aliochaverkiev

Je reviens sur la récurrence et l'apparente circularité de ce raisonnement. Il m'apparait que la critique de "déjà utilisé" est fondée. Si nous partons de l'hypothèse qu'une proposition P (n) [proposition qui dépend d'une valeur n appartenant à l'ensemble des entiers naturels] est vraie, puis après avoir démontré que l'implication P(n) implique P(n+1) est vraie, nous en concluons que P(n) est vraie ça n'a aucun sens. Cette critique m'a conduit à mieux étudier le principe de récurrence (l'axiome devrait-on dire). Et, en effet, la récurrence est mal enseignée. Cela dit la logique mathématique pure est une branche des mathématiques qui n'est pas toujours étudiée par les enseignants. Je ne sais même pas si, aujourd'hui, cette branche est étudiée dans le cadre du CAPES par exemple. Je remarque que l'implication n'est plus utilisée dans le vocabulaire des nouveaux programmes de maths en secondaire, ce qui pourrait bien être la conséquence d'une réflexion sur le sujet chez les concepteurs des programmes. L'implication n'est pas aisée à comprendre, ni à enseigner. Revenons sur la récurrence. L' axiome de Peano, sur ce sujet (la récurrence) est celui-ci (je passe sur les axiomes constitutifs de l'ensemble N) : Soit, pour tout n dans N, P(n) une propriété dépendant de n. Si P(0) est vraie et si, pour tout n appartenant à N, l'implication P(n) implique P(n+1) est vraie, alors P(n) est vraie pour tout n. Dans ce libellé nous ne préjugeons pas de la vérité de P(n). Mais c'est un fait que , dans l'enseignement, il est supposé que P(n) est vraie. Cette façon de présenter la récurrence provient de deux causes possibles : soit l'enseignant n'a pas étudié la logique pure (ce qui est probable) soit il préfère présenter les choses ainsi, ce qui lui évite d'entrer trop loin dans les principes de la logique pure, plutôt complexes (ce qui est tout aussi probable). Présenter les choses en supposant que P(n) est vraie est un abus de langage, mais bon, difficile de faire autrement. Revenons à la récurrence. Je démontre que l'implication P(n) implique P(n+1) est vraie. Bien. Je ne sais toujours pas si, pour autant, P(n) est vraie [pour le lecteur profane ce que j'écris là est incompréhensible mais je vais y revenir]. Maintenant je transporte cette implication (vraie donc) sur le premier terme de la suite dont je dois démontrer la vérité. Soit le terme de rang 0. J'ai, comme on dit, initialisé mon raisonnement c'est-à-dire que j'ai démontré que la propriété est vraie pour n = 0. En transportant mon implication réputée vraie sur le premier terme cela me donne les deux assertions suivantes : L'implication P(n) implique P(n+1) est vraie et P(0) est vraie. Or de la conjonction de ces deux hypothèses il ressort que P(n+1) est vraie, soit ici P(0+1) soit P(1). Pourquoi peut me demander le profane ? Parce que, par définition, nous avons au préalable défini une table de vérité pour l'implication. Cette table de vérité est la suivante : P vraie, Q vraie, P implique Q vraie P vraie, Q faux, P implique Q faux P faux, Q vraie, P implique Q vraie P faux, Q faux, P implique Q vraie C'est à dire que, si nous juxtaposons les trois formules, P, Q, P implique Q, nous n'avons que les possibilités écrites ci-dessus. Par exemple, si P est vraie et si P implique Q est vraie, nous voyons alors que Q est forcément vraie, nous n'avons que cette possibilité là dans cette table de vérité [il faut que le lecteur accepte cette définition, cette table de vérité, il s'agit d'une définition, pas d'une démonstration, d'un axiome en quelque sorte]. Donc la juxtaposition des deux assertions suivantes : L'implication P(n) implique P(n+1) est vraie et P(0) est vraie, nous permet d'écrire que P(0 +1) est vraie (en remplaçant n par 0, qui est une opération de substitution, opération qui est un principe de la logique mathématique). Maintenant que nous avons démontré que la proposition est vraie pour n = 1, nous pouvons continuer pour n + 2, et ainsi de suite. Nous avons notre démonstration. Où est le problème alors (s'il y en a un) ? Il est dans la démonstration de l'implication : P(n) implique P(n+1). Sans rien savoir sur la vérité ou non de P(n) nous démontrons l'implication. Et nous pouvons en effet démontrer que l'implication est vraie sans rien savoir sur P(n), sans savoir si elle vraie ou fausse. Le lecteur profane va dire : "Bon si P(n) est faux on ne pourra jamais démontrer que l'implication est vraie ! Faux. Prenons l'implication 0 = 1 implique 1 =2, les deux termes de l'implication 0 = 1 et 1 = 2 sont faux mais le raisonnement est juste, donc l'implication est vraie ! Cela ressort de la table de vérité citée ci-dessus, si P est faux et si P faux implique Q faux, alors P implique Q est vraie. Mais dans ce cas là nous voyons que Q est faux, donc logiquement si P(n) est faux nous devrions trouver que P(n+1) est faux et donc en déduire que la récurrence est impossible. Mais il y a un autre cas de figure, redoutable. En regardant la table de vérité je constate que P faux implique Q vraie est une implication vraie ! Et là je reste perplexe. Est-ce que, ne sachant donc rien sur P(n), c'est-à-dire ne sachant pas si elle est vraie ou fausse, et opérant des opérations de calcul sur P(n) vais-je forcément trouver que P(n+1) est faux dans le cas où P(n) est faux ? Je n'en suis absolument pas sûr ! Enfin pour l'instant cette faille je ne l'ai pas encore comblée. Car si je trouve, après mes opérations de calcul que P(n+1) est vraie alors que P(n)est faux , alors pour moi l'implication sera vraie (voir table de vérités) et je vais me planter ! Logiquement si P(n) est faux, je dois trouver que P(n+1) est faux. Mais voilà, je suis en train de traiter une récurrence qui est vraie pour n = 0 mais qui est fausse pour n = 3 (2^n plus grand ou égal à n²). Or je peux très bien démontrer que l'implication est vraie ! ce qui ne me permettra pas de détecter qu'elle est fausse pour n = 3. (En fait P(n+1) ne sera vraie que pour certaines valeurs de n, donc en principe tout va bien, sauf que les valeurs de n refusées ne comprennent pas la valeur 3 ! problème!). Bon pour en revenir aux remarques de "Déjà utilisé" il a raison. Présentée comme elle est présentée la récurrence est un raisonnement circulaire. Mais elle ne devrait pas être présentée comme elle est présentée. L'erreur vient de l'enseignement lui-même. Nous ne devrions pas partir du principe que que P(n) est vraie dans le raisonnement. Intéressante critique de "déjà utilisé" qui m'a permis d'approfondir le problème. Et du coup d'aller plus loin dans la compréhension des théorèmes de Gödel. Quand je possèderai bien la compréhension des théorèmes de Gödel, j'en ferai l'exposé ici car les théorèmes de Gödel sont en effet importants sur le plan philosophique. Mais il est nécessaire de bien comprendre le processus de la pensée de Gödel pour en tirer quelque chose qui tienne la route et non pas toutes les fantaisies que j'ai pu lire plus haut. Tout de même savoir que "déjà utilisé" n'est pas un spécialiste des maths et constater que lui seul soulève un vrai problème est remarquable. Bravo. "Déjà utilisé' va pouvoir dire à son fils que l'enseignement du secondaire fait une erreur de logique ! Cela dit qu'il n'aille pas critiquer son enseignant ! Celui-ci fait ce qu'il peut avec les programmes écrits comme ils sont écrits.

Mais en l'occurrence nous parlons d'arithmétique, domaine dans lequel opère le tiers exclus. Maintenant vous pouvez inventer n'importe quoi d'autre; créez vote monde au lieu de palabrer. Beaucoup de parlotes mais jamais rien de concret; moi je veux bien que vous créiez d'autres mondes, alors je vous dis : allez bossez, montrez nous ce que vous savez faire.

Il ne s'agit pas de reconnaître ou pas le tiers exclus. Le tiers exclus est un principe de construction de l'arithmétique. Une décision. En mathématique nous décidons. Puis après avoir décidé des principes nous construisons. Dans un premier temps l'arithmétique se fout du réel. Après si l'instrument que nous avons créé vous sert, vous les réalistes, tant mieux pour vous, nous on s'en fout : nous sommes des créateurs de mondes. Mais nous pouvons très bien créer aussi des mondes où il y aurait d'autres principes. Par exemple le tiers, ou le quart pourquoi pas, ne serait pas exclus, le principe de contradiction ne serait pas non plus exclus. Nous pouvons imaginer des mondes à 10, 20, 50 dimensions. Des mondes hyperboliques, des mondes sphériques, des mondes coniques, nous ne nous refusons rien question imagination. Nous sommes des artistes. Nous sommes donc insupportables. Ou même délirants (à vos yeux) ; ne considérez-vous pas d'ailleurs que Gödel était fou lorsqu'il parla de la glande pinéale ? Avez-vous déjà rencontré un mathématicien qui soit raisonnable ? Ah ah ah !!! Et nous sommes heureux de constater, que nos créations, parfois, vous sont utiles et même nécessaires pour comprendre le monde physique.

Un raisonnement est un raisonnement, qu'il soit empirique ou pas. Il n'y a pas de bon ou de mauvais raisonnement, il y a un raisonnement juste, un point c'est tout, le reste s'appelant paralogisme, sophisme, etc. D'autre part vous faites les mêmes erreurs de raisonnement que l'auteur de ce fil. A partir d'un problème local (les fondements de l'arithmétique) vous en déduisez des considérations sur la vie. Or vous ne "déduisez" pas du tout, vous êtes en fait dans l'induction ou l'extrapolation. A partir d'un évènement précis, vous "induisez" des règles, des considérations générales. Vous partez du particulier pour en déduire des idées sur le général. Nous sommes confrontés tous les jours à ce type de "raisonnement". Exemple : "Un immigré a commis un larcin, donc tous les immigrés sont des voleurs". Ce n'est pas sérieux. Induire, à partir du théorème (ou des théorèmes) de Gödel que, par exemple Ockham a tout faux, n'a, non plus, aucun sens.

"La science contemporaine répond positivement à l'interrogation de Poincaré : oui de bien des manières les opérations subliminales surpassent la réflexion consciente" "Certains psychologues vont jusqu'à affirmer que la conscience n'est qu'un mythe" "Je tenterai de réfuter cette théorie qui fait de la conscience une illusion" "La conscience est une fonction biologique qui a émergé au cours de l'évolution parce qu'elle remplissait un rôle utile à la survie" "Poincaré avait remarqué qu'en dépit de leur puissance de calcul les rouages de l'inconscient ne se mettent en route qu'à la suite d'un examen prolongé et éminemment conscient du problème initial. Il notait également qu'après l'illumination seul l'esprit conscient pouvait vérifier pas à pas les intuitions que l'inconscient prétendait justes" Cette façon d'écrire (que je comprends) peut induire en erreur bien des lecteurs profanes. Par exemple l'expression "les rouages de l'inconscient" qui est une simplification d'écriture, peut être comprise par le lecteur non averti comme les rouages d'une chose qui s'appellerait : l'inconscient. D'où toutes les digressions sur la chose "l'inconscient" (comme d'ailleurs sur la chose "conscient" et la chose "conscience". Pourtant ce n'est pas ce que veut dire l'auteur. Il veut parler d'activités inconscientes, ce qui n'est pas du tout assimilable à : il existe une chose qui s'appelle" l'inconscient", et cette "chose" pense (confer Lacan). Malheureusement les scientifiques, qui se comprennent entre eux, ne sont pas compris par la plupart des lecteurs non rompus aux méthodes scientifiques, ils finissent par croire en l'existence réelle d'une chose : l'inconscient. Cela dit les scientifiques eux-mêmes tombent parfois dans le panneau et finissent par donner l'existence à de simples procédés imposés par le langage.

"Certaines opérations mathématiques élémentaires, comme la moyenne ou la comparaison, s'effectuent sans conscience". "Bien des psychologues ont longtemps considéré que l'administrateur central de notre cerveau (central executive), ce système de haut niveau qui contrôle nos actes, inhibe nos réponses instinctives, passe d'une tâche à l'autre, et repère nos erreurs était l'apanage de l'esprit conscient. Il n'en est rien : une part au moins de ces opérations se déroulent inconsciemment et peuvent être guidées par des stimuli invisibles" "La boite à outils de l'inconscient comprend une extraordinaire diversité d'opérations mentales, depuis la compréhension d'un mot jusqu'à l'addition de plusieurs chiffres, et depuis la détection d'erreurs jusqu'à la résolution de problèmes. Parce qu'elles travaillent rapidement et en parallèle, ces opérations surpassent souvent la réflexion consciente"

Je viens ici informer, je ne viens pas comme vous prêcher. Vous venez sans cesse me dire que l'information que je délivre vous la connaissez déjà. Puisque vous connaissez toutes ces informations je vous presse de publier ou de prendre contact avec toutes les équipes de scientifiques qui travaillent sur ce sujet (le cerveau, la conscience, etc.). Nous gagnerions tous du temps.

Lettre 3 17/12/2017 Samuel, Comme je te l'ai écrit dans ma deuxième lettre l’histoire d'Abraham est propre à la tradition juive. Celle-ci s'appuie sur des textes qui constituent le Livre de la Genèse, composé entre le VIII siècle et le VI siècle avant notre ère. Ce sont les Lévites, serviteurs du Temple de Jérusalem, qui écrivirent ce texte ainsi que les quatre autres textes de la Torah, le grand œuvre de la tradition juive. Les Lévites voulurent doter Israël d'une histoire commune en vue de cimenter entre eux tous ses enfants. Sous l'emprise de cette Volonté ils ont idéalisé l'histoire. Ils ne disposaient pas d'écrits relatant précisément les origines. La mémoire était orale, la transmission se faisait par la parole, non par l'écrit, ce fut propice à toutes les interprétations. Aujourd'hui, grâce aux recherches des archéologues notamment, nous pouvons tenter de reconstituer l'histoire des origines. Cette reconstitution s'appuie elle-même sur des hypothèses que l’avenir, au gré de nouvelles découvertes, modifiera ou confirmera. Les Hébreux vivaient bien à Ur, cité mésopotamienne. C'étaient des éleveurs, ce qui les attachaient certes à la terre, par la nécessité de trouver des pâturages, mais de manière moins étroite que les agriculteurs. Ils pouvaient à tous moments partir explorer d'autres terres, en poussant devant eux leurs troupeaux, à la recherche de nouveaux pâturages. C'étaient des nomades. Comme tous les peuples des premiers temps ils respectaient leurs morts et ils développèrent aussi le culte des ancêtres. Le souvenir idéalisé des ancêtres enfanta dans les esprits des hommes les dieux. Les dieux représentaient les ascendants les plus marquants qui continuaient ainsi de vivre parmi les hommes. Les Hébreux évoluèrent vers une vision où existait un seul dieu. Il est probable que cette évolution est due à celle de leur structure familiale, construite autour du père, comme les autres peuples, mais avec cette particularité que le père formait une association avec les fils. Au lieu d'entrer dans une relation exclusivement autoritaire, propice à des conflits violents ou à l'indifférence entre pères et fils,les Hébreux choisirent l’alliance. Le père et les fils coopéraient entre eux. C'est là tout le sens de l’Alliance entre le dieu unique, symbole du père, et Abraham symbole du fils. Qui, à son tour, transmit cette alliance à ses propres fils et ainsi de suite. Cette alliance fut inscrite dans la chair des fils par le rite de la circoncision. C'est pourquoi la circoncision est le signe de l’appartenance des fils au peuple hébraïque. La circoncision est le souvenir de cette Alliance. Elle est le souvenir de la singularité des Hébreux dans leurs rapports familiaux. Le dieu des Hébreux, Yahvé, fut donc d'abord un dieu familial. Les Hébreux ne rejetaient pas les dieux des autres peuples. Ils étaient monolâtres c'est-à-dire qu'ils adoraient un seul dieu, mais sans rejeter pour autant les autres dieux. Ils n'étaient pas encore vraiment monothéistes. Dans ces temps anciens les hommes construisaient des édifices religieux, des ziggourats qui montaient vers le ciel. Les prêtres montaient au sommet de ces ziggourats et entraient en communication avec les dieux. Ils leur soumettaient leurs décisions et ils se recueillaient jusqu'à ressentir en eux, parfois en interprétant des signes, parfois en se fondant sur leur inspiration, un sentiment d’harmonie entre leurs décisions et la volonté des dieux. C'est ainsi qu’Abraham entra en communication avec le dieu familial hébraïque. Dans ce recueillement, il fit silence en lui, de manière à recevoir la Parole de Yahvé. Ce n'est pas qu'il entendait une voix, c'est qu'il sentait que Yahvé lui parlait, même s'il n'entendait aucun mot. C'est ainsi qu’Abraham après avoir senti dans son cœur que Yahvé approuvait le rite de l'alliance sentit aussi qu'Il approuvait son désir de partir d'Ur. Alors les Hébreux quittèrent la cité pour gagner le pays de Canaan. Je te raconterai cette histoire fantastique dans une prochaine lettre. Israël : la tradition biblique rapporte l’origine de ce nom dans le livre de la Genèse, quand le troisième des patriarches hébreux, Jacob, est renommé Israël (« Celui qui lutte avec Dieu » ou « Dieu est fort, Dieu triomphe») après avoir combattu avec un ange de Dieu. Hébreu : le mot signifie "passer, passer à côté, traverser". Ce terme s'applique donc à Abraham lorsque, partant de la Mésopotamie, il franchit l'Euphrate avec son peuple pour partir vers le pays de Canaan. Torah : le mot signifie « enseignement » en hébreu et désigne les cinq premiers livres de la Bible : Genèse, Nombres, Lévitique, Exode, Deutéronome. Ces cinq livres sont aussi appelés : le Pentateuque. Selon la tradition, la Torah a été donnée au peuple d’Israël par l'intermédiaire de Moïse sur le mont Horeb. Elle contient les lois et les Commandements, ainsi que l’histoire d’Israël depuis la création du monde jusqu’à la mort de Moïse, avant l’entrée imminente du peuple d’Israël en Terre promise. C'est Moïse qui fonda la religion juive. C'est sous son impulsion que fut définitivement proclamée l’existence d'un Dieu unique rejetant ainsi comme idoles tous les autres dieux. Moïse vécut réellement, vers 1250 avant notre ère, soit beaucoup plus tard qu'Abraham. A propos de la relation entre l'étude de l'implication en mathématiques et la philosophie : La logique fut d'abord étudiée par Aristote, notamment dans son œuvre : les Topiques. C'est lui qui le premier utilise un langage mathématique du type : si P alors Q (langage de l'implication). C'est donc Aristote, un philosophe, qui a établi le premier les règles du raisonnement en général, règles dont dépendent aussi les mathématiques.

Ce que j'écris en italique sont les études de Dehaene. Donc votre critique s'adresse à lui. Donc vous savez déjà tout ce que cet homme étudie. Et même tout ce que son équipe de spécialistes de tous bords étudient ! Formidable ! Prenez rendez-vous au Collège de France où il professe. Remplacez le! Publiez, publiez ! le monde attend votre savoir. Soyez généreux ! Eclairez-nous !

La démonstration est vraie (dans la récurrence) mais elle s'appuie sur des principes qui, eux, sont sujets à caution. Nous savons que dans un syllogisme, la démonstration peut être vraie mais conduire à des résultats aberrants si nous ne prenons pas garde à la cohérence des prémisses. En fait en étudiant à l'instant le premier théorème de Gödel je vois qu'il est affirmé qu'il est impossible de démontrer qu'une proposition est vraie pour n =1, n = 2, n =3, etc. et de démontrer en même temps qu'il existe un "n" tel que la proposition soit fausse. C'est même la base du théorème de Gödel pour en déduire qu'il existe des propositions ni réfutables, ni démontrables ! Je pouvais donc m'échiner pendant des heures sans succès ! Je cherchais à démontrer l'indémontrable ! Il est impossible de faire une analogie entre l'arithmétique et des notions telles que le réel, le vrai etc. Rien à voir. Le vrai en maths n'a rien à voir avec la notion de vérité en philosophie. En maths nous décidons de certaines définitions, de certains axiomes, etc. et nous désignons du vocable "vrai" ce qui découle de ces définitions et de ces axiomes selon les règles de la logique générale; les objets dont nous traitons sont désignables et précis : des nombres, des points. Rien à voir avec le flou des mots de la philosophie. La précision de nos objets résulte de ce fait : nous travaillons dans les formes a priori de la sensibilité, l'espace et le temps. Tandis que le philosophe souvent (pas tous !) se déconnecte totalement du sensible jusqu'à tomber dans la métaphysique c'est-à-dire dans l'imaginaire pur. C'est tout le paradoxe, le mathématicien est in fine relié au réel par les formes pures de la sensibilité tandis que le métaphysicien déconnecte, lui, complètement; c'est d'ailleurs parce que le mathématicien travaille dans les formes pures du temps et de l'espace que ses "produits" mentaux sont utilisables par les physiciens. Prenons la notion de réel. Cette notion ne cesse de changer depuis que nous savons que ce que nous appelons réel est d'abord un modèle, une représentation (en fait nous le savons depuis Kant et Schopenhauer, le monde est ma représentation). Nous n'avons pas accès au réel, c'est ce que nous découvrons. Cela ne signifie pas qu'il n'existe pas une réalité, il y a bien une réalité qui s'impose à nous, nous en faisons sans cesse l'expérience, cela signifie que nous ne pouvons rien faire d'autre que d'en construire un modèle, une représentation. L'attitude philosophique n'est pas de décrire le réel, elle est de prendre de la distance avec soi et de décrire ce qui se passe, ce qui apparaît en soi. C'est la conscience réflexive. Maintenant savoir si ce que je découvre en moi, si je décris comme vu en moi, est le réel en soi c'est une autre paire de manche. Ce qui est réel c'est ce que je découvre en moi. C'est le seul réel dont je sois sûr. Enfin le mathématicien ne s'intéresse pas au réel, enfin pas à votre réel. Mais c'est lui qui fournit les instruments qui vous permettent de vivre, de vous soigner, de vous déplacer etc. Sans les mathématiciens Einstein serait resté impuissant. Ce sont les mathématiciens qui lui fabriquent l'espace-temps, cet instrument mathématique qui lui permet d'accoucher de sa théorie. Sans le mathématicien, pas de sciences physiques, rien.

Au demeurant je ne vois absolument pas le rapport entre la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec le principe de récurrence. Expliquez moi.

Vous me donnez la démonstration ? je suis preneur.

Oui c'est bien un axiome de Peano ce principe de récurrence encore que ce soit en fait un mathématicien du 16 siècle qui l'a émis la première fois, Francisco Maurolico. Il y a quelque chose de circulaire dans ce principe. Si la proposition P(0) est vraie et si la proposition : "P(n) implique P(n+1)" est vraie alors P(n) est vraie selon ce principe. Mais, pour démontrer l'implication nous supposons que P(n) est vraie ! Donc nous supposons que P(n) est vraie pour démontrer que P(n) est vraie. La question est : que se passe-t-il quand, supposant que P(n) est vraie, celle-ci est en fait fausse ? Sommes nous sûrs, que dans TOUS LES CAS nos arriverons à des aberrations de raisonnement ?

La question est tout de même celle-ci : Et si la proposition que je suppose vraie pour n, avant de démontrer qu'elle est vraie pour (n+1) était fausse ? Suis-je sûr que, d'une proposition fausse, je ne peux déduire qu'une proposition fausse ? Ce n'est pas sûr. Et c'est tout le problème de l'implication. Qu'une "proposition fausse implique une proposition vraie" est elle-même une proposition vraie, c'est vérifié dans la table de vérité de l'implication. Il y a quand même un doute sur la récurrence. Mais comment démontrer qu'une proposition est fausse ? En trouvant un cas qui l'infirme. Il est possible que les logiciens se soient emparés de ce problème et aient démontré que le raisonnement par récurrence ne pouvait pas être faux. Mais il me semble que c'est un axiome. Donc il est impossible que quinconce ait pu démontrer que la récurrence pouvait être fausse. Bon la question est ouverte, mais c'est trop long, pour moi, de m'attaquer à ce problème. Toujours est-il que personne pour le moment n'a pu citer un seul cas qui mettrait en défaut la récurrence.

Oui en effet on pouvait aussi démontrer que la suite Vn est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme = 1. Il s'en suit directement que V(n) = 1/2^n. Et là c'est vrai et du coup en effet V(n+1) = 1/2^(n+1). Cet exo de maths est un peu limite. Le prof a surtout voulu trouver un énoncé pour forcer les élèves à utiliser la récurrence. Mais il était possible de ne pas utiliser la récurrence pour répondre à la question. Revenons au raisonnement par récurrence. Il consiste à démontrer la vérité d'une proposition mathématique qui est elle-même formulée en fonction de n (nombre naturel). Par exemple démontrer que la somme des carrés des n premiers nombres (naturels) = n(n+1)(n+2)/6 Appelons cette somme V(n). Si je la tiens pour vraie en soi bien sûr j'en déduis V(n+1). Mais justement est elle vraie ? Je vais la supposer vraie. Bon, vous me dites, ah mais si vous la supposez vraie vous en déduisez aussitôt V(n+1) ! Non, je ne vais pas procéder ainsi, je vais supposer qu'elle est vraie pour n et je vais utiliser la définition de la suite pour voir à quoi est égale la somme des (n+1) premiers termes. Et si je trouve que la somme des (n+1) premiers termes est égale à (n+1) (n+2)(2 (n+1) +1)/6 alors je pourrai dire que la proposition est vraie pour (n+1) et je dirai ensuite que la proposition est vraie pour tout n, pourquoi ? parce que j'aurais initialisé la proposition pour n= 0. Regardez bien l'effet de l'initialisation. J'ai démontré que la proposition est vraie pour n= 0, puis je démontre que si elle est vraie pour n et qu'elle est vraie alors pour (n+1) elle est vraie pour tout n. Supposons que n= 0. Je démontre que la proposition est vraie pour n +1 soit ici 1. Je trouve que la proposition est vraie. Et ainsi de proche en proche. Je sais que la proposition est vraie pour 1 maintenant, je prouve qu'elle est vraie pour 2, sachant qu'elle est vraie pour 1. Etc. Au fond il suffit de prouver qu'elle est vraie pour (n+1) sachant qu'elle est vraie pour n et d'utiliser cette démonstration de proche en proche à partir de l'initialisation pour démontrer qu'elle est vraie pour tout n. C'est génial, sauf que le doute s'installe. Et si la proposition était fausse pour n ? Logiquement dans mon calcul de (n+1) je devrais avoir un problème, car je vais partir d'une proposition fausse pour ma démonstration. Et en effet dans ma démonstration je vais trouver que la proposition n'est pas vraie pour tout n, et je devrais faire des restrictions (en général dans ces cas là l'initialisation doit être faite, à 2, 3 ou 4). Bon prenons une suite V(n) quelconque qui est vraie pour n= 1 par exemple mais qui est fausse pour n= 5 et mettons que je ne le vois pas. J'initialise correctement pour n= 1. Maintenant je suppose qu'elle est vraie pour n et je démontre que, si elle est vraie pour n elle est vraie pour (n+1). Verrai je qu'elle est fausse pour n = 5. Oui car n prend toutes les valeurs possibles dont la valeur 1 pour laquelle la proposition est vraie. Mais n prend aussi la valeur 4 qui est encore vraie. Je vais donc trouver pour n+1 des conditions de vérité dans ma démonstration. Je trouverai que pour n = 4, oui la proposition est vraie mais je serai incapable de démontrer que c'est vraie pour n= 5 (puisque c'est faux !). Mais je n'aurai pas besoin de remplacer n par 4 pour le voir. Car comme n prend toutes les valeurs possibles, forcement dans ma démonstration, mon raisonnement me conduira à des contradictions pour telle ou telle valeur de n. J'aurais une expression finale, fonction de n, qui n'apparaitra pas vraie pour toutes les valeurs de n.

Vous confondez beaucoup de notions. Vous confondez la notion de vérité d'une égalité (telle fonction, telle suite prend telle valeur pour telle valeur de la variable) et la notion de limite. Faisons simple, prenons une suite géométrique de premier terme 1 et de raison q= 1/2. Chaque terme de la suite est définie. V(n) = (1/2)^q. Mais la suite tend vers 0, c'est-à-dire qu'à l'infini V(n) = 0. Dans le premier cas nous donnons la valeur numérique d'un élément de la suite, dans le second cas nous étudions une limite. Vous faites confusion de notions. Par ailleurs les mathématiques travaillent sur des objets précis, des nombres en arithmétique, des points en géométrie. Les mathématiciens ne prétendent pas du tout travailler sur des lois, sur des notions comme la vie, ou je ne sais quoi. Ils n'ont pas cette prétention.

Hum...ne passez pas le bac S, vous auriez zéro ! vous n'y êtes pas du tout, il faut que je vous explique votre erreur de raisonnement, mais c'est assez long, vous avez beaucoup de lacunes en math, vous ne comprenez pas l'implication par exemple (pourtant cette relation est étudiée depuis Aristote !). Bon j'essaye quand même de devenir votre enseignant ! Quand vous écrivez n'importe quelle égalité de type : Vn = f(n), vous pouvez l'écrire par définition, comme une donnée par vous décidée. V(n) = 2 n par exemple, vous écrivez cela par décision. Donc V(n+1) = 2(n+1) bien sûr ! Mais ici quand nous écrivons Vn = 1/2^n (on emploie le signe ^ plutôt que le signe exp, car exp est le symbole de la fonction exponentielle, c'est pourquoi je ne comprenais rien au début à ce que vous écriviez) nous ne le décidons pas ! nous l'observons. Nous observons que, pour un indice donné, mettons n, nous voyons, après observation, que Vn semble être égal à 1/2^n. Mais V(n) n'est pas du tout défini comme étant égal à 1/2^n ! V(n) est définie comme étant égal à (n+1) U(n) ! Et, bien sûr dans le cadre de cette définition nous avons bien V(n+1) = (n+2) U(n+1), là c'est évident puisque nous appliquons une définition. Mais quand constatons que V(n) = 1/2^n nous ne savons pas si cette constatation est vraie pour toutes les valeurs de n. Pour vous c'est évident ! mais pour un mathématicien absolument pas ! d'autant que les mathématiciens vont trouver des suites de ce type qui vont être vraies pour l'indice n et pas pour l'indice (n+1) ! Le problème des mathématiciens c'est celui-là : est ce qu'une proposition vraie pour l'indice n= 0, n = 1, n = 2, n = n est vraie pour l'indice n+1 ? Pour vous c'est évident mais pour un mathématicien pas du tout ! D'autant que vous avez des suites qui sont vraies pour n = 1, n= 2, etc. et qui ne sont pas vraies soudain pour certaines valeurs de l'indice. Avec votre sens de l'évidence en maths c'est pour le coup que nous ne serions pas sûrs que l'avion qui part de Paris à 12 heures arrivera bien à Marseille à 13 heures ! Votre erreur est la suivante : Vous tenez pour vraie l'égalité V(n) = 1/2^n. Or nous ne savons pas si elle est vraie ! Si vous partez de l'idée qu'elle est vraie en soi, bien sûr V(n+1) = 1/2^(n+1). Il faut que nous prouvions qu'elle est vraie. Vous passez allègrement par dessus l'exigence de démonstration ! Cela dit la récurrence pose problème à beaucoup de lycéens de terminales S je vous rassure, c'est une notion complexe.

[Je crois que mes contradicteurs, qui n'aiment pas les idées nouvelles, auraient sans doute envoyer Galilée sur le bûcher ! C'est ainsi, le plus grand nombre tend à la fossilisation, mais il existe toujours une frange de femmes et hommes qui toujours vont de l'avant ]. Le cerveau, avec l'âge tend à se scléroser, seul l'effort de toujours apprendre, de toujours faire effort dans la découverte et la curiosité, assure une vitalité à notre cerveau. Sinon les sillons, en lui se creusent et l'individu dévient incapable de sortir de ses fondrières cérébrales qu'il a beaucoup trop pratiquées. Je continue. "Nous sous estimons considérablement à quel point les opérations de la vision, du langage ou de l'attention se déroulent hors de la portée de notre introspection" "Se pourrait-il que certains calculs que nous considérons comme l'apanage de la conscience s'effectuent en réalité inconsciemment ?" Prenons l'exemple des mathématiques. L'un de plus grands mathématiciens de tous les temps, Henri Poincaré, attribuait ses plus grandes découvertes à la fécondité de son inconscient" Poincaré cite deux anecdotes à ce sujet. "Au moment où je mettais le pied sur le marche pied, l'idée me vint, sans que rien dans mes pensées antérieures parut m'y avoir préparé que les transformations fuchsiennes étaient identiques à celles de la géométrie non euclidienne. Je ne fis pas la vérification, je n'en aurais pas eu le temps puisqu'à peine dans l'omnibus, je repris la conversation entamée; mais j'eus tout de suite une entière certitude. De retour à Caen, je vérifiais le résultat à tête reposée pour l'acquit de ma conscience" "Un jour en me promenant sur la falaise l'idée me vint, toujours avec le même caractère de brièveté, de soudaineté et de certitude immédiate que les transformations arithmétiques des formes quadratiques ternaires indéfinies étaient identiques à celle de la géométrie non euclidienne" La question qui se pose est donc celle-ci : pouvons-nous vraiment résoudre inconsciemment des problèmes complexes ?

Exact

Bon initialisons à 0. Nous avons V(0) [V indice 0] = ( 0 + 1) U(0) = 1 x 1 = 1 (je pars de la définition de la suite V(n) dans l'énoncé) Par ailleurs nous avons V(0) = 1/2^0(2 puissance 0) = 1/1 = 1 (je pars de la conjecture) Donc V(0) définition = V(0) conjecture, pour n = 0 Initialisation donc réussie. Nous supposons maintenant que V(n) = 1/2^n est vraie et nous allons démontrer que V(n+1) = 1/2^(n+1) est vraie. Nous avons U(n+1) =[(n+1))/(2n + 4)] x U(n) selon la définition de la suite U(n) Soit 2(n+2) x U(n+1) = (n+1) U(n) [je passe (2n + 4) de l'autre côté de l'égalité après avoir factorisé par 2] Mais (n+1) x U(n) = V(n) [par définition], et V(n) = 1/2^n (par hypothèse de récurrence). Donc 2(n+2) x U(n+1) = (n+1) U(n) =V(n) = 1/2^n et 2(n+2) U(n+1) = 1/2^n d'où (n+2) U(n+1) = 1/2^n x 1/2 = 1/2^(n+1) Mais (n+2) U(n+1) = V(n+1) par définition, Donc V(n+1) = 1/2^(n+1) CQFD. Ca y est je viens de démontrer que la conjecture est bonne.

En première approximation on peut constater qu'à chaque valeur de n correspond, pour Vn une valeur égale à 1/2^n. (1 sur deux puissance n). Pour démontrer cette conjecture le mieux est de passer par un raisonnement par récurrence.

Le symbole est une représentation. En tant que représentation il est une activité consciente et inconsciente. Il y a donc une activité consciente, qui porte le symbole, mais cette activité consciente est aussi portée ou accompagnée par une activité inconsciente. L'activité consciente est toujours prolongée (ou est elle-même en prolongement de) par une activité inconsciente. Vous essayez de transposer dans quelque chose qui serait l'inconscient quelque chose qui serait dans le conscient. Votre habitude à penser en continents séparés, d'un côté quelque chose qui serait le conscient (un amas de neurones peut-être pour vous) et de l'autre un autre continent séparé, qui serait l'inconscient, vous empêche de saisir les idées nouvelles relatives aux études sur le cerveau. Vos modes de pensée sont héritées d'une culture donnée (celle d'un Freud par exemple) qui sépare, artificiellement, le tout en parties. Si, par exemple, vous pensez l'eau sous le rapport des propriétés séparées de l'oxygène et de l'hydrogène vous n'arriverez à rien comprendre des propriétés de l'eau.

Ce texte est un tel mélange d'idées incohérentes entre elles qu'il laisse d'abord pantois. Mais dans une seconde lecture ce texte exprime tout l'inconscient désordonné d'une majorité de personnes. C'est le règne, dans ce texte, non pas des vérités, mais des opinions. Avec, en arrière plan, des angoisses récurrentes. Finalement ce texte vaut la peine d'être étudié, comme symptôme des opinions les plus éculées. Après tout nous sommes tous les jours confrontés à ce genre de discours incohérent. Mais l'incohérence même de ces discours est justement l'expression d'angoisses profondes Cela vaut la peine de déceler la nature de ces angoisses. Il y a aussi cette fascination d'enfant pour des notions qui dépassent le locuteur. Comme si la complexité de certaines locutions recelait des vérités extraordinaires. Il y a là toute la crédulité courante du grand public, crédulité un peu pathétique. J'aurais bien aimé que le fils de "déjà utilisé" me dicte l'énoncé de son problème !!! Je suis curieux de connaitre l'énoncé de la suite considérée.

"Comment l'attention décide-t-elle de la pertinence d'un stimulus ? La sélection s'appuie sur ce mécanisme : l'attribution par le cerveau d'une valeur à chacune de nos pensées potentielles" Cette attribution reste inconsciente. "La conclusion est claire : notre cerveau abrite toute une série de dispositifs astucieux mais inconscients qui évaluent en permanence les entrés sensorielles, guident notre attention et orientent nos pensées" "Nous ne cessons de surestimer la conscience" " Parce que les opérations inconscientes nous échappent nous exagérons l'importance de la conscience dans notre vie mentale" "Nous accordons trop de crédit à l'introspection consciente et sous-estimons en permanence l'importance des vraies raisons inconscientes de nos comportements"

Hum je vois que mes doués en math ne parviennent pas à répondre à "déjà utilisé" ! Mes doués en maths ne voient même pas que "déjà utilisé" se goure dans l'expression de sa suite ! Bon vous recopiez des textes entiers piqués sur internet...comme d'habitude. Parler savamment des maths et ne pas voir l'absurdité d'un énoncé pourtant évidente à détecter est assez navrant.