Problème de maths - Première S

Bonjour bonjour...

Ma prof de maths m'a donné aurjourd'hui un DM pour demain... et je n'y arrive vraiment pas.

Le principe est celui de l'escargot :

Vous voyez chaque longueur est numérotée.

Et bien je dois réussir à exprimer P0Pn en fonction de n.

Pour le moment j'ai réussi à faire :

P0Pn = P0Pn-1 + 2 (n + (n - 1))a + 2 (n + n)a

Seulement je n'arrive pas à me débarasser du P0Pn-1... et je ne vois pas du tout comment faire.

Merci de vos réponses.

Il nous en manque un bout!!

La variable 'a', comment s'exprime-t-elle?

En gros quand change t'on de direction?

En effet excusez moi...

Le premier trait vaut 'a' ainsi que le second, puis '2a'...'3a'

Donc PoP1 = 6a ; PoP2 = 20a

Sinon j'ai un peu avancé et je me suis rendu compte qu'avec :

PoPn = PoPn-1 + (8n-2)a -> ( le (8n -2)a correspond au long calcul de tout à l'heure )

On peut dire que :

PoP2 = PoP1 + 14a

P0P3 = PoP2 + 22a

Donc PoPn = PoP1 + [ 14 + 22 + ...... + (8n - 2)]a

Maintenant je bloque pour trouver comment faire la somme de ses termes.

Ben je n'arrive toujours pas à trouver quelque chose de convenable...j'ai essayé avec :

(Up + Un) / ( n - p + 1) mais j'arrive à un résultat insatisfaisant...

juste une idée vite fait en passant...

P0Pn=2a+4a+8a+...+2*(2n)*a (si j'ai bien lu l'énoncé)

reste à utiliser la formule pour la somme des termes d'une suite géométrique de raison 2 et comprenant 2*n termes...

qu'en penses tu ?

On peut très facilement envisager que PoPn soit deux fois la somme des i=1 à n des Xi facteur de 'a'

En effet de de Po à P2 on a : a+a+2a+2a+3a+3a+4a+4a on a donc bien 2 fois la somme des i=1 à 4 des Xi soit ax2x(1+2+3+4) = a(20) = 20a, apres pour continuer c'est très simple, tu fait classiquement : somme des i=1 à n des Xi = [n(n+1)]/2

Ta longueur PoPn sera 2a[[n(n+1)]/2].

Tu vérifies pour PoP5 = 2a[[5(5+1)]/2] = 2a(5x6/2) =30a et effectivement a+a+2a+2a+3a+3a+4a+4a+5a+5a = 30a

CQFD

salut,

En fait, la solution est donnée par eryx et koubo... suffit juste de prendre un peu des deux et ca donne un truc du genre : P0Pn = 4na(n+1)

En effet, ce n'est pas une somme de 0 à n, mais de 0 à 2n comme le dit koubo (en reprennant l'exemple de P0P2, tu marque bien a+a+2a+2a+3a+3a+4a+4a = 2a(1+2+3+4) et non pas 2a(1+2)...)

donc en remplaçant n par 2n dans la fameuse formule d'eryx : somme des i pour i allant de 1 à n = n(n+1)/2, on obtient P0Pn = 2a(somme des i pour i allant de 1 à 2n) = 2a(2n(2(n+1))/2)=4an(n+1)

En reprenant l'exemple de P0P5 (sans oublier la moitié des termes) on obtient :

P0P5 = a+a+2a+2a+3a+3a+4a+4a+5a+5a+...+10a+10a = 2a(1+2+...+10) = 110a

Voila !