Y-a-t-il un plus grand nombre ?

Bonjour,

Certains répondent à l'unisson à cette question que non.
Et d'autres (dont moi) cela dépend du jeu auxquels ont joue (la théorie dans laquelle on se place).

En effet l'erreur est de croire que l'arithmétique de Peano est universelle (dans cette théorie il n'y a pas de plus grand nombre), alors qu'il existe des peuplade qui ont une arithmétique avec un plus grand nombre (beaucoup : B).

Ainsi dans cette arithmétique, si on la décrit à partir de Peano, on a : 

-B un grand nombre choisi dans les entiers
-a+b=min(a+b,B) 
-a*b=min(a*b,B)

C'est une arithmétique tout autant légitime que Peano, la preuve elle est utilisé par certains groupes humains.

Bonne journée.

Donc l'infini n'existe plus dans leur théorie si j'ai bien compris ?

Forcement en partant de l'axiome "il existe un plus grand nombre", on devrait reussir a prouver qu'il en existe un plus grand.

il y a 8 minutes, Niou a dit :

Donc l'infini n'existe plus dans leur théorie si j'ai bien compris ?

L'infini est une fiction mathématique, et il existe beacoup de théorie qui ne parle que du fini

il y a 2 minutes, Virtuose_en_carnage a dit :

Forcement en partant de l'axiome "il existe un plus grand nombre", on devrait reussir a prouver qu'il en existe un plus grand.

Tu as zappé le noeud du problème : AP est il universel ?

Et on voit que non, donc dire qu'il n'existe pas de plus grand nombre, c'est faire comme si l'arithmétique se réduisait à AP, or comme je l'ai montré rien n'est moins sûr.

Nous pourrions prendre en compte la valeur N = plus grand nombre de décimales qu'un être humain peut énumérer en une seconde. Puis en constatant que nous vivons maximum 120 ans, que nous pourrions convertir en secondes, nous pourrions définir un nombre de décimales-limite prononçables (ou écrivables). Donc il y aurait un plus grand nombre en pratique : celui qui prendrait le temps de la plus longue vie humaine à être énuméré (mais bon faut être motivé pour faire ça depuis le berceau ).

il y a 24 minutes, contrexemple a dit :

C'est une arithmétique tout autant légitime que Peano, la preuve elle est utilisé par certains groupes humains.

Quels groupes d'humains ?

il y a 5 minutes, Quasi-Modo a dit :

Quels groupes d'humains ?

On en avait déjà discuter, une tribut d'Amazonie, qui compte 1,2,3,beaucoup, beaucoup...

C'est Stanislas Dehane qui en avait parlé dans une émission  avec Alain Connes sur France culture

Bonjour.

Oui, les "nombres" dans une théorie dépendent de la théorie qui les définit.

A+

il y a 1 minute, Spontzy a dit :

Oui, les "nombres" dans une théorie dépendent de la théorie qui les définit.

il y a 15 minutes, contrexemple a dit :

Tu as zappé le noeud du problème : AP est il universel ?

Et on voit que non, donc dire qu'il n'existe pas de plus grand nombre, c'est faire comme si l'arithmétique se réduisait à AP, or comme je l'ai montré rien n'est moins sûr.

Il existe des dizaines (centaines ?) d'autres axiomatiques définissant des arithmétiques différentes. Qui a dit que seul Peano existe ?

D'ailleurs même dans la théorie classique, si nous prenons 1 nombre énuméré par seconde, et que nous calculons le nombre de secondes d'une vie d'humain (120 ans) on trouve environ, en arrondissant le nombre de jours par an à 366, 3794688000 décimales énumérées au maximum durant une vie d'humain.

Reste à voir le nombre le plus grand qu'on puisse former avec ce nombre de décimales (une puissance de X serait bien). Mais ça dépend aussi de la base utilisée sans doute !

il y a 16 minutes, Spontzy a dit :

Il existe des dizaines (centaines ?) d'autres axiomatiques définissant des arithmétiques différentes. Qui a dit que seul Peano existe ?

Non, la bonne question est plus :

Qui a dit que l'arithmétique de Peano est-elle connu par tout être humain ?

Réponse : Ce qui pense qu'il n' y a pas de plus grand nombre (avec les entiers intuitifs)

il y a 9 minutes, Quasi-Modo a dit :

D'ailleurs même dans la théorie classique

Bonjour Quasi-Modo.

La théorie classique a dans ses axiomes l'induction (qui est l'équivalent de dire qu'il y a un nombre infini d'entiers). La question ne se pose pas dans ce cadre.

Sinon, vous pensez que n'existe que ce que je peux humainement compter ?

A+

il y a une heure, contrexemple a dit :

L'infini est une fiction mathématique, et il existe beacoup de théorie qui ne parle que du fini

Tu as zappé le noeud du problème : AP est il universel ?

Et on voit que non, donc dire qu'il n'existe pas de plus grand nombre, c'est faire comme si l'arithmétique se réduisait à AP, or comme je l'ai montré rien n'est moins sûr.

Tu fais des mathematiques comme un charlatan.

il y a 3 minutes, Virtuose_en_carnage a dit :

Tu fais des mathematiques comme un charlatan.

Ah, bon : https://mathoverflow.net/users/110301/dattier?tab=questions

Et toi c'est quoi tes réfèrences ?

il y a une heure, Spontzy a dit :

Bonjour Quasi-Modo.

La théorie classique a dans ses axiomes l'induction (qui est l'équivalent de dire qu'il y a un nombre infini d'entiers). La question ne se pose pas dans ce cadre.

Sinon, vous pensez que n'existe que ce que je peux humainement compter ?

A+

Quand je parle de théorie classique il est question d'un nombre infini de nombres (en théorie).

En pratique jamais nous n'explorerons tous les nombres, parce que nous sommes finis sur une planète finie.

Ce n'est même pas une question de compter humainement parlant, mais de représenter les nombres qu'on définit. Pi possède une infinité de décimales ce qui signifie que jamais nous ne le connaîtrons en entier. Il y aura toujours une "dernière décimale connue".

J'ai lu ce que vous avez écrit et plusieurs choses m'interpellent. Tout d'abord, il y a la notion de "beaucoup" qui est quand même relative. Pour parler de beaucoup il faudrait le comparer à quelque chose de connu. Combien y a t-il de grains de riz dans un kilo? S'il faut les compter un à un un, c'est vrai qu'il y en a beaucoup. Si on amène ce kilo de riz au Vénézuela ces jours-ci, la quantité devient dérisoire. C'est un peu comme se poser la question de savoir à partir de combien on est riche. Pour un mec au RSA, un smicard fait figure de riche.

Se poser la question s'il y a un dernier nombre est aussi absurde. Dire que oui c'est admettre que l'on vit dans un univers fini et ça, j'ai bien peur qu'on ne le sache jamais. On ne compte plus en kilomètres mais en années lumière. On ne peut pas dire, c'est le nombre jusque auquel on peut compter en 120 ans. Qui devrait compter, Bigflo et Oli ou bien mon voisin du dessus qui est bègue?

10¹⁰⁰ (1 gogol) par exemple sert d'unité dans le système Gogol. 10¹⁰¹⁰⁰ est un gogolplex et il y en a encore derrière, de quoi s'arracher les cheveux pour ceux qui en ont encore.

Vouloir qu'il y ait un nombre de nombres fini c'et faire bstraction de l'infiniment tout comme de l'infiniment petit mais ça, c'est un autre sujet.

Dattier,

Tu viens encore de te faire bannir d'un N-ième site de Mathématiques !

http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?pid=74857#p74857

il y a 47 minutes, Frank_N a dit :

Se poser la question s'il y a un dernier nombre est aussi absurde. Dire que oui c'est admettre que l'on vit dans un univers fini et ça, j'ai bien peur qu'on ne le sache jamais. On ne compte plus en kilomètres mais en années lumière. On ne peut pas dire, c'est le nombre jusque auquel on peut compter en 120 ans. Qui devrait compter, Bigflo et Oli ou bien mon voisin du dessus qui est bègue?

10¹⁰⁰ (1 gogol) par exemple sert d'unité dans le système Gogol. 10¹⁰¹⁰⁰ est un gogolplex et il y en a encore derrière, de quoi s'arracher les cheveux pour ceux qui en ont encore.

Vouloir qu'il y ait un nombre de nombres fini c'et faire bstraction de l'infiniment tout comme de l'infiniment petit mais ça, c'est un autre sujet.

Je comprends ce que tu veux dire lorsque tu parles d'unité, j'en ai d'ailleurs parlé quand j'employais l'idée que la base de calcul (ou l'unité du système) pourrait elle aussi devenir énorme, mais encore faut-il pouvoir décrire cette base de calcul elle aussi Et un gogolplex même si c'est énorme, ça reste un nombre fini (comme tout ce qu'on pourra représenter en un temps fini). Sachant que malgré tout ça on aura même pas effleuré l'infini théorique ! D'où mon idée, qu'on pourra juger fantasque, de ramener à échelle humaine ce genre de considérations : ça n'a pas vocation à être autre chose qu'une curiosité intellectuelle balancée en l'air 

Finalement ce que je veux dire c'est que si on considère l'Histoire humaine, il y a bien un plus grand nombre qui ait été représenté en tant que tel.

Il y a 10 heures, contrexemple a dit :

-B un grand nombre choisi dans les entiers
-a+b=min(a+b,B) 
-a*b=min(a*b,B)

D'ailleurs si on prend x < B, alors x + B - B = 0 ou x selon les parenthèses ?

Mieux, si on prend X un nombre quelconque, alors (X + 1) / B = ?

Posons B = 16, A1 = 12 et A2 = 10

Or A1 * A1 = 12 * 12 = min(144, B) = B et valeur_absolue(racine_carrée(A1*A1)) = valeur_absolue(racine_carrée(B)) = A1

De même, A2 * A2 = 10 * 10 = min(100 , B)= B et valeur_absolue(racine_carrée(A2*A2)) = valeur_absolue(racine_carrée(B)) = A2

Donc A1 = A2 = valeur_absolue(racine_carrée(B)), ce qui est contraire à l'hypothèse de départ (12 différent de 10).

On arrête pas le progrès en mathématiques shadock

Donc il me semble que cette "arithmétique" chelou devrait renoncer à la fois à l'associativité, et au principe de substitution qui veut que deux valeurs égales à une même troisième soient égales entre elles.