Mathématiques

Hier je faisais des gâteaux avec mon père. Et puis je me suis posée une question a priori un peu idiote mais qui me prend la tête depuis:

si je fais deux gâteaux dans deux moules de forme cylindrique qui ont le même volume mais un des deux est plus haut et l'autre plus large, les gâteaux auront-ils la même surface de croute (sur l'ensemble du gâteau, pas juste le dessus)?

autrement dit, a volumes égaux, 2 cylindres ont-ils forcément la même aire?

merci pour les réponses!

Salut,

Oui.

il y a une heure, philkeun a dit :

Salut,

Oui.

2/20 

Et la démonstration ? 

La question est loin d'être idiote. La réponse est non : pour un même volume, la surface d'un cylindre est d'autant plus grande que sa base est large et d'autant plus petite que sa hauteur est grande. 

Cela nous arrange bien car le cas contraire aurait été bien plus délicat à démontrer. Pour démontrer que deux cylindres de même volume n'ont pas nécessairement la même surface, il suffit de trouver un exemple de deux cylindres de même volume et de surfaces différentes. 

Avant tout, il faut savoir calculer le volume et la surface d'un cylindre.
Le volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h, c'est la base (l'aire du disque de rayon r soit pi*r²), multipliée par la hauteur h. D'où : V = pi * r² * h.
La surface de ce même cylindre, c'est deux fois la base plus la surface latérale du cylindre qui n'est rien d'autre que la surface d'un rectangle dont les côtés sont la hauteur du cylindre et le périmètre de la base. D'où : S = 2 * pi * r² + 2 * pi * r * h, soit encore S = 2 * pi * r * (r + h).

Prenons par un exemple un volume V = 16*pi cm^3. Je peux notamment écrire ce volume des deux façons suivantes :

• V = (pi * 4²) * 1 soit V = pi * r1² * h1 avec r1 = 4 cm et h1 = 1 cm;
• V = (pi * 2²) * 4 soit V = pi * r2² * h2 avec r2 = 2 cm et h1 = 4 cm.

Dans le premier cas, on a : S = 2 * pi * 4 * (4 +1) = 40 * pi cm². 
Dans le second cas, on a : S = 2 * pi * 2 * (2 + 4) = 24 * pi cm ².

Avec cet exemple, on a montré que pour un même volume de 16 * pi cm^3, on a deux surfaces différentes. La surface est d'ailleurs plus petite pour le cylindre dont le rayon est plus petit.

P.-S. : Tu peux vérifier ce résultat expérimentalement assez facilement. Prends deux verres (à peu près) cylindriques de même contenance mais dont l'un est nettement plus large que l'autre. Enrobe le verre le plus fin dans du papier et essaie d'enrober le verre le plus large avec le même papier : tu verras que c'est impossible de le couvrir entièrement.

P.-S.² : Ne pas prêter attention à ce qui est barré, ce sont des conneries. Mea culpa.

il y a 14 minutes, konvicted a dit :

Pour démontrer que deux cylindres de même volume n'ont pas nécessairement la même surface, il suffit de trouver un exemple de deux cylindres de même volume et de surfaces différentes. 

Je pense que cette jeune Mazarine aura une note assez volumineuse à son évaluation, en surface.

il y a 20 minutes, Anna Kronisme a dit :

Je pense que cette jeune Mazarine aura une note assez volumineuse à son évaluation, en surface.

Tu veux dire que ce que mon ravissement naïf pour les mathématiques m'a fait prendre pour de la curiosité authentique ne serait qu'une ruse malhonnête pour obtenir d'une bonne âme la réponse à un banal devoir maison que Mazarine n'aurait même pas pris la peine de demander à Google ? Quoique je ne doute pas de ma candeur, je préfère penser qu'un prof de 4e ne serait pas assez vache pour poser une telle question.

il y a 35 minutes, konvicted a dit :

La question est loin d'être idiote. La réponse est non :

Ça c'est vrai

pour un même volume, la surface d'un cylindre est d'autant plus grande que sa base est large et d'autant plus petite que sa hauteur est grande. 

Mais ça c'est faux

Cela nous arrange bien car le cas contraire aurait été bien plus délicat à démontrer. Pour démontrer que deux cylindres de même volume n'ont pas nécessairement la même surface, il suffit de trouver un exemple de deux cylindres de même volume et de surfaces différentes. 

Avant tout, il faut savoir calculer le volume et la surface d'un cylindre.
Le volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h, c'est la base (l'aire du disque de rayon r soit pi*r²), multipliée par la hauteur h. D'où : V = pi * r² * h. Donc si h devient tout petit, pour un même volume r² devient très grand

La surface de ce même cylindre, c'est deux fois la base plus la surface latérale du cylindre qui n'est rien d'autre que la surface d'un rectangle dont les côtés sont la hauteur du cylindre et le périmètre de la base. D'où : S = 2 * pi * r² + 2 * pi * r * h, soit encore S = 2 * pi * r * (r + h).

Prenons par un exemple un volume V = 16*pi cm^3. Je peux notamment écrire ce volume des deux façons suivantes :

• V = (pi * 4²) * 1 soit V = pi * r1² * h1 avec r1 = 4 cm et h1 = 1 cm;
• V = (pi * 2²) * 4 soit V = pi * r2² * h2 avec r2 = 2 cm et h1 = 4 cm.
• V = (pi * 400²) * 1/10000 soit V = pi * r1² * h1 avec r1 = 400 cm et h1 = 1/10000 cm; 

Dans le premier cas, on a : S = 2 * pi * 4 * (4 +1) = 40 * pi cm². 
Dans le second cas, on a : S = 2 * pi * 2 * (2 + 4) = 24 * pi cm ².

Dans le troisième cas, on a : S = 2 * pi * 400 * (400 +1/10000) = 320 000,08 * pi cm².!

.....

P.S. : Tu peux vérifier ce résultat expérimentalement assez facilement. Prends deux verres (à peu près) cylindriques de même contenance mais dont l'un est nettement plus large que l'autre. Enrobe le verre le plus fin dans du papier et essaie d'enrober le verre le plus large avec le même papier : tu verras que c'est impossible de le couvrir entièrement.

il y a une heure, Anna Kronisme a dit :

2/20 

Et la démonstration ? 

Ou non, si on compte aussi la surface des 2 cercles limitant le cylindre...

il y a 23 minutes, konvicted a dit :

Tu veux dire que ce que mon ravissement naïf pour les mathématiques m'a fait prendre pour de la curiosité authentique ne serait qu'une ruse malhonnête pour obtenir d'une bonne âme la réponse à un banal devoir maison que Mazarine n'aurait même pas pris la peine de demander à Google ? Quoique je ne doute pas de ma candeur, je préfère penser qu'un prof de 4e ne serait pas assez vache pour poser une telle question.

La rédaction du sujet ne me semble pas celle d'une élève de 4ème. Mazarine se fait aider par papa maman ou papy qui nous pose la question.

il y a 22 minutes, konvicted a dit :

Tu veux dire que ce que mon ravissement naïf pour les mathématiques m'a fait prendre pour de la curiosité authentique ne serait qu'une ruse malhonnête pour obtenir d'une bonne âme la réponse à un banal devoir maison que Mazarine n'aurait même pas pris la peine de demander à Google ? Quoique je ne doute pas de ma candeur, je préfère penser qu'un prof de 4e ne serait pas assez vache pour poser une telle question.

Je voulais dire que la phrase que j'ai cité était amusante (enfin, je m'amuse de ces choses, moi...). Pour démontrer que deux mots veulent dire la même chose, il nous suffit de trouver deux mots qui signifient la même chose. #ElmentairemoncherWhatTheFucque 

Mille excuses si ma moquerie vexe ton ravissement, je suis une quiche en mathématiques.

Je ne comprendrais jamais rien aux maths y'a rien à faire.

il y a 13 minutes, Anna Kronisme a dit :

Je voulais dire que la phrase que j'ai cité était amusante (enfin, je m'amuse de ces choses, moi...). Pour démontrer que deux mots veulent dire la même chose, il nous suffit de trouver deux mots qui signifient la même chose. #ElmentairemoncherWhatTheFucque 

Mille excuses si ma moquerie vexe ton ravissement, je suis une quiche en mathématiques.

Je vois ça.

Pour reprendre ta parodie, une analogie plus réaliste pour ma démonstration serait par exemple : Pour démontrer que deux mots qui veulent dire la même chose ne s'écrivent pas forcément pareil, il nous suffit de trouver deux mots qui veulent dire la même chose mais qui ne s'écrivent pas pareil (c'est-à-dire deux synonymes). L'idée, c'est simplement que pour montrer qu'une généralité n'est pas vraie, il suffit d'avancer un exemple pour lequel elle ne tient pas ; les généralités en mathématiques ayant ce luxe de ne pas s'encombrer d'exceptions.

@hybridex Je ne vois pas comment tu te permets d'affirmer :

Citation

Mais ça c'est faux

Alors que ton exemple ne fait que confirmer mon résultat : pour une base exagérément large et une hauteur par conséquent exagérément petite, tu as bien une surface bien plus grande que pour mes deux exemples de cylindres. 

il y a 26 minutes, hanss a dit :

Je ne comprendrais jamais rien aux maths y'a rien à faire.

Où ça des maths ? Tout ce qu'on dit sur ce topic, c'est que si tu veux fabriquer des boîtes de petits pois d'une contenance de 500 ml, ça te coûtera moins cher en matière première de faire des boîtes de 8 cm de diamètre et 10 cm de hauteur que des boîtes de 9,5 cm de diamètre et 7 cm de hauteur. 

Il y a 6 heures, konvicted a dit :

Où ça des maths ? Tout ce qu'on dit sur ce topic, c'est que si tu veux fabriquer des boîtes de petits pois d'une contenance de 500 ml, ça te coûtera moins cher en matière première de faire des boîtes de 8 cm de diamètre et 10 cm de hauteur que des boîtes de 9,5 cm de diamètre et 7 cm de hauteur. 

Excuse-moi, mais j'ai un petit doute sur ta démonstration, les volumes calculés (pi*D2/4)*h sont différents car tes données sont différentes. Ca donne 502,4 pour le premier et 495,9 pour le second. La comparaison concernant le prix devient boiteuse.

Mais je peux me tromper, les maths scolaires étant loin pour moi.

PS : Et si certain(e)s sur ce topic disent qu'ils (elles) ne comprennent rien aux maths, c'est qu'ils (elles) n'ont pas la lumière à tous les étages. Evidemment, je ne parle pas pour toi qui prends le temps de réfléchir.

il y a 57 minutes, Dan229 a dit :

Excuse-moi, mais j'ai un petit doute sur ta démonstration, les volumes calculés (pi*D2/4)*h sont différents car tes données sont différentes. Ca donne 502,4 pour le premier et 495,9 pour le second. La comparaison concernant le prix devient boiteuse.

Mais je peux me tromper, les maths scolaires étant loin pour moi.

PS : Et si certain(e)s sur ce topic disent qu'ils (elles) ne comprennent rien aux maths, c'est qu'ils (elles) n'ont pas la lumière à tous les étages. Evidemment, je ne parle pas pour toi qui prends le temps de réfléchir.

Soit à peu près 500 ml pour les deux. Mon histoire des boîtes de petits pois n'est pas une démonstration mais une illustration ; j'ai pris des valeurs approchées par commodité. J'aurais aussi bien pu ne pas donner de valeurs numériques du tout et rester purement qualitatif : si tu veux fabriquer des boîtes de petits pois d'une contenance donnée, ça te coûtera moins cher en matière première de faire des boîtes fines et hautes que des boîtes plus larges et moins hautes. 

N.B. : Si j'avais voulu calculer exactement les dimensions de la boîte pour une contenance donnée, j'aurais de toute façon dû tenir compte de son épaisseur.

il y a 2 minutes, konvicted a dit :

 ça te coûtera moins cher en matière première de faire des boîtes fines et hautes que des boîtes plus larges et moins hautes. 

 

Pour quelle raison ?

Pour un même volume, les boîtes fines et hautes ont une plus petite surface que les boîtes plus larges et moins hautes*. Il faut moins de métal pour couvrir une plus petite surface donc, à supposer que l'épaisseur soit la même, les boîtes fines et hautes coûtent moins cher à produire. 

* Pour être bien clair : ça, je ne l'ai pas démontré ; ce que j'ai montré, c'est qu'elles n'ont pas nécessairement la même surface. J'ai pris un exemple de deux boîtes de même volume dont la boîte plus fine et plus haute a effectivement une moindre surface ; je me suis permis de généraliser en dépit de toute rigueur mathématique.

Et que fais-tu de la matière utilisée pour la hauteur, la surface engendrée par le cylindre de révolution ?

J'imagine que tu parles de la surface latérale du cylindre, auquel cas je te renvoie à ma démo :

Il y a 9 heures, konvicted a dit :

La surface de ce même cylindre, c'est deux fois la base plus la surface latérale du cylindre qui n'est rien d'autre que la surface d'un rectangle dont les côtés sont la hauteur du cylindre et le périmètre de la base. D'où : S = 2 * pi * r² + 2 * pi * r * h, soit encore S = 2 * pi * r * (r + h).

La surface du cylindre, c'est bien la somme des aires de ses faces, pas seulement l'aire de la base.

La quantité de métal varierait-elle donc si, pour une même surface TOTALE, on fait varier la hauteur qui ferait donc proportionnellement varier la surface des deux sections ?

?????