L'enseignement des mathématiques

Bonjour,

Combien n'ai-je vu de personnes complètement découragées à l'idée d'essayer de comprendre une équation mathématique, et qui font presque un malaise lorsqu'on leur en présente une !

Et pourtant !

Le cerveau est une machine de Turing tout comme l'univers lui-même qui nous déroule ses algorithmes telle la matrice, tandis que notre câblage neurologique particulier, unique au sein des espèces vivantes, permet d'approximer ses fonctions en les simulant en notre for intérieur. Les mathématiques et la logique sont des sciences expérimentales ! Voilà donc ce qu'ignorent encore trop souvent les professeurs de mathématiques et les gens en général.

Prenez l'algèbre linéaire avec son lot de matrices et d'espaces vectoriels de toutes sortes : ce n'est qu'un cadre théorique permettant de théoriser l'usage et les transformations dans l'espace-temps. Lorsque vous avez fait la relation entre les transformations de l'espace-temps et les opérations matricielles, cela devient particulièrement intuitif. Je suis d'ailleurs tombé sur une série de vidéos qui font ce genre de relations. Et les gens adorent ! Ils comprennent enfin ! Tout s'éclaire pour eux !

Toute la difficulté est de faire le lien entre des expériences concrètes et pratiques et les vérités mathématiques.

La révolution dans la pédagogie en mathématiques serait de prendre cela en compte et d'enseigner les mathématiques comme on enseignerait la chimie ou la physique : à l'aide d'expériences simples, expériences de pensée principalement, qui permettront de comprendre comment par abstractions successives, on arrive à généraliser et universaliser le raisonnement, en partant au départ d'expériences très courantes de la vie quotidienne.

Je pense que si on explique correctement tout le monde est câblé neurologiquement pour comprendre les mathématiques.

il y a 2 minutes, Quasi-Modo a dit :

Bonjour,

Combien n'ai-je jamais vu de personnes complètement découragées à l'idée d'essayer de comprendre une équation mathématique, et qui font presque un malaise lorsqu'on leur en présente une !

Et pourtant !

Le cerveau est une machine de Turing tout comme l'univers, dont notre câblage neurologique particulier, unique au sein des espèces vivantes, permet d'approximer les fonctions en les simulant en notre for intérieur. Les mathématiques et la logique sont des sciences expérimentales ! Voilà donc ce qu'ignorent encore trop souvent les professeurs de mathématiques et les gens en général.

Prenez l'algèbre linéaire avec son lot de matrices et d'espaces vectoriels de toutes sortes : ce n'est qu'un cadre théorique permettant de théoriser l'usage et les transformations dans l'espace-temps. Lorsque vous avez fait la relation entre les transformations de l'espace-temps et les opérations matricielles, cela devient particulièrement intuitif. Je suis d'ailleurs tombé sur une série de vidéos qui font ce genre de relations. Et les gens adorent ! Ils comprennent enfin ! Tout s'éclaire pour eux !

Toute la difficulté est de faire le lien entre des expériences concrètes et pratiques et les vérités mathématiques.

La révolution dans la pédagogie en mathématiques serait de prendre cela en compte et d'enseigner les mathématiques comme on enseignerait la chimie ou la physique : à l'aide d'expériences simples, expériences de pensée principalement, qui permettront de comprendre comment par abstractions successives, on part finalement d'expériences très courantes de la vie de chaque être humain de façon à généraliser et universaliser le raisonnement.

Avoir un niveau correct en mathématique ( disons jusqu'a math spe ) est a la portée d'une intelligence appliquée, mais le niveau peut monter bien au dela !

Quand on regarde les formules de Ramanujan ça donne le vertige a pratiquement tout le monde.

Il y mathématique et Mathématique

il y a 7 minutes, hell-spawn a dit :

Avoir un niveau correct en mathématique ( disons jusqu'a math spe ) est a la portée d'une intelligence appliquée, mais le niveau peut monter bien au dela !

Quand on regarde les formules de Ramanujan ça donne le vertige a pratiquement tout le monde.

Il y mathématique et Mathématique

Certes, tout le monde ne deviendra pas Ramanujan

Mais il en va de l'universalité de la raison.

Descartes parlait déjà de cela lorsqu'il disait que le bon sens était la chose du monde la mieux partagée.

Il a été beaucoup moqué, y compris par Coluche, lorsqu'il a écrit cela.

Mais il y a bien un fond de vérité dessous.

il y a 1 minute, Quasi-Modo a dit :

Descartes parlait déjà de cela lorsqu'il disait que le bon sens était la chose du monde la mieux partagée.

Jadis, mais les choses ont bien changées, le bon sens les "élites" l'ont perdu.

à l’instant, hell-spawn a dit :

Jadis, mais les choses ont bien changées, le bon sens les "élites" l'ont perdu.

Ramanujan a beaucoup travaillé sur les partitions.

Et c'est un sujet particulièrement porté à la visualisation.

Je reconnais moi-même par exemple que c'est par visualisations successives et applications mentales d'algorithmes associant les objets entre eux, etc. que je m'en sortais en combinatoire et probabilités !

Les autres élèves n'avaient pas forcément fait le rapport donc ne disposaient pas des mêmes objets mentaux pour comprendre.

à l’instant, Quasi-Modo a dit :

Je reconnais moi-même par exemple que c'est par visualisations successives et applications mentales d'algorithmes associant les objets entre eux, etc. que je m'en sortais en combinatoire et probabilités !

Euler avait des similitudes avec Ramanujan, il travaillait beaucoup sur les series, y compris divergentes,  on dit qu'il pensait par algorithmes ( avant l'heure ).

Même les méthodes de calcul mental utilisent dans une certaine mesure les expériences de pensée.

Elles sont beaucoup utilisées dans les écoles chinoises.

Les gamins mettent la misère à nos meilleurs chercheurs en calcul mental lol.

Je suis intimement convaincu qu'on pourrait reconsidérer la pédagogie en mathématiques à partir d'expériences minimales et quotidiennes de base, ou de gestes éventuellement (il me semble qu'ils utilisent également les gestes de la main pour calculer et obtenir plus facilement la mémoire corporelle de la méthode permettant d'obtenir le résultat).

La topologie c'est pareil, on peut la faire comprendre en utilisant des métaphores avec des objets du quotidien, le ruban de möbius ou la bouteille de klein, ou un simple vêtement mentalisé en 3D, etc.

il y a 29 minutes, Quasi-Modo a dit :

Bonjour,

Combien n'ai-je vu de personnes complètement découragées à l'idée d'essayer de comprendre une équation mathématique, et qui font presque un malaise lorsqu'on leur en présente une !

Et pourtant !

Le cerveau est une machine de Turing tout comme l'univers lui-même qui nous déroule ses algorithmes telle la matrice, tandis que notre câblage neurologique particulier, unique au sein des espèces vivantes, permet d'approximer ses fonctions en les simulant en notre for intérieur. Les mathématiques et la logique sont des sciences expérimentales ! Voilà donc ce qu'ignorent encore trop souvent les professeurs de mathématiques et les gens en général.

 

 

Pourrais tu préciser "notre câblage neurologique particulier" ? Qu'est-ce qu'il a de singulier parmi l'ensemble des espèces vivantes et qui lui permet d'approximer ces fonctions ? Les neurosciences ont défini ce fait ?

Les mathématiques ne peuvent pas reproduire des expériences en laboratoire. Elles ne sont donc pas des sciences. Dans ce cas là, il est totalement con de chercher à corréler les mathématiques avec la réalité.

il y a 41 minutes, dbm27 a dit :

Pourrais tu préciser "notre câblage neurologique particulier" ? Qu'est-ce qu'il a de singulier parmi l'ensemble des espèces vivantes et qui lui permet d'approximer ces fonctions ? Les neurosciences ont défini ce fait ?

Excellente question, mais j'avoue que je ne saurai pas forcément y répondre.

A mon humble avis il y a une analogie (qui reste à prouver) entre les machines de Turing et le cerveau humain.

Lorsque nous avons des émotions, et nous en avons à chaque instant, c'est la preuve que nous apprenons, et donc que nos connexions neuronales se reconstruisent autrement en bâtissant de nouveaux circuits/réseaux qui seront probablement opérationnels et permettront d'accroître ses compétences dans ce que l'on est en train d'apprendre.

La plasticité neuronale a prouvé que nos réseaux neuronaux se reconfigurent constamment et que nous pouvons apprendre à tout âge. Par le biais de nos émotions surtout, d'où le fait que les émotions et l'hypersensibilité soient indissociables en pratique de l'intelligence abstraite et conceptuelle, contrairement à ce qu'a cru Descartes par exemple pour qui les émotions étaient source d'erreurs avant tout.

Alan Turing avait vu cette similitude entre machine de Turing et cerveau humain, tandis que d'autres comme Georges Boole, ont bien vu qu'on pouvait assimiler le fonctionnement du cerveau à un fonctionnement de machine binaire (plaisir/douleur, 1/0, vrai/faux), par le circuit de la récompense et le mécanisme de la récompense/punition qu'inflige l'environnement par ses retours (feedbacks). Certains travaux récents en neurologie vont dans ce sens et prétendent avoir percé le secret de la conscience humaine en l'assimilant à une machine binaire.

Un peu comme des réseaux de neurones artificiels utilisant la méthode par renforcement/punition (modèle mathématique utilisé en IA pour apprendre des fonctions).

C'est une quasi-certitude serait plus juste à dire de ma part. Ce n'est pas prouvé. C'est plus de l'ordre de la vision intérieure ou de l'intuition, et je ne suis pas le seul à partager cette vision. En pratique c'est tout comme.

Tout comme dans certains arts martiaux on dira que la main va plus vite que l'oeil, le corps va plus vite que la pensée et les méthodes consistant à utiliser la mémoire du corps (les gestes de la main) pour mémoriser et trouver le résultat d'un calcul ont été largement éprouvées.

Un exemple de ce que peut faire la méthode de calcul mental asiatique :

il y a une heure, Virtuose_en_carnage a dit :

Les mathématiques ne peuvent pas reproduire des expériences en laboratoire. Elles ne sont donc pas des sciences. Dans ce cas là, il est totalement con de chercher à corréler les mathématiques avec la réalité.

Au contraire, il serait totalement absurde qu'il n'y ait aucun rapport entre les mathématiques et la réalité si on analyse les résultats des sciences comme la physique ou la chimie. La méthode de Singapour, connue pour enseigner en partant du concret vers l'abstrait par étapes successives, et sa redoutable efficacité, doit être ton pire cauchemar.

Ce que j'affirme est hyper connu dans les milieux des didacticiens en mathématiques.

Il n'y a guère qu'un économiste frustré et bourré de ressentiments pour répondre cela

Il y a 2 heures, Quasi-Modo a dit :

tandis que notre câblage neurologique particulier, unique au sein des espèces vivantes....

ça c'est toi qui le dit, et c'est ce qui m'a empêché de liker ton sujet.

Le reste je suis d'accord.

il y a 1 minute, korvo a dit :

ça c'est toi qui le dit, et c'est ce qui m'a empêché de liker ton sujet.

Le reste je suis d'accord.

Je le reconnais : c'est une vision intérieure en partie. Mais c'est une pièce du puzzle dont on a besoin pour que tout colle dans une vision du monde particulièrement cohérente, lorsqu'on a la "big picture" en tête.

Si les gorilles faisaient des mathématiques ou de la physique, il y a des chances que nous ne comprendrions même pas les symboles qu'ils emploient nous non plus.

Pour moi l'animalisme est un anti-humanisme.

il y a 2 minutes, Quasi-Modo a dit :

Je le reconnais : c'est une vision intérieure en partie. Mais c'est une pièce du puzzle dont on a besoin pour que tout colle dans une vision du monde particulièrement cohérente, lorsqu'on a la "big picture" en tête.

Il n'y a pas les mathématiques, les sciences cognitives nous montrent que la méthode d’apprentissage de la lecture est aussi sous optimale, et puis beaucoup de choses ont radicalement changé dans notre quotidien, le flux d'information que reçoit chaque individu aujourd'hui n'est pas compatible avec nos méthodes éducatives.

Le grand public est mal informé de tout ça, il y avait même un candidat à la présidentielle qui a dit qu'il souhaite retourner au bâton.

Il y a 1 heure, Quasi-Modo a dit :

Au contraire, il serait totalement absurde qu'il n'y ait aucun rapport entre les mathématiques et la réalité si on analyse les résultats des sciences comme la physique ou la chimie. La méthode de Singapour, connue pour enseigner en partant du concret vers l'abstrait par étapes successives, et sa redoutable efficacité, doit être ton pire cauchemar.

Ce que j'affirme est hyper connu dans les milieux des didacticiens en mathématiques.

Il n'y a guère qu'un économiste frustré et bourré de ressentiments pour répondre cela

Personnellement, le concret vers l'abstrait a toujours été mon cauchemar. Des gens comme Grothendieck aussi détestaient ce genre de chose. Les didacticiens des mathématiques, ils sont sympas, mais ils s'écoutent parler. En outre, je suis impatient que tu arrives à me rendre concret la conceptualisation d'un espace de dimension infini ou l'axiome du choix ou de la cohomologie (en dimension infinie également). Je ne nie pas la pertinence de l'exemple. Je nie par contre le rôle central qu'aurait l'exemple et le concret dans l'apprentissage des mathématiques.

Donc le fait d'avoir défendu l'économie comme science fait de moi un économiste? Ça c'est du raisonnement

Il y a 5 heures, Quasi-Modo a dit :

Bonjour,

Combien n'ai-je vu de personnes complètement découragées à l'idée d'essayer de comprendre une équation mathématique, et qui font presque un malaise lorsqu'on leur en présente une !

Et pourtant !

Le cerveau est une machine de Turing tout comme l'univers lui-même qui nous déroule ses algorithmes telle la matrice, tandis que notre câblage neurologique particulier, unique au sein des espèces vivantes, permet d'approximer ses fonctions en les simulant en notre for intérieur. Les mathématiques et la logique sont des sciences expérimentales ! Voilà donc ce qu'ignorent encore trop souvent les professeurs de mathématiques et les gens en général.

Prenez l'algèbre linéaire avec son lot de matrices et d'espaces vectoriels de toutes sortes : ce n'est qu'un cadre théorique permettant de théoriser l'usage et les transformations dans l'espace-temps. Lorsque vous avez fait la relation entre les transformations de l'espace-temps et les opérations matricielles, cela devient particulièrement intuitif. Je suis d'ailleurs tombé sur une série de vidéos qui font ce genre de relations. Et les gens adorent ! Ils comprennent enfin ! Tout s'éclaire pour eux !

Toute la difficulté est de faire le lien entre des expériences concrètes et pratiques et les vérités mathématiques.

La révolution dans la pédagogie en mathématiques serait de prendre cela en compte et d'enseigner les mathématiques comme on enseignerait la chimie ou la physique : à l'aide d'expériences simples, expériences de pensée principalement, qui permettront de comprendre comment par abstractions successives, on arrive à généraliser et universaliser le raisonnement, en partant au départ d'expériences très courantes de la vie quotidienne.

Je pense que si on explique correctement tout le monde est câblé neurologiquement pour comprendre les mathématiques.

Bonjour,

Il parait que dans notre cerveau, on a tous un hémisphère dominant.

Et il paraît que ceux dont l'hémisphère droit est dominant ont besoin qu'on leur donne des exemples.

L'abstraction est une compétence éprouvante, et un langage au service de lui-même n'a plus vocation à communiquer.

Il existe des mathématiques fondamentales et des mathématiques appliquées.

Donc les mathématiques fondamentales seraient l’application récursive d’elles-mêmes ?

Des maths qui s’exploitent elles-mêmes ?

Je ne pense pas que les mathématiques et la logique soient récursives, c’est-à-dire qu’elles puissent se prouver ou se démontrer elles-mêmes.

Leur formalisme est conditionné par les signifiants de l’observateur, et les signifiés de l’observé.

Les mathématiques et la logique sont comme des logisticiens qui doivent gérer un entrepôt (de bijections et d’injections…) sans connaitre le contenu (sémantique) des cartons.

Le signifiant final n’est jamais purement mathématique, logique, formel, il est nécessairement conscient et notionnel.

Le mâle de la conscience, c’est l’évidence, en tant que telle.

Ce ne sont pas exclusivement le formalisme et la preuve.

L’arbitre intuitif est partout, la méthode n’est que segmentaire : tout est art, même la programmation.

La méthode cristallise sa gratuité statique, alors que l’art éprouve sa dynamique et son adaptabilité.

_ « Si Socrate est un homme, et que les hommes sont mortels, alors Socrate est mortel. »

_ « Mais si Socrate est un cheval, et que les chevaux sont immortels, alors Socrate est immortel. »

On voit là, démontré par l’absurde, qu’une logique au service d’elle-même peut facilement devenir inepte.

Si l’énoncé est faux, même une bonne déduction aboutira à un non-sens.

La logique n’est donc pas récursive, ou alors sa récursivité n'est que celle d'un dictionnaire.

Mais avec les mathématiques, la logique constitue le langage du déterminisme et même de la raison et de la sémantique.

PS : celui qui a dit que les mathématiques étaient une science exacte soit ne les connait pas, soit souhaite les marginaliser.

Finalement, Fraction

Il y a 19 heures, Virtuose_en_carnage a dit :

Personnellement, le concret vers l'abstrait a toujours été mon cauchemar. Des gens comme Grothendieck aussi détestaient ce genre de chose. Les didacticiens des mathématiques, ils sont sympas, mais ils s'écoutent parler. En outre, je suis impatient que tu arrives à me rendre concret la conceptualisation d'un espace de dimension infini ou l'axiome du choix ou de la cohomologie (en dimension infinie également). Je ne nie pas la pertinence de l'exemple. Je nie par contre le rôle central qu'aurait l'exemple et le concret dans l'apprentissage des mathématiques.

Donc le fait d'avoir défendu l'économie comme science fait de moi un économiste? Ça c'est du raisonnement

 

L'infini s'appréhende concrètement comme le non fini, ou comme la répétition durant une éternité virtuelle de la même opération. Il faut bel et bien maîtriser et avoir en tête les expériences communes correspondantes à ce que l'on apprend pour comprendre les mathématiques. Les asiatiques sont les premiers à PISA depuis des années grâce à ce type de méthode, c'est clairement qu'elles ont fait leurs preuves. Qu'as-tu à apporter ?

il y a 5 minutes, Quasi-Modo a dit :

L'infini s'appréhende concrètement comme le non fini, ou comme la répétition durant une éternité virtuelle de la même opération. Il faut bel et bien maîtriser et avoir en tête les expériences communes correspondantes à ce que l'on apprend pour comprendre les mathématiques. Les asiatiques sont les premiers à PISA depuis des années grâce à ce type de méthode, c'est clairement qu'elles ont fait leurs preuves. Qu'as-tu à apporter ?

Ta définition de l'infini est grossière. Il y a plusieurs infinis dont le plus petit est celui isomorphe à l'ensemble des entiers naturels. Après il y a celui des réels, obtenus par la complétion des rationnels via la coupure de Dedekind. Enfin par après, c'est modulo l'hypothèse du continue qui est... indémontrable, thanks to Gödel, (et sujette à l'utilisation de l'axiome du choix). Le tout ayant fini par rendre fou Cantor. N'importe quel con qui fait des mathématiques sait que les exemples, ça aide à imaginer, mais que les cas généraux se retrouvent souvent confronté au problème du "le diable se cache dans les détails". Tu vois, il en sait des choses en mathématiques le petit économiste bidon que je suis. Enfin sauf que je ne suis pas économiste.

Pour avoir travaillé avec un mathématicien de génie, jamais il ne s’embarrassait d'exemple. Le type commençait toujours dans l'abstraction pure et dure. Il y a aussi des esprits analytiques, et ceux là n'en ont que faire des exemples.

  Les asiatiques sont les premiers car ils travaillent le plus dur. Mais leur production scientifique est toujours en deçà des pays occidentaux en mathématiques preuve que la méthode ne doit pas être si exceptionnelle. Enfin par asiatique, j'exclus les Japonais qui ont une longue tradition de grand mathématiciens mais qui est un pays à moitié occidentalisé. Tu me sembles perclus de certitudes, et tu tromperas peut-être des personnes ignorant tout des mathématiques, mais pas les autres.