Que valent les mathématiques ?

Quel est l’intérêt des mathématiques ? Il doit y en avoir beaucoup, mais on peut citer leur fiabilité. Un résultat démontré l’est pour toujours. Les contradictions dans ce domaine sont exclues. C’est pratique. Alors que vaudrait des maths inconsistantes (qui peuvent montrer une chose et son contraire, ou autrement dit, qui peuvent démontrer que tout théorème est vrai) ?

Pas grand-chose, certainement. A ce jour, la preuve de la consistance des maths habituelles (ZFC pour les connaisseurs) n’est pas établie, même si la majorité des mathématiciens ont confiance en la cohérence de ZFC. Ce n'est pas un problème en soi.

Alors jouons un peu : prenons la théorie mathématique standard, habituelle (ZFC). Elle est définie par des axiomes. Ajoutons un nouvel axiome à cette liste, défini ainsi  : « il existe une preuve de l’inconsistance de ZFC ». Cela forme une nouvelle théorie, différente de ZFC.

Et bien il est prouvé (assez facilement), que :

Si ZFC est consistante, alors ZFC et l’axiome supplémentaire (qui dit qu’il existe une preuve de l’inconsistance de ZFC) est également consistante !

C’est chaud, non ?

il y a 45 minutes, Spontzy a dit :

Quel est l’intérêt des mathématiques ? Il doit y en avoir beaucoup, mais on peut citer leur fiabilité. Un résultat démontré l’est pour toujours. Les contradictions dans ce domaine sont exclues. C’est pratique. Alors que vaudrait des maths inconsistantes (qui peuvent montrer une chose et son contraire, ou autrement dit, qui peuvent démontrer que tout théorème est vrai) ?

 

Pas grand-chose, certainement. A ce jour, la preuve de la consistance des maths habituelles (ZFC pour les connaisseurs) n’est pas établie, même si la majorité des mathématiciens ont confiance en la cohérence de ZFC. Ce n'est pas un problème en soi.

 

Alors jouons un peu : prenons la théorie mathématique standard, habituelle (ZFC). Elle est définie par des axiomes. Ajoutons un nouvel axiome à cette liste, défini ainsi  : « il existe une preuve de l’inconsistance de ZFC ». Cela forme une nouvelle théorie, différente de ZFC.

Et bien il est prouvé (assez facilement), que :

Si ZFC est consistante, alors ZFC et l’axiome supplémentaire (qui dit qu’il existe une preuve de l’inconsistance de ZFC) est également consistante !

C’est chaud, non ?

Bonjour,

Les mathématiques (et la logique) sont aux concepts ce que la chaux est au béton : un liant relationnel formel.

J’ai consulté des conférences de Monsieur Villani.

Il y parle de mathématiques inductives, et d’algorithmique déductive.

Mais je regrette que ce discours ne se limite qu’à un ensemble d’éléments de langage.

Ça ne nous apprend pas grand-chose, sinon que toute réalité et que tout déterminisme est formalisable.

C’est un peu comme si tous les concepts mathématiques se valaient.

Mais l’humanité, le progrès, et l’économie, sont-ils linéaires, arithmétiques, géométriques, paraboliques …, ou plutôt différentiels ?

Mon avis est que l’humanité et ses attributs sont paradoxaux, au sens optimiste du terme.

Ils sont donc essentiellement différentiels.

L’équation différentielle n’est pas une fonction comme les autres.

Je vais vous donner un exemple typique en faisant appel à votre concentration :

_ + d’offre => - de demande

_ - de demande => - d’offre

_ - d’offre => + de demande

_ + de demande => + d’offre

Etc…

Nous sommes ici face à une équation différentielle qui, même si on ne peut pas la mesurer, nous déterminera par sa transcendance théorique.

Tant que les mathématiques, la logique, et l’algorithmique se subordonneront à la science et à son objectivité, sans faire valoir la dissociation « raison-réalité », nous serons incapables d’appréhender la moindre mathématique transcendantale.

Ceux qui affirment que la mathématique n’est pas transcendantale sont les mêmes qui affirment que la vérité n’existe pas : ce sont des impies.

C'est encore plus explicite dans mon blog :

 Cordialement, Fraction.

"Le sage répondit : tu me montres 5 dés. Je vois les dés, mais où est le 5 ?"

il y a 19 minutes, Fraction a dit :

Ça ne nous apprend pas grand-chose, sinon que toute réalité et que tout déterminisme est formalisable.

Ben justement, vous avez lu ce que j'ai écrit ? Que vaut un formalisme incohérent ?

Pour le reste, je suis désolé mais je ne comprends pas votre vocabulaire.

Pour construire une preuve de la consistance de ZFC il faudrait se placer hors de ZFC.

Donc cela revient à reporter la responsabilité sur son voisin comme dans le jeu des chaises musicales : il faut que la théorie qui prouve la consistance de ZFC soit consistante (mais on ne peut pas le démontrer dans cette théorie non plus).

Ton paradoxe a à voir avec Gödel.

Et puis ne confonds tu pas " ZFC " et " ZFC + l'axiome de l'inconsistance de ZFC " qui sont deux théories différentes ?

il y a 23 minutes, Quasi-Modo a dit :

Ton paradoxe a à voir avec Gödel.

Oui, c'est une conséquence immédiate.

il y a 23 minutes, Quasi-Modo a dit :

Pour construire une preuve de l'inconsistance de ZFC il faudrait se placer hors de ZFC.

Pour prouver la consistance, il faut se placer en dehors de ZFC (démontré par Godel). Pour l'inconsistance, ca peut se démontrer dans ZFC (suffirait de démontrer un théorème et son contraire). Mais en fait, on s'en moque. L'axiome ajouté est très simple : il dit (impose) qu'il existe une preuve de l'inconsistance. Il est dans le langage de ZFC.

Ce qui est fort, c'est que si (pure hypothèse) ZFC est consistante, alors elle reste consistante en ajoutant un axiome qui dit qu'il existe une preuve de son inconsistance.

il y a une heure, Spontzy a dit :

Si ZFC est consistante, alors ZFC et l’axiome supplémentaire (qui dit qu’il existe une preuve de l’inconsistance de ZFC) est également consistante !

on prouve qu'une théorie est consistante et cela avec un axiome qui dit qu'elle ne l'est pas ? 

il y a 10 minutes, Spontzy a dit :

Pour prouver la consistance, il faut se placer en dehors de ZFC (démontré par Godel). Pour l'inconsistance, ca peut se démontrer dans ZFC (suffirait de démontrer un théorème et son contraire). Mais en fait, on s'en moque. L'axiome ajouté est très simple : il dit (impose) qu'il existe une preuve de l'inconsistance. Il est dans le langage de ZFC.

 

Ce qui est fort, c'est que si (pure hypothèse) ZFC est consistante, alors il existe une preuve de son inconsistance.

Oui c'est tout à fait exact, je suis allé un peu vite. En fait la pire chose qui puisse arriver aux mathématiques c'est de pouvoir montrer leur propre consistance, puisqu'une théorie consistante ne démontre pas sa propre consistance. C'est vrai que c'est choquant.

il y a 15 minutes, Ooo a dit :

on prouve qu'une théorie est consistante et cela avec un axiome qui dit qu'elle ne l'est pas ? 

Pas tout à fait, on s'amuse à créer une nouvelle théorie avec un axiome (forcément vrai !) qui dit qu'il existe une preuve de l'inconsistance de la théorie. Cette nouvelle théorie est consistante si la théorie d'origine l'est (alors que pourtant elle affirme qu'il existe un preuve de son inconsistance !).

il y a 8 minutes, Quasi-Modo a dit :

C'est vrai que c'est choquant.

Attention, je me suis trompé dans la phrase suivante (corrigé depuis) :

" Ce qui est fort, c'est que si (pure hypothèse) ZFC est consistante, alors il existe une preuve de son inconsistance. "

Ca c'est faux.

il y a 1 minute, Spontzy a dit :

Pas tout à fait, on s'amuse à créer une nouvelle théorie avec un axiome (forcément vrai !) qui dit qu'il existe une preuve de l'inconsistance de la théorie. Cette nouvelle théorie est consistante si la théorie d'origine l'est (alors que pourtant elle affirme qu'il existe un preuve de son inconsistance !).

j'ai une théorie vraie (déjà démontrée) et je lui adjoins un axiome qui contredit cette vérité. Je forme une nouvelle théorie qui dit qu'on peut avoir ce cas de figure .. mais à condition d'ajouter comme axiome que la contradiction n'est pas un axiome ?

il y a 3 minutes, Spontzy a dit :

Attention, je me suis trompé dans la phrase suivante (corrigé depuis) :

" Ce qui est fort, c'est que si (pure hypothèse) ZFC est consistante, alors il existe une preuve de son inconsistance. "

De même j'ai changé inconsistance par consistance dans mon premier message, c'était pour voir si vous suiviez mdr

Il y a 2 heures, Spontzy a dit :

Un résultat démontré l’est pour toujours.

une démonstration accepté comme correct un jour n'est pas forcément accepté comme correct pour toujours.

Il y a 4 heures, Spontzy a dit :

Ben justement, vous avez lu ce que j'ai écrit ? Que vaut un formalisme incohérent ?

 

Pour le reste, je suis désolé mais je ne comprends pas votre vocabulaire.

Bonjour,

Votre réponse est la pire réponse que je pouvais attendre : vous ne comprenez pas ce que je dis.

J’ai l’habitude sur les forums.

Mais je ne le prends pas systématiquement pour moi, pour mon déficit pédagogique.

Ça peut aussi venir d’un déficit de volonté de mon interlocuteur, considérant que, vous connaissant, votre faculté d’interprétation n’est pas en cause.

Je vais donc réitérer sous une autre forme :

Les mathématiques et la logique décrivent un déterminisme formel, et leur champ de compétences est censé couvrir l’ensemble des déterminismes possibles.

Pour cela elles élaborent des éléments de langage.

Or, c’est là qu’apparaît ma critique.

Il y a les mathématiques appliquées et les mathématiques fondamentales.

Les mathématiques appliquées se veulent être des instruments de lecture et d’interprétation des sciences et des disciplines.

Alors que les mathématiques fondamentales devraient avoir pour objet l’ensemble du champ rationnel, afin de hiérarchiser ses éléments de langage.

La Vérité étant considérée comme formalisable dans l’absolu, les mathématiques fondamentales, combinées à la conceptualisation, devraient être capable d’édifier le corpus de la Vérité.

C’est en cela que je mets en avant l’équation différentielle, qui n’est pas une équation comme les autres, mais qui participe à toute création, et à tout système stable et/ou évolutif.

 Cordialement, Fraction.

Il y a 16 heures, Spontzy a dit :

Quel est l’intérêt des mathématiques ? Il doit y en avoir beaucoup, mais on peut citer leur fiabilité. Un résultat démontré l’est pour toujours. Les contradictions dans ce domaine sont exclues. C’est pratique. Alors que vaudrait des maths inconsistantes (qui peuvent montrer une chose et son contraire, ou autrement dit, qui peuvent démontrer que tout théorème est vrai) ?

 

Pas grand-chose, certainement. A ce jour, la preuve de la consistance des maths habituelles (ZFC pour les connaisseurs) n’est pas établie, même si la majorité des mathématiciens ont confiance en la cohérence de ZFC. Ce n'est pas un problème en soi.

 

Alors jouons un peu : prenons la théorie mathématique standard, habituelle (ZFC). Elle est définie par des axiomes. Ajoutons un nouvel axiome à cette liste, défini ainsi  : « il existe une preuve de l’inconsistance de ZFC ». Cela forme une nouvelle théorie, différente de ZFC.

Et bien il est prouvé (assez facilement), que :

Si ZFC est consistante, alors ZFC et l’axiome supplémentaire (qui dit qu’il existe une preuve de l’inconsistance de ZFC) est également consistante !

C’est chaud, non ?

Il y a 16 heures, Spontzy a dit :

Quel est l’intérêt des mathématiques ? Il doit y en avoir beaucoup, mais on peut citer leur fiabilité. Un résultat démontré l’est pour toujours. Les contradictions dans ce domaine sont exclues. C’est pratique. Alors que vaudrait des maths inconsistantes (qui peuvent montrer une chose et son contraire, ou autrement dit, qui peuvent démontrer que tout théorème est vrai) ?

 

Pas grand-chose, certainement. A ce jour, la preuve de la consistance des maths habituelles (ZFC pour les connaisseurs) n’est pas établie, même si la majorité des mathématiciens ont confiance en la cohérence de ZFC. Ce n'est pas un problème en soi.

 

Alors jouons un peu : prenons la théorie mathématique standard, habituelle (ZFC). Elle est définie par des axiomes. Ajoutons un nouvel axiome à cette liste, défini ainsi  : « il existe une preuve de l’inconsistance de ZFC ». Cela forme une nouvelle théorie, différente de ZFC.

Et bien il est prouvé (assez facilement), que :

Si ZFC est consistante, alors ZFC et l’axiome supplémentaire (qui dit qu’il existe une preuve de l’inconsistance de ZFC) est également consistante !

C’est chaud, non ?

merci c'est très intéressant ! En ce moment, je lis "Maths et Musique" des destinées parallèles. Contrairement à ce que beaucoup de personnes pensent , les mathématiques sont "utiles" dans bien des domaines. Certes, c'est souvent difficile à comprendre, mais c'est passionnant. Les maths jouent un rôle important dans les compositions musicales, comme le rythme qui est une mesure du temps par exemple;;;;

Il y a 13 heures, Fraction a dit :

Les mathématiques et la logique décrivent un déterminisme formel, et leur champ de compétences est censé couvrir l’ensemble des déterminismes possibles.

Le déterminisme c’est quand tous les évènements sont engendrés par une relation de cause à effet. Je comprends que vous voulez dire que les maths et la logique décrivent des tautologies (dérivées des axiomes). En réalité, il n’y a pas de causes et d’effets en maths. Il y a des raisonnements et des axiomes.

Chaque théorie mathématique (et il faut inclure la logique) a ses axiomes et ses règles de raisonnement. Chaque théorie peut prouver quelques théorèmes, rares. La plupart (la quasi-totalité) des propositions est complètement hors d’atteinte. Il ne faut pas l'oublier.

Il y a 13 heures, Fraction a dit :

Les mathématiques appliquées se veulent être des instruments de lecture et d’interprétation des sciences et des disciplines.

Pas d’accord. Les maths se moquent complètement des sciences et autres disciplines (économie, etc…). J’écris cela dans le sens : jamais aucun résultat de physique, de chimie ou d’économie n’a modifié la validité ou pas d’une théorie mathématique. Les maths sont de l’abstraction pure (phrase à retoucher si on est platonicien, mais l’idée est là). C’est l’inverse qui est vraie : les autres disciplines sont liées aux maths. Il y a une question philosophique majeure très intéressante : pourquoi les maths marchent si bien pour décrire la nature ?

Il y a 13 heures, Fraction a dit :

La Vérité étant considérée comme formalisable dans l’absolu, les mathématiques fondamentales, combinées à la conceptualisation, devraient être capable d’édifier le corpus de la Vérité.

La vérité est un terme multi sens. Les maths peuvent décrire une vérité particulière, si elle est bien définie et si elle est du domaine de la théorie étudiée. Mais aucune autre vérité (par exemple si on dit que la vérité c’est ce qui est juste, les maths ne peuvent pas en parler, si on dit que la vérité c'est le commun accord démocratique, c'est inaccessible aux maths, etc...).

Il y a 13 heures, Fraction a dit :

C’est en cela que je mets en avant l’équation différentielle, qui n’est pas une équation comme les autres, mais qui participe à toute création, et à tout système stable et/ou évolutif.

Il n’y a aucun statut spécifique aux équations différentielles, qui ne sont que des tautologies des axiomes initiaux. Pures tautologies, comme le reste des éléments de la théorie. Je ne comprends pas votre position.

A+

Il y a 2 heures, Spontzy a dit :

Le déterminisme c’est quand tous les évènements sont engendrés par une relation de cause à effet. Je comprends que vous voulez dire que les maths et la logique décrivent des tautologies (dérivées des axiomes). En réalité, il n’y a pas de causes et d’effets en maths. Il y a des raisonnements et des axiomes.

Chaque théorie mathématique (et il faut inclure la logique) a ses axiomes et ses règles de raisonnement. Chaque théorie peut prouver quelques théorèmes, rares. La plupart (la quasi-totalité) des propositions est complètement hors d’atteinte. Il ne faut pas l'oublier.

 

Pas d’accord. Les maths se moquent complètement des sciences et autres disciplines (économie, etc…). J’écris cela dans le sens : jamais aucun résultat de physique, de chimie ou d’économie n’a modifié la validité ou pas d’une théorie mathématique. Les maths sont de l’abstraction pure (phrase à retoucher si on est platonicien, mais l’idée est là). C’est l’inverse qui est vraie : les autres disciplines sont liées aux maths. Il y a une question philosophique majeure très intéressante : pourquoi les maths marchent si bien pour décrire la nature ?

 

La vérité est un terme multi sens. Les maths peuvent décrire une vérité particulière, si elle est bien définie et si elle est du domaine de la théorie étudiée. Mais aucune autre vérité (par exemple si on dit que la vérité c’est ce qui est juste, les maths ne peuvent pas en parler, si on dit que la vérité c'est le commun accord démocratique, c'est inaccessible aux maths, etc...).

 

Il n’y a aucun statut spécifique aux équations différentielles, qui ne sont que des tautologies des axiomes initiaux. Pures tautologies, comme le reste des éléments de la théorie. Je ne comprends pas votre position.

 

A+

Bonjour,

La logique déduit la valeur de vérité, mais les connecteurs binaires qu’elle utilise sont transposables dans d’autres valeurs existentielles.

Pour avoir programmé un déducteur de modélisation cognitive, je peux vous affirmer que les connecteurs binaires sont parfaitement transposables à la causalité et sa valeur de réalité.

A commencer par l’implication :

1 _ « Les parents suffisent au fils, et le fils nécessite les parents. »

On a ici une double implication qualifiée, (et puisqu’elle est asymétrique, ce n’est pas une équivalence).

La double implication causale, c’est un peu comme les entrailles du temps.

Mais pas que :

2 _ La double implication peut également s’appliquer au repère-référentiel tel que :

« Je suis à Paris, donc je suis en France, je possède la France donc je possède Paris »

Référentiel (Paris) implique référentiel (France), repère (France) implique repère (Paris)

3 _ Il existe un 3^ème déterminisme, c’est le déterminisme analogique, qui n’a pas de valeur de vérité en soi, mais plutôt une valeur ontologique :

« Le PIB est au marché ce que la décision est à la volonté. »

On a ici une homothétie qui sous-tend une analogie d’ordre ontologique, vous pouvez retrouver la double implication aisément.

Trois qualités d’implication pour trois déterminismes, que l’on retrouve de façon figurative dans l’art fractal :

_ Le déterminisme causal se représente comme un arbre.

_ Le déterminisme référentiel se représente comme un nid de bulles.

_ Le déterminisme analogique se représente comme un réseau homothétique.

Trois qualités d’implication pour trois valeurs des connecteurs binaires :

_ Valeur de réalité

_ Valeur référentielle

_ Valeur ontologique

Cordialement, Fraction

Hello @Spontzy

A partir du moment où tu ajoutes n'importe quelle proposition indecidable à une théorie consistante, cela ne remet pas en cause la consistance du nouvel ensemble.

Zfc (si consistante) + axiome zfc est inconsistante (indecidable donc postulable sans provoquer l'inconsistance) => théorie consistante

C'est vrai aussi avec zfc + axiome "zfc est consistant" qui est également consistante.

Cela retire le côté "chaud" de l'affaire

bisous

il y a 37 minutes, Fraction a dit :

La logique déduit la valeur de vérité, mais les connecteurs binaires qu’elle utilise sont transposables dans d’autres valeurs existentielles.

Oui. C'est ce que j'ai écrit. Les autres disciplines peuvent utiliser les maths.

il y a 38 minutes, Fraction a dit :

A commencer par l’implication :

Votre définition de l'implication n'est pas celle de la logique classique. Ni d'aucune logique que j'ai pu voir. Pour que je vous suive, il faudrait définir cette opération. Par exemple, l'implication "classique" est définie comme cela :

Soit A et B deux propositions (chacune ayant une valeur de vérité : vraie ou fausse).

L'implication Imp est définie comme Imp = A=> B (se dit A implique B) et a les valeurs de vérité suivantes :

Si A est vraie et B est vraie, alors Imp est vraie.

Si A est vraie et B est fausse, alors Imp est fausse.

Si A est fausse, imp est vraie.

il y a 15 minutes, zenalpha a dit :

Zfc (si consistante) + axiome zfc est inconsistante (indecidable donc postulable sans provoquer l'inconsistance) => théorie consistante

C'est vrai aussi avec zfc + axiome "zfc est consistant" qui est également consistante.

Salut.

2 remarques,

 - si l'axiome ajouté est "ZFC est inconsistant", alors la nouvelle théorie est inconsistante (car un axiome est vrai)

 - celui que j'ai ajouté est différent : j'ai ajouté "il existe une preuve de l'inconsistance de zfc". C'est différent (et je ne suis pas sur que ce soit indécidable).

il y a 41 minutes, Spontzy a dit :

Oui. C'est ce que j'ai écrit. Les autres disciplines peuvent utiliser les maths.

 

Votre définition de l'implication n'est pas celle de la logique classique. Ni d'aucune logique que j'ai pu voir. Pour que je vous suive, il faudrait définir cette opération. Par exemple, l'implication "classique" est définie comme cela :

Soit A et B deux propositions (chacune ayant une valeur de vérité : vraie ou fausse).

L'implication Imp est définie comme Imp = A=> B (se dit A implique B) et a les valeurs de vérité suivantes :

Si A est vraie et B est vraie, alors Imp est vraie.

Si A est vraie et B est fausse, alors Imp est fausse.

Si A est fausse, imp est vraie.

 

Votre table de vérité ne diffère pas de la mienne.

C’est sur la nature de l’implication que je mets l’accent.

Le « si… alors » peut recéler plusieurs modes d’existence et donc de déterminismes, trois exactement.

Ma cafetière est réductible à un ensemble de propositions fonctionnelles :

A = Mettre 4 doses de café par demi-litre d’eau

B = Mettre la quantité d’eau désirée

C = Appuyer sur le bouton marche

On obtient l’implication :

(A et B et C) implique « faire du café »

La valeur de vérité propositionnelle est interprétée comme une valeur de réalité instructive : "fais -moi du café".

C’est un peu comme si on passait de « « je suis un homme » est vrai » à « je suis un homme réel ».

Idem pour le déterminisme référentiel :

L'implication entre Paris et la France recèle une relation d'ordre locale et non plus causale.

Idem pour l’homothétie :

Il existe dans l’escargot quelque chose qui implique autre chose dans le camping-car.

L’immanence de l’implication est ici d’ordre ontologique, et non plus causale comme le premier exemple.

Cordialement, Fraction