théorème d'incomplétude de Gödel

Ok en gros, rien n'est vrai ou faux en soit mais seulement dans un cadre bien définit.

Je me trompe?

Si on veut oui.

En fait en math on ne cherche pas vraiment à découvrir une "métavérité".

On considère (on peut même dire qu'on décide) que certaines choses sont "vraies", et à partir de ces "vérités" découle tout le reste.

Mais on peut très bien choisir d'autres "vérités" de départ, et ainsi contruire d'autres mathématiques.

En général on essaye de choisir les axiomes le plus simple possible et qui paraissent "naturels". Par exemple "il existe un ensemble vide" ou "deux ensembles sont dit égaux s'ils contiennent les mêmes éléments" (la "théorie des ensembles" est la base des mathématiques modernes ; même des domaines comme l'arithmétique ou la géométrie qui peuvent sembler éloignés de la notion d'ensemble sont construit à partir de la théorie des ensembles).
Le problème c'est qu'un système formel ne sera jamais "achevé", il y aura toujours de nouveaux axiomes à rajouter (de moins en moins simple) si on veut pouvoir "atteindre" des propositions autrement indécidables.

Mais il ne faut pas trop vite essayer de tirer des conclusions philosophiques du théorème de Gödel. Tant que tu ne définis pas c'est quoi ton système formel, tes axiomes, etc, le théorème de Gödel n'a aucun sens, et n'est plus que du blabla pour faire sérieux
Beaucoup d'auteurs ont tenté maladroitement des "applications" du théorème de Gödel en philosophie, dans d'obscures discussions sur la Réalité, la Vérité, l'Essence, et tous ces concepts qui sont par nature flous, imprécis et mal définis - tout le contraire des mathématiques.

Pourquoi n'y a t-il pas de publicité sur ce topic ?

(Enfin, il suffit que je le dise pour qu'elle apparaisse... verra qui vivra )

Ce sont les axiomes les mieux définis qui sont le plus indécidables? N'y a-t-il pas un paradoxe?
Je ne dis pas que c'est faux mais si c'est ça, les représentations sociales des mathématiques sont un peu faussées.

Non là tu n'as pas compris

Un axiome n'est jamais indécidable, un axiome c'est quelque chose qu'on considère comme vrai. Un "système formel" c'est une collection d'axiomes et des règles de raisonnement.

Une proposition indécidable pour un système, c'est quelque chose qu'on ne peut ni infirmer ni démontrer avec le système (c'est à dire qu'on ne peut pas déduire à partir des axiomes du système).
Mais dans un autre système, composé d'autres axiomes, cette proposition ne sera peut être plus indécidable. Si cet autre système permet de démontrer les mêmes propositions que le premier système, et qu'en plus de ça il permet de démontrer de nouvelles propositions (qui étaient indécidables dans le premier système), alors on dit que ce système est plus complet que le premier système.
Et ce que dit Gödel, c'est que tout système est incomplet, c'est à dire dans tout système on peut trouver des propositions indécidables.

2 pour moi merci.

Merci Tintagel



Merci cbar pour les 2 aspirine

Après la très bonne vulgarisation de Tintagel, je fais une "petite correction" (il me semble que ce point induisait dabord en erreur) : Lorsqu'on parle d'un système, il n'y a pas de notion de vérité. Il y a des formules prouvables, des formules réfutables (on peut prouver leur négation).

Pour parler de vérité, il est nécessaire de considérer un modèle de notre système.
Dans un modèle, toute propriété est soit vraie soit fausse, mais :

• Toute propriété prouvable dans notre système S est vraie dans les modèles de S.
• Toute propriété réfutable dans notre système S est fausse dans les modèles de S
• Si la propriété est indécidable, cela signifie qu'il existe un modèle dans lequel cette propriété est fausse, et un autre modèle dans lequel cette propriété est vraie (modulo quelques hypothèses que j'omets par soucis de simplicité)

Prenons un exemple simple : Trois points A, B, C dans le plan euclidien.
La propriété "A, B et C sont alignés" est indécidable (on ne sait rien sur ces points, donc on ne peut rien montrer).
Et effectivement, il est possible que ces points soient alignés ou soient non-alignés.

Merci Grenouille verte,

est évident certes.


Mais quand on dit "3 points sont alignés", les 3 points sont alignés.

Il serait faut de dire si 3 points sont alignés, ils ne le sont peut-être pas.

mais plus sage de dire si, dans mon système, 3 points sont alignés ils ne le seront peut-être pas dans un autre système.