Démonstration pour niveau Bac S

Bonjour,

Ce texte s’adresse aux niveaux Bac S.

RAPPELS INDISPENABLES.:

Quelques formules :

(1) a^b = e^blog(a)

(2) e^a = b -> a = log(b)

(3) e^ix = cos(x) + isin(x). (formule de moivre)

Généralités.

On sait que toutes les opérations effectuables sur les nombres réels le sont aussi sur les complexes.

Par conséquent, l’expression iⁱ doit avoir un sens et un résultat réel ou complexe.

Si j’ai choisi cet exemple c’est parce que son résultat est inattendu.

Calcul de iⁱ.

On a par la formule (1) iⁱ = e^ilog(i)

Il faut donc d’abord calculer log(i).

Utilisons la formule (3) en faisant x = π/2.

On obtient : e^iπ/2 = cos(π/2) + i sin(π/2)

Mais cos(π/2) = 0 et sin(π/2) = 1

On obtient donc : : e^iπ/2 = i

Appliquons maintenant la formule (2), Elle donne i: iπ/2 = log(i)

Nous obtenons donc ce premier résultat : log(i) = iπ/2

La formule (1) devient alors : iⁱ = e^iiπ/2 avec ii = i² = -1 !

Donc : iⁱ = e^-π/2

D’où finalement iⁱ = 0.2078795764... qui est un nombre bien réel !

La surprise !

Cordialement.

P.S.

Je n'ai trouvé nulle part cette démonstration (ce qui ne signifie pas qu'elle n'a pas été trouvée ailleurs !). Toutes les autres sont bien plus compliquées.

J'ai été aidé par une "intuition" consistant à utiliser la formule de Moivre et cette intuition a été fructueuse ce qui n'est pas toujours le cas pour les intuitions ! Un coup de bol !

Bonjour,

Ce texte s’adresse uniquement aux participants ayant passé le bac S sans être allés plus loin.

Bonjour,

Pourquoi ?

Bonjour,

Pourquoi ?

Bonjour Theia,

Pourquoi ?

Mais tout simplement parce que les premiers rudiments des nombres complexes sont au programme du bac S ! De plus, s'ils ont continué leurs études en mathématiques, je ne leur apprendrais rien.

De plus, il est remarquable que le nombre i (racine carrée de -1) et qui est l'unité imaginaire élevé au carré donne un nombre réel !

Tout comme pour la célèbre formule d'Euler : e^iπ = -1, cette formule dont l'immense physicien américain Richard Feynman la proclamait "perle des mathématiques".

Amicalement.

D'accord, je comprends, merci pour l'explication.

Dans ce cas je remplace le titre "Pour Bac S seulement" et les "uniquement" et "sans être allé plus loin" par un "Niveau Bac S" :), les formulations initialement choisies imposant une restriction à la participation des membres.

D'accord, je comprends, merci pour l'explication.

Dans ce cas je remplace le titre "Pour Bac S seulement" et les "uniquement" et "sans être allé plus loin" par un "Niveau Bac S" :), les formulations initialement choisies imposant une restriction à la participation des membres.

Tout-à-fait d'accord à une nuance près : Un étudiant en master de math a AUSSI le niveau du bac S.

Je dois aussi préciser que la démonstration habituelle est hors de portée d'un niveau strictement bac S alors que la mienne (que je crois originale) l'est pour ce niveau. D'où un certain intérêt pédagogique.

Du niveau bac S? Depuis quand on détermine le logarithme complexe en classe de terminale S? Tu enfumes tout le monde une fois de plus. Je veux la définition de log(i). Quelle est cette fonction? Son domaine de définition? Etc etc.

Tout d'abord : BONJOUR "virtuose en carnage" (quel programme !) !

Vous n'avez pas compris ou ne pas voulu comprendre mon texte.

J'ai simplement voulu montrer que toutes les opérations sur les réels existent (sauf bien entendu la comparaison) aussi sur les complexes sans entrer dans les détails. Il n'a jamais été dans mon intention de faire un cours sur log(i), mais de montrer que cette expression a un sens et qu'il est possible d'effectuer des calculs dessus ainsi que de trouver la valeur réelle inattendue de iⁱ.

En quoi cela aurait-il été utile que je citasse ce théorème :

"Sur tout ouvert connexe il existe une détermination continue du logarithme, elle est définie à une constante additive près de la forme 2ikπ , où k est un entier relatif."

Voulant seulement montrer que iⁱ a une valeur réelle, à quoi cela aurait-il servi de préciser que d'autres valeurs se déduisent de celle donnée en la multipliant par e^2πn ?

Mon but puisqu'il faut mettre les points sur les i était seulement d'établir un résultat inattendu et de tenter de montrer ce que certains mathématiciens (Richard Feynman en physique et Roger Penrose par exemple) appellent la "magie" des nombres complexes.

Peut-être ainsi cela inciterait-il certains à approfondir cette merveilleuse théorie des complexes à laquelle a tant contribué notre grand Augustin Cauchy.

C'est tout !

Votre intervention n'est rien d'autre qu'une méprisable agression gratuite, agressivité affichée dans votre propre pseudo.

Je ne vous répondrai plus.

Bien à vous.

P.S. Petite précision me concernant :

Thèse de mathématiques préparée avec Robert Fortet (professeur à la Sorbonne années 50 et 60).

Le professeur Fortet était un grand spécialiste des proba et comme ma recherche faisait appel partiellement à la notion de "matrice stochastique" il fut tout naturel que je m'adressasse à lui qui, de lui-même, se proposa comme directeur de thèse, ce que j'acceptai avec reconnaissance.

Tout d'abord : BONJOUR "virtuose en carnage" (quel programme !) !

Vous n'avez pas compris ou ne pas voulu comprendre mon texte.

J'ai simplement voulu montrer que toutes les opérations sur les réels existent (sauf bien entendu la comparaison) aussi sur les complexes sans entrer dans les détails. Il n'a jamais été dans mon intention de faire un cours sur log(i), mais de montrer que cette expression a un sens et qu'il est possible d'effectuer des calculs dessus ainsi que de trouver la valeur réelle inattendue de iⁱ.

En quoi cela aurait-il été utile que je citasse ce théorème :

"Sur tout ouvert connexe il existe une détermination continue du logarithme, elle est définie à une constante additive près de la forme 2ikπ , où k est un entier relatif."

Voulant seulement montrer que iⁱ a une valeur réelle, à quoi cela aurait-il servi de préciser que d'autres valeurs se déduisent de celle donnée en la multipliant par e^2πn ?

Mon but puisqu'il faut mettre les points sur les i était seulement d'établir un résultat inattendu et de tenter de montrer ce que certains mathématiciens (Richard Feynman en physique et Roger Penrose par exemple) appellent la "magie" des nombres complexes.

Peut-être ainsi cela inciterait-il certains à approfondir cette merveilleuse théorie des complexes à laquelle a tant contribué notre grand Augustin Cauchy.

C'est tout !

Votre intervention n'est rien d'autre qu'une méprisable agression gratuite, agressivité affichée dans votre propre pseudo.

Je ne vous répondrai plus.

Bien à vous.

P.S. Petite précision me concernant :

Thèse de mathématiques préparée avec Robert Fortet (professeur à la Sorbonne années 50 et 60).

Le professeur Fortet était un grand spécialiste des proba et comme ma recherche faisait appel partiellement à la notion de "matrice stochastique" il fut tout naturel que je m'adressasse à lui qui, de lui-même, se proposa comme directeur de thèse, ce que j'acceptai avec reconnaissance.

Ajout tardif :

Je m'aperçois en toute impartialité qu'une remarque de mon contradicteur est justifiée.

En effet, j'ai oublié de préciser que l'expression log(z) n'est pas enseignée en terminale S.

Aussi aurais-je dû prévenir les lecteurs que log(z) existe bel et bien mais qu'il faut attendre les études à l'Université pour l'étudier car le log d'un complexe est beaucoup plus compliqué que le log d'un réel.

Que l'on veuille bien me pardonner cet oubli.