) = lim(n→∞) 1 = 1 Donc En fait je suis même convaincu que 1∞ n'est pas indéterminé. Moi je ne suis qu'un modeste mathématicien vous savez : j'ai défini un machin que je trouvais rigolo et j'ai appelé ça l'infini. Après pour savoir si c'est le "vrai"... je laisse la question au philosophes et au métaphysiciens. D'ailleurs ça doit pas être facile de définir la vérité d'un point de vue strictement mathématique. Je suis curieux de savoir ce que l'ami La Folie en pense. L'univers existait avant nous, nous n'avions à l'origine aucune connaissance des règles qui le dirigent, nous n'avons pas choisi ces règles. En revanche, les mathématiques sont une création de l'esprit humain : les objets mathématiques n'existent pas dans le monde réel ( comme vous l'avez d'ailleurs dit vous même ) et les règles que suivent les mathématiques, les principes de base, on été posé par des humains, donc sont parfaitement connus. C'est de cette différence que je parlais. Mais connaître les principes de bases ne signifie pas tout savoir. De manière générale vous faites beaucoupe de parallèles entre mathématiques et physique : c'est à la fois utile pour comprendre mais dangereux lorsqu'il s'agit d'être rigoureux. Les mathématiques sont un monde idéalisé dans lequel se produisent des phénomènes qui n'ont tout simplement aucun sens dans le monde réel. En ce qui concerne La Folie... J'ai un peu relu nos derniers échanges parce que je cpmmençait à être perdu ( sûrement à cause des méandres de votre folie :D ) et il me semble qu'on s'écarte vraiment trop du sujet. Aussi, et bien qu'il y'ait beaucoup de choses très intéressantes à développer, je me force à ne pas répondre pour stopper ici ce qui était devenu un vilain hors sujet. Et je vous invite soit à relancer une de vos ( folles ) idées sur 0,9=1 , soit à ouvrir un autre fil de discussion ( dans lequel je vous rejoindrai, je n'essaye pas de me débarasser de vous, bien au contraire ). J'ai aussi lu le fil de discussion dont vous m'avez donné le lien, il est effectivement très enrichissant, mais je dois avouer ne pas avoir eu le temps de réfléchir aux idées que vous y avez développé ( mais ça va venir :D ).

Bon... vous écrivez de plus en plus de non sens mathématiques, mais au moins je dois vous remercier pour avoir formulé une vraie réponse et non pas simplement joué sur les mots. Cela n'a aucun sens, vous mélangez des variables entières avec des variables booléenes ( valeurs dans vrai/faux ). Si vous en arrivez à écrire cela c'est parce que vous cherchez à définir l'égalité à partir de la soustraction, ce qui n'a pas vraiment de sens puisque pour définir la soustraction on a besoin de l'égalité. La définition de l'égalité se fait à un niveau de la théorie bien inférieur, et dans le cadre de cette discussion peut être considéré comme axiome. Pour ce qui est de l'évaluation de mon deuxième exemple : P(0)=(0=0)v(0=1)= vrai v faux = vrai P(1)=(1=0)v(1=1)= faux v vrai = vrai Et pour le premier exemple on a le même problème : votre argument consistant à utiliser une mauvaise définition de la relation d'ordre basée sur la soustraction n'a pas de sens. En effet, d'après vous on ne peut pas dire que 0<2 ? que 1<2 ? Vous avez le droit de tout remettre en cause, mais dans ce cas vous sortez de la théorie mathématique dans laquelle la quasi totalité de la communauté scientifique travaille. Un couple d'entier successeur ET 0. Vous prétendez avoir compris ce principe mais vous oubliez la moitié des conditions... Et vous semblez donc vraiment persuadé que toute propriété vérifiée par 0 et 1 est également vérifiée par tous les entiers naturels... Je vous ai déjà fourni 3 exemples qui montrent que c'est absurde, mais de toute façon il suffit d'y réfléchir un petit instant pour s'en rendre compte. Je suis un peu désarmé face à des affirmations comme ça. Tout ce que je peux vous dire, c'est que si, ça existe, on appelle ça l'ensemble vide et on l'utilise énormément. Il n'y a rien à démontrer ici, ça existe et c'est un fait. Je peux simplement vous conseiller d'aller faire un petit tour sur internet pour vous convaincre que cette notion est effectivement utilisée. Cette discussion est à la fois agaçante, amusante et enrichissante. Agaçante parce que vous utilisez à tort des notions que vous ne maîtrisez pas pour pseudo-démontrer des non-sens. Amusante parce que vous le faites avec un certain humour. Enrichissante parce que j'ai rarement l'occasion d'aborder des thèmes scientifiques avec des non scientifiques. Pour ces dernières raisons je ne souhaite en aucun cas mettre fin à cette discussion.

J'ai encore relu l'article que vous proposiez et j'ai un doute quant à son exactitude : ce qu'il prouve c'est que : si lim(x→0) f(x) = 1 , alors lim(x→0) f(x)1/x est indéterminé. Ce résultat est vrai, ça ne fait aucun doute. Mais ça ne revient pas du tout à considérer 1∞. De plus, je me permet de remettre en question cette "démonstration" parce qu'elle fait preuve de nombreuses imprécisions, voire des incorrections. Par exemple : En lisant ce passage on a l'impression que l'auteur prétend que l'on a trouvé 2 limites : ce n'est pas le cas, l'unique limite correcte est e, et c'est tant mieux parce que la limite, lorsqu'elle existe, est unique.

Merci pour le lien, il est en effet très intéressant. Mais il ne contredit pas ce que j'avais écrit : je parle de 10∞ et l'article est à propos de 1∞. Et il n'y a justement que 1 qui pose problème, sinon : Pour tout réel x>1 , lim(n→∞) xn = +∞ Pour tout réel -1<x<1 , lim(n→∞) xn = 0 Pour les autres, en effet, c'est indéterminé. Mais cette indétermination est surtout intéressante dans le cas étudié dans votre lien. Et je maintiens donc que ce que j'ai écrit donne effectivement un sens à 10∞.

Une telle réponse est navrante... si votre volonté est de jouer sur les mots pour éviter mes questions je n'ai plus qu'à me retirer du débat. Vous avez parfaitement compris ce que je signifiais par "répondez oui ou non", même si je reconnaît qu'il existe un autre sens. Néamoins votre obstination à me reprendre sur des détails de forme est une manière bien peu élégante de masquer le fait que sur le fond vous n'avez rien à dire. Si vous voulez continuer cette discussion, ce qui est mon cas, je vous invite à ne plus résumer vos interventions à ce genre de provocation gratuite. Et je vous invite également à répondre à ma question, puisque vous ne l'avez pas fait.

Alors on ne peut pas dire qu'il y a des nombres avec une infinité de décimales ? Qu'une droite contient une infinité de points ? Qu'il existe des ensembles infini ? Par exemple, c'est un non sens de dire qu'il y a une infinité d'entiers naturels ? Mais non seulement l'infini a un sens, mais il est rigoureusement formalisé en mathématiques. Je vous propose comme exemple la définition d'un ensemble de cardinal infini ( dont le nombre d'éléments est infini ) : Un ensemble E est de cardinal infini si il n'existe aucun entier n tel que E puisse être mis en bijection avec [1,n]. Je ne vois pas en quoi l'infini "ne peut être connu" : nous en parlons, nous pouvons le conceptualiser, le définir formellement, l'utiliser. Et quand je dis que 10∞ "n'existe pas" , c'est simplement parce qu'une telle notation n'est pas définie. Après on peut lui donner un sens, par exemple : 10∞ = lim(n→∞) 10n L'analogie est pertinente... mais elle a ses limites : l'univers possède des lois que nous sommes loin de connaître toutes, alors qu'en mathématiques l'axiomatisation des théories est totalement connue. Mais malgré cette différence fondamentale votre conclusion reste exacte : des failles existent. Plus précisemment, on ne peut pas démontrer qu'elles n'existent pas. Par contre quand on les trouve, on modifie la théorie. Après si ça vous amuse de travailler dans des théories qui admettent des contradictions c'est votre problème, mais vous ne démontrerez vraissemblablement pas grand chose. Je ne vois pas bien le rapport avec ce que j'ai dis mais bon... En tout cas ma réponse est non, clairement ! Mais le problème que vous avez cité est très intéressant, j'avoue que celui-là en particulier ça me ferai bien plaisir de le résoudre ( comment ça je rêve ? ). Surtout qu'il relève plus de l'informatique théorique qui est mon domaine d'étude. Aurais-je prétendu que l'intuition n'avait pas sa place en mathématiques ? En tout cas je suis totalement d'accord avec vous. Mais avoir une intuition ce n'est pas faire une démonstration : les intuitions sont essentielles mais dangereuses. Une fois qu'on a eu une idée, il faut passer du temps à l'écrire formellement pour qu'elle devienne une preuve mathématique. Comme j'ai la flemme de conclure je passe la main à Galilée : "La nature est un livre écrit en langage mathématique."

Vous êtes bien strict sur l'utilisation des termes mathématiques pour quelqu'un qui mélange sans façons mathématiques et philosophie. Mais je vous concède qu'il y avait une ambiguïté dans la formulation de mon exemple idiot. Je voulais dire : "être égal à 0 ou être égal à 1". Et ne me dites pas que ce sont 2 propriétés : c'est la disjonction de 2 propriétés, qui est une unique propriété. Et puisque vous aimez les formulations mathématiques je vous propose ça : ex1 : P(n)=(n<2) ex2 : P(n)=(n=0)v(n=1) Et puisque vous n'aviez pas l'air convaincu par mon dernier exemple idiot, je vous propose une reformulation : "appartenir à l'ensemble {0,1}" . Mais nous tournons autour du pot et vous esquivez depuis quelques temps ma question, aussi j'attend une réponse claire cette fois : êtes vous d'accord pour dire que d'après votre principe toute propriété vérifiée par 0 et 1 est vérifiée par tous les entiers naturels ? Argumentez comme bon vous semble, mais répondez oui ou non. Déjà, je ne le pose pas, c'est un fait. Ensuite vous rechutez : vous recommencez à traiter l'infini comme un entier naturel, ce qui n'est pas possible. Vous devez bien comprendre que vous ne pouvez pas écrire 10∞ , ça n'a pas de sens. Je vous invite vivement à utiliser la notion de limite si vous voulez manipuler l'infini. Ce que vous écrivez existe en effet, mais on parle alors de la classe de tous les ensembles. Encore une fois, le problème c'est quand on parle de l'ensemble de tous les ensemble, tout simplement parce qu'alors on aurait un ensemble plus grand que lui-même... ou plus petit... bref, on aurait des contradiction avec des principes logiques fondamentaux. Je vous avais prévenu et je me répète : on peut parler de toutes ces notions en restant dans un cadre strictement mathématique. Libre à vous d'en faire une discussion philosophique, mais alors dans une autre section et avec un autre interlocuteur.

Cher La Folie... vous portez bien votre nom ! Honnêtement, vous pensez que 0 ne vérifie pas la propriété "être inférieur à 2" ? Qu'il est incorrect d'écrire 0<2 ? A ce genre d'absurdité je ne peux malheureusement rien ajouter. Sinon, je suis d'accord avec votre réécriture du principe de récurrence, mais toujours pas avec l'utilisation que vous en faites. Vous persistez visiblement à pratiquer sans questionner. Je vous répète tout de même qu'une conséquence de votre principe c'est que toute propriété vérifiée par 0 et 1 est vérifiée par tout entier naturel : cela ne vous gène vraiment pas ? Et puisque vous redemandez des examples idiots je vous propose la propriété : "être égal à 0 ou 1" Mais vous avez raison, nous nous écartons un peu trop du sujet d'origine, poursuivons cette discussion dans un autre post. Là vous soulevez un point plus intéressant. La limite n'est pas inscrite... mais elle est cachée. En effet, j'utilise une somme qui va de n à "l'infini". Mais ce n'est qu'une notation, je ne considère toujours pas "l'infini" comme un entier naturel. Dire qu'on fait la somme de 1 à l'infini, c'est en fait une notation pour dire qu'on fait la limite de la somme de 1 à n quand n tend vers l'infini. Evitez de parler de l'ensemble des ensemble, c'est dangereux ! En fait ça n'existe pas, et ça mène à tout plein de paradoxes amsants. Le plus immédiat c'est que cet ensemble est strictement inclu dans lui-même, ce qui est plutôt gênant. Mais je ne m'aventurerais pas trop sur ce terrain, il s'agit là de résultats de logique fondamentale qui dépassent mes compétences. Je sais simplement que vers le début du XXème siècles les mathématiciens cherchaient pensait pouvoir utiliser comme axiome : "pour toute propriété il existe un ensemble des objets qui la vérifient". Cela semblait raisonable... mais ce fut un échec. :D

Et non ! Il y a autant de réels dans [0;1] que dans [0;1000] ! La bijection qui permet de passer de l'un à l'autre, c'est la multplication par 1000, tout simplement. Par contre il y'a plus de réels dans [0;1] que d'entiers naturels, là on a vraiment deux ensembles infinis dont les nombres d'éléments sont différents.

Le but ici n'est pas de faire un concours de "qui est le meilleur en maths". Votre remarque n'ajoute strictement rien au débat. Je trouve mal venu d'employer des théories puissantes lorsque l'objectif est purement pédagogique. Sinon on peut aussi directement dire : 0,9 est par définition le développement décimal impropre de 1 donc 0,9 = 1 et puis c'est tout... super discussion à l'horizon. Ou alors on pourrait invoquer le théorème d'incomplétude de Gödel pour dire que de toute façon on ne pourra jamais démontrer la cohérence des mathématiques et que donc ça sert à rien de se fatiguer à chercher tout ça. Sinon, on peut aussi répondre à la question posée de manière efficace et compréhensible par tous. Et en effet, il s'agit bien de séries numériques. D'ailleurs dans ma démonstration la notion n'est implicite que dans la mesure où je ne la nomme pas. En effet, j'utilise la somme des termes d'une suite... tiens... ce serait pas une série ? :D

Vous lancez beaucoup d'idées, je commence à avoir du mal à toutes les rattraper... Je vais donc commencer par faire un message pour vous répondre spécifiquement sur le problème du principe de récurence. Je ne remet bien sûr pas du tout en cause ce principe, qui est d'ailleurs généralement pris comme un axiome de l'arithmétique ( dans des axiomatisations assez "classiques" ). Par contre ce qui me dérange c'est l'interprétation et l'utilisation que vous en avez fait. Comme à mon habitude, je commence par critiquer ( gentillement :D ). Le principe de récurrence tel que vous l'interprétez ( du moins c'est ce que j'en déduis vu l'utilisation que vous en faites ) est le suivant : Soit P(n) une propriété sur les entiers naturels, si : -P(0) est vrai. -il existe m un entier tel que P(m) et P(m+1) sont vrai. alors P(n) est vrai pour tout n. Ignorez cette critique si je me trompe, mais il me semble bien que lorsque vous avez appliqué votre raisonnement par récurrence vous avez démontré uniquement : P(0) est vrai, et P est vrai sur les 2 entiers consécutifs 0 et 1. Sérieusement... vous me parliez de questionner avant d'avaler, de ne pas pratiquer les maths comme on pratique la religion... mais vous, vous avez utilisé ce principe sans chercher une seconde à le comprendre. En effet, tel qu'il est énnoncé ici, ce principe signifierait que toute propriété vraie sur 0 et 1 est vraie sur tout entier. En particulier, la propriété " être inférieur à 2 " serait donc vraie sur tous les entiers. Et les exemples idiots ne manquent pas. Bref, ce principe ne s'utilise pas comme ça. Je vais donc maintenant essayer d'expliquer le principe de récurrence. L'ennoncé est le suivant ( celui de Wikipedia est juste d'ailleurs, mais peut entraîner une confusion ) : Soit P(n) une propriété sur les entiers naturels, si : -P(0) est vrai. -pour tout entier naturel m, si P(m) est vraie alors P(m+1) aussi. alors P(n) est vrai pour tout n. La différence fondamentale entre nos deux ennoncés c'est que vous quantifiez m par "il existe" alors que je le quantifie par "pour tout". Mais si vous aviez un regardé ce principe d'un peu plus près, vous auriez constaté que mon interprétation est la seule qui soit cohérente, et qu'elle est de plus très intuitive. L'image habituelle employée pour illustrer ce principe est celle des dominos : -si le premier domino tombe. et -si quand un domino tombe, il fait tomber le suivant. alors tous les dominos tombent. Je vous présente un exemple de démonstration par récurrence ( correcte ) : On veut démontrer que pour tout n, la somme des n+1 premiers entiers naturels vaut (n*(n+1))/2 , c-à-d : 0+1+...+n = (n*(n+1))/2 pour tout n On commence par vérifier pour n=0 : 0 = (0*1)/2 , ça marche ! On suppose maintenant que la propriété est vraie pour un certain k ( on dit aussi au rang k ) : 1+...+k = (k*(k+1))/2 C'est l'hypothèse de récurrence, on la considère comme vraie. C'est bien ce qui est dit dans le principe de récurrence : pour tout m, si P(m) est vraie alors P(m+1). On doit donc montrer que pour tout m, si P(m) est vraie alors P(m+1) l'est aussi. On essaye donc maintenant de démontrer la propriété au rang k+1. 1+...+k+(k+1) = ((k+1)*(k+2))/2 Pour cela on part de l'hypothèse de récurrence : 1+...+k = (k*(k+1))/2 1+...+k+(k+1) = ((k*(k+1))/2)+(k+1) : on ajoute k+1 de chaque côté 1+...+k+(k+1) = (k*(k+1)+2k+2)/2 : on réduit au même dénominateur 1+...+k+(k+1) = (k2+3k+2)/2 : on développe le numérateur 1+...+k+(k+1) = ((k+1)*(k+2))/2 : on factorise le numérateur Et on obtient la propriété au rang k+1. On peut donc appliquer le principe de récurrence et conclure que la propriété est vraie pour tout n. Pour conclure, je voudrais faire un commentaire sur : Et bien... je suis d'accord avec vous ! ( comme ça n'arrive pas si souvent je me permet de le faire remarquer :D )

Citer Wikipedia... je n'avais pas osé le faire. Méfiez-vous, vous pourriez rencontrer l'article qui démontre en détail que 0,9=1 Je suis également étonné que vous ayez choisi de vous accrocher à l'idée que 1=10 plutôt que d'essayer de trouver une erreur à mon raisonnement ( ou bien admettre que votre calcul est faux ). Si vous maintenez ce genre de position je ne pourrais bien sûr plus rien répondre, ce que je trouve assez décevant. Au sujet de votre utilisation erronée du principe de récurrence : c'est n'importe quoi ! :D Le fait que les conclusions soient manifestement absurdes devrait vous en convaincre. Je rappelle également que les règles de calcul usuelles sont telles que 22=4 , et j'ai beau tenter de suivre votre "logique", il me semble bien que 4>2 . Vos considérations sur les dimensions n'ont pas de sens lorsqu'on effectue des opération dans l'ensemble des entiers naturels. Et en ce qui concerne l'infinité de chiffre dans l'écriture décimale... je suis bien embêté, je vois pas trop quoi vous dire :D Il faut vous y faire, beaucoup de nombres possèdent une écriture décimale infinie ( tous à vrai dire, mais écrire une infinité de 0 apparaît aussi fastidieux qu'inutile ).

Comme je le disais, la nortion de limite est délicate. Vous disiez on pose n=infini, et là je maintiens que c'est faux. Par contre, vous me parlez à présent de "faire tendre" n vers l'infini : ça par contre c'est possible ! Mais dans ce cas il faut faire des calculs sur les limites et non pas traiter l'infini comme un entier naturel. Comparez nos utilisations de l'infini : vous écrivez directement des choses du types 10infini alors que chez moi le symbole ∞ n'apparaît que sous le symbole lim. Et il faut rester très prudent avec ce genre de calculs qui suivent des règles très strictes. Par exemple, en prenant votre système de calcul on a vu qu'on arrivait vite à des contradictions ( du type 1=10 ). C'est tout simplement parce que vous introduisez dans l'ensemble des entiers naturels un élément qui transgresse les règles usuelles de l'arithmétique. Revenons à ma démonstration : Aucun ! Je ne prétends pas qu'il existe un entier n tel que 1/10n = 0 . Mais cela ne vous aura pas échappé que d'un côté de l'égalité j'ai le signe lim et pas de l'autre : ce 0 est une limite. En effet, pour tout nombre a strictement positif, aussi petit que vous le désirez, je vous trouverais un n tel que 1/10n < a . Et ça c'est la définition du fait que la limite lorsque n tend vers l'infini de 1/10n est égale à 0. Et j'insiste : cette limite ne tend pas vers 0 ( comme on le lit malheureusement trop souvent ), elle est égale à 0. Et puisque vous semblez décidé à défendre votre calcul ( et c'est une bonne chose ! ), dites-moi donc : acceptez-vous le fait que 1=10 ? ou alors avez-vous trouvé une faille dans mon raisonnement ? Ce sont ces petites interventions que j'associe à de la philosophie : elles sont pertinentes, mettent en évidence des questions fondamentales, mais n'ont aucune valeur mathématique. En effet, vous ne donnez aucune définition aux termes que vous employez : l'infini, parties, le tout... Je peux quand même amener quelques éléments de réflexion : vous vous demandez si "l'infini" contient toutes ses parties ? Si vous voulez parler d'un ensemble infini, alors oui, il contient toutes ses parties ( une partie étant un sous-ensemble ). Vous parlez aussi de dernière partie ( ou peut-être voulez vous parler d'un dernier élément ? ). Dans tous les cas, vous devez définir avec soin ce que vous considérez : il ne suffit pas de parler de quelquechose pour lui donner un sens, il faut vérifier qu'il reste cohérent avec la théorie dans laquelle il s'insère. Regardez ce qu'il arrive lorsqu'on suppose l'existence de choses qui n'existent pas : Soit A le plus grand entier naturel. Supposons que A > 1 . Alors A2 > A , ce qui est contradictoire, puisque A est le plus grand entier. Donc A=1 , et 1 est le plus grand entier naturel... :D Vous allez me dire : "c'est n'importe quoi" , et je ne vous contredirai pas. Mais si on regarde ce petit raisonnement, on constate qu'il y a une unique faute : avoir supposé qu'il existait un plus grand entier naturel. De la même façon, vous avez inventé la notion de "dernière partie" et elle vous mène à des contradictions. La seule chose que vous devez en déduire c'est que cette notion n'a pas de sens, qu'il n'y a pas de "dernière partie". Je concluerai sur le point de vue d'un prof de physique pendant un cours d'optique : "L'infini, en gros, c'est au niveau du mur du fond de la classe."

j'espère que mes propos n'ont pas été mal interprétés : je ne remet en cause ni l'intérêt ni la qualité des questions que vous avez pu soulever, je ne faisais que signaler ma totale incompétence en dehors du domaine mathématique, et le fait que la question qui nous occupe peut être abordée de façon purement ( j'insiste :D ) mathématique. Et je ne puis malheureusement qu'approuver votre remarque sur les mathématiques et la religion... Et puisque vous aimez questionner, je me ferai un plaisir de répondre. Au sujet de la démonstration que : 100*0,9 = 101*0,9 Lorsque vous êtes arrivé à ce résultat vous auriez du vous demander où était l'erreur... En effet, vous conviendrez sûrement que 0,9=0,9 et que 0,9≠0 . On peut donc simplifier votre équation en 100=101 , soit 1=10 , ce qui est pour le moins surprenant ( et à vrai dire totalement faux ). Vos erreur sont multiples mais se résument à cette idée : vous traitez "l'infini" comme un entier naturel. Et non ! 0,9 possède une infinité de décimales égales à 9, alors que (10n - 1) / 10n n'en a que n. Et en supposant que les pingouins sont des carottes on arrive à quoi ? :D Plus sérieusement, "infini" ne représente pas un élément de l'ensemble des entiers naturels, vous ne pouvez donc pas attribuer cette "valeur" à n. Le reste des calculs n'a donc pas vraiment de sens, et on arrive au résultat douteux que 1=10. Mais bon, je critique, je critique... et je ne dis pas grand chose. Je vais donc à mon tour proposer une démonstration. Je ne prétends pas faire une démonstration révolutionnaire, mais elle a le mérite d'être simple et rigoureuse. On s'intéresse à 0,9 , mais que signifie exactement cette écriture ? Il s'agit de l'écriture décimale d'un nombre rationnel, et par définition de l'écriture en base 10 : 0,9 = ∑(k=1→∞) ( 9/10k ) = 9* ∑(k=1→∞) ( 1/10k ) Le problème c'est donc d'évaluer cette somme infinie. On voit clairement la somme des termes d'une suite géométrique : la suite de premier terme 1/10 et de raison 1/10, c'est à dire la suite 1/10 , 1/100 , 1/1000 ... La somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme p et de raison r vaut : p*(1-rn)/(1-r) (résultat de 1ère S si mes souvenirs sont bons, que je me ferai une joie de re-démontrer ) La somme des n premiers termes de la suite qui nous occupe vaut donc : ∑(k=1→n) ( 1/10k ) = (1/10)*(1-(1/10)n)/(1-(1/10)) Et c'est là qu'intervient la notion de limite, souvent mal comprise : ∑(k=1→∞) ( 1/10k ) = lim(n→∞) ( ∑(k=1→n) ( 1/10k ) ) = lim(n→∞) ((1/10)*(1-(1/10)n)/(1-(1/10))) = (1/10)*(1-0)/(1-(1/10)) = 1/9 Et donc, en remplaçant la somme par sa valeur dans la première ligne on obtient : 0,9 = 9*(1/9) = 1 CQFD J'invite bien sûr tous ceux qui doutent de la validité de cette démonstration à la critiquer, et je ferai mon possible pour expliquer pourquoi elle est parfaitement rigoureuse ( à erreur de frappe près, c'est jamais évident de tapper une démo sur un fofo ).

" Est-ce que 0,9=1 ? " Cette question est magique : elle a la faculté de provoquer des débats surréalistes sur toutes sortes de forums... Sûrement parce qu'elle est à la fois suffisamment simple pour être comprise par tous et bien trop complexe pour être abordée naïvement par la seule intuition. Moi en tout cas ça m'a toujours amusé de prendre part à ce genre de discussion. Mais il s'avère souvent que le fait que la réponse soit oui heurte tellement l'intuition qu'il est impossible de convaincre les gens ( d'où l'intérêt d'essayer ). Comme Tista, je suis donc curieux de connaître l'état du débat afin de pouvoir y participer activement. Et en attendant, je réagis sur quelques trucs que je viens de lire : - Le mot "infini" est un peu utilisé à toutes les sauces. Dans une optique purement mathématique, ce mot est un adjectif qui qualifie un ensemble. On dit qu'un ensemble est infini... s'il n'est pas fini. Et un ensemble est fini s'il peut être mis en bijection avec [1,n]. Toute autre utilisation du mot "infini" n'a pas de sens correctement défini en mathématique. - Une droite est un ensemble de points. Par exemple dans un repère cartésien de dimension 2 c'est l'ensemble des points dont les coordonnées (x,y) vérifient une équation du type ax+by+c=0 ( une telle équation caractérise une droite ). - Mon point de vue sur la question d'origine : 0,9=1 ( même si je n'aime pas parler de "point de vue" pour parler d'une réalité mathématique qui ne devrait pas être sujette à controverse ). Pour conclure : je suis scientifique de formation, et je répondrai en tant que tel. Les points de vue philosophiques, bien qu'intéressants en tant que réflexion, ne peuvent apporter aucun élément de réponse à une question purement mathématique. Je ne me lancerai donc pas dans une discussion philosophique.