Les nombres complexes

Le 13/02/2019 à 15:05, hell-spawn a dit :

Oh ...ça fait un  peu petit bras.

C'est pas grave.

J'ai regardé à nouveau quelques une des sites,

Le 13/02/2019 à 11:34, Hérisson_ a dit :

Pour une bonne introduction: voir G Villemain et la vidéo de Youtube.

et je confirme que celui de Villemain contient une excellente introduction au sujet, et le présente beaucoup mieux que je ne saurais le faire.

# Pour ceux qu'intriguerait la pseudo-sphère, voir

https://www.mathcurve.com/surfaces/pseudosphere/pseudosphere.shtml

http://mathworld.wolfram.com/Pseudosphere.html

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Beltrami.html

Il y a une vie en dehors de Wikipédia.

Modifié le 17 février 2019 par Hérisson_

Je reviens remettre le lien vers le spectre d'Atacama...et je le remettrai aussi longtemps qu'il sera supprimé sans raison.

Je signale à la modération qu'avant de supprimer pour n'importe quelle plainte, il est bon de faire valoir son propre...jugement....

Donc ce spectre d'Atacama d'Alain Connes qui est médaillé field de mathématiques évoque le sujet en question a savoir la conjecture de Riemann 

Aucune raison de le supprimer pour un signalement idiot...

Maintenant, si le souhait est que je quitte définitivement ce forum, il suffit de me le demander.

Je n'ai aucun souci avec un départ definitif qui me serait simplement demandé 

Mais je ne compte pas supporter une dictature de l'idiotie...

Modifié le 18 février 2019 par zenalpha

Alain Connes - le spectre d'Atacama - chapitre "Le secret de la licorne..."

Genre - Roman scientifique 

C'est si intelligent que j'ai décidé de le restituer in extenso afin peut-être de donner envie de le lire.

Au bout...le lien avec la conjecture de Riemann évidemment...

1ère partie...

- j'ai décodé le second spectre, le spectre comprimé, et je n'en reviens pas

- Qu'y a t'il ? Qu'est ce qui t'intrigue au point de nous réveiller au milieu de la nuit ?

- Voilà, ce spectre et aussi le fait qu'il soit émis en alternance avec le spectre clairsemé constitue la preuve irréfutable qu'ils proviennent d'une intelligence extra terrestre

- Comme tu y vas

- J'en suis certain ! Ce qui me convainc, c'est que la relation entre ces deux spectres constitue sans doute l'une des découvertes les plus frappantes des mathématiques 

- Nous ne sommes pas mathematicien, essaie de nous expliquer !

- Chaque espace possède sa gamme, qui est donnée par la liste de ses fréquences propres, et qui, si on la complète en donnant les accords associés aux points, permet de reconstruire l'espace 

- Oui, il s'agit de la musique des formes, ta marotte ! Dit Charlotte

- Et bien, il y a une autre liste naturelle associée à un espace, qui n'est plus une liste de fréquence, ou de manière équivalente une liste de durées.

- Comment est elle définie ?

- En certains points de l'espace, quand on envoie un rayon lumineux dans une direction particulière, ce rayon revient au point de départ, après une durée finie, dans la direction opposée à celle où on l'a envoyé. On mesure alors les périodes de ces rayons lumineux, c'est à dire, le temps qu'ils mettent à revenir.

- Il faut que tu nous donnes un exemple 

- Imaginons d'abord que notre espace soit une sphère à deux dimensions. Dans ce cas, quand nous envoyons un rayon lumineux dans n'importe quelle direction, il revient à son point de départ, dans la direction opposée, avec une périodicité qui est proportionnelle à la taille de la sphère.

Ainsi, les périodes sont les multiples de la taille de la sphère, alors que la gamme de la sphère est donnée par des fréquences qui sont proportionnelles à l'inverse de la taille de la sphère.

Les carrés de ces fréquences sont les produits de deux entiers consécutifs et elles sont répétées autant de fois que la somme de ces deux entiers.

- Plus la sphère est grande, plus le son est grave mais plus la periode est longue, exact ?

- Oui. Des exemples très intéressants sont donnés par les tores. Si notre espace était un tore à deux dimensions, il aurait la même géométrie plane que l'espace Euclidien qui nous est familier, pourvu qu'on ne se place pas trop loin.

Quand on reste dans un périmètre limité, on est dans un espace plat, comme le plan.

Mais il est enroulé dans deux directions différentes. En l'enroulant dans une direction seulement, on obtient un cylindre, et l'on voit bien que si l'on se déplace sur le cylindre dans la direction dans laquelle il est enroulé, on revient au point de départ.

C'est précisément ce qui arrive aux rayons lumineux. Mais le cylindre reste ici encore un espace infini, et, pour le rendre fini, on l'enroule dans une autre direction.

On ne peut pas dessiner l'espace obtenu sans déformer sa géométrie, mais celà n'empêche pas de comprendre que si l'on se déplace dans l'une ou l'autre des directions d'enroulement, on revient au point de départ.

Il est aussi possible de les combiner : au lieu de suivre une direction d'enroulement puis l'autre, on suit alors la diagonale, et on s'aperçoit que, quand on envoie un signal lumineux dans ces directions, il revient de manière opposée de manière périodique.

De plus la periode ne dépend pas du point choisi comme point de départ mais seulement de la direction : c'est une période de l'espace.

On obtient ainsi un ensemble de périodes possibles en faisant simplement varier la direction

- C'est un ensemble de temps ou de longueurs de plus en plus grands, qui se déploient donc vers l'infra rouge, remarque Ali 

- Oui, alors que la gamme du tore est un ensemble de fréquences qui se déploient vers l'ultra violet...

- Mais quel rapport y a t'il entre ces deux ensembles ?

- Dans l'exemple des tores, ces deux ensembles se déduisent l'un de l'autre par ce qu'on appelle une "dualité", qui était dejà connue au 19eme siècle grâce a la formule de Poisson, un mathématicien physicien français.

Cette dualité peut même se voir de façon géométrique, car un tore admet un tore dual, un tore réciproque dont la gamme de fréquence est l'ensemble des périodes du tore de départ : ilsils échangenr en fait fréquences contre périodes ! Quand on aggrandit le tore de départ dans une direction, le tore réciproque se rétrécit dans une direction correspondante 

- Oui mais quel est le lien avec nos spectres alors ? Demande Charlotte 

- Le lien : Riemann vers le milieu du 19eme a démontré une formule de dualité analogue entre le spectre clairsemé des nombres premiers et le spectre comprimé, celui des zéros de zéta..."

Suite au prochain épisode 

 

Avant de poursuivre demain dans la suite de l'exposé d'Alain Connes dans "Le spectre d'Atacama", je propose un intermède feux d'artifice dédié au pur génie...

Si je recommande cette conférence in extenso...je vous propose de la prendre à partir de la 50ème minute pour aller...vite..(horreur de ce mot)

Lien entre géométrie non commutative, algèbre de Von Neumann, analyse spectrale et ... conjecture de Riemann...évidemment...

Au passage

Une leçon sur l'attitude positive à garder face à l'adversité 

Une citation de Shakespeare à 1h5min admirable pour qui ne souhaite pas rater intuitivement le train de son intelligence en marche...

On peut aussi rester a quai...

Croyez moi, vous rateriez une occasion a saisir sans modération 

 

Reprenons les extraits du spectre d'Atacama dont je respecterai l'intrigue, exactement comme Alain Connes a 1h19 min dans la vidéo que j'ai linkée.

A ce point, une personne du public demande à Alain Connes s'il croit que la conjecture de Riemann est vraie...

Et Alain Connes de citer le spectre d'Atacama alors encore sous presse et se faire reprendre...par sa propre femme...pour ne pas trop en dévoiler...

Suite du paragraphe précédent...

- Ahurissant ! Ces deux spectres sont donc en dualité ? Mais comment es tu certain qu'ils ne puissent être émis que par des êtres intelligent ?

- Ils nous font savoir qu'ils connaissent la formule de Riemann, or la formule de Riemann est un sommet de l'intelligence humaine !

- Et sait on quels sont les espaces en dualité, ou bien au moins l'un deux, dans le cas de Riemann ?

- On a beaucoup cherché dans cette direction, et un mathématicien norvégien, Atle Selberg, a trouvé, au debut des années 50, un espace qui est proche d'une solution. Il le construit comme le tore à partir du plan sauf que son plan est celui de la géométrie non euclidienne.

La musique de la forme ainsi construite contient a la fois un spectre continu, comme celui d'un violon, et un spectre discret.

Armand essaie de représenter l'espace construit par Selberg.

Il dessine une "pseudosphère", c'est à dire une surface de courbure constante et négative.

Il explique que l'espace de Selberg est la portion de la pseudosphère située au dessus d'une courbe particulière : on traverse le "bord" de l'espace donné par cette courbe sans dommage, en ressortant par un point du bord.

- Mais Armand se rend compte rapidement, en faisant le dessin, que l'espace de Solberg ressemble étrangement a une licorne ! Il reste silencieux et pensif un long moment, puis reprend :

- Mais son espace ne donne pas la formule de Riemann. Il y a des termes qui ressemblent, mais ils n'ont pas le bon signe....ce qui me trouble, c'est que Selberg cherchait des zéros sous la forme de fréquences, et donc un spectre infini vers l'ultraviolet. Or le spectre d'Atacama est infini vers l'infrarouge ! ... et le spectre clairsemé est infini vers l'ultraviolet !

- Oui, c'est sûrement un autre test de notre intelligence, remarque Ali.

- Mais je ne comprends pas encore comment tu peux être sûr que celà provient d'une intelligence extra terrestre. Et puis si c'est effectivement le cas, que va t'on en faire ? Dit Charlotte 

- Il faut savoir que Riemann, tout en démontrant sa formule de dualité, a laissé ouverte une question fondamentale, connue comme l'hypothèse de Riemann et que cette question a occupé les mathématiciens depuis sa mort prématurée.

- Et quelle est cette question fondamentale alors ?

- En terme du spectre d'Atacama, elle consiste à savoir si les raies spectrales sont toutes infiniment fines, ou bien s'il pourrait y avoir, quelque part dans le spectre, ce que l'on appelle une résonance, comme une tâche, ce qui donnerait un aspect diffus a la portion du spectre dans laquelle elle se trouverait 

- Et pourquoi est ce si important ?

- Et bien, s'il y avait une telle anomalie, un zéro qui sort du rang, celà créerait le chaos parmi les nombres premiers. Toute l'harmonie en serait chamboulée ! Ce serait la triste fin d'un rêve de cohérence...une manifestation du mal.

- Tu exagères, et pourquoi pas du diable tant que tu y es !

- Pourquoi pas ? On en serait là !"

Je laisse ce sujet où le diable se cache dans les détails et ... dans la machine du deep learning...pour revenir après la musique des formes par la géométrie duale de la fonction zéta à sa...musicalité...toujours vue par Alain Connes.

Deja la ou je bute dans l'hypothèse de Riemann c'est comme on fait pour calculer la fonction Zeta d'un nombre complexe, (les logiciels ont implémenté la fonction pour tout nombre complexe et on peut la tracer en prenant son module, par exemple ).

On a en développant la partie réelle et imaginaire:

Zeta( a+bi) = somme de [1 + 2^(-a)*cos(Ln(2)*b) + 3^(-a)*cos(Ln(3)*b)+...] - i *[ 2^(-a)*sin(Ln(2)*b +3^(-a)*sin(Ln(3)*b)+...]

Je vois pas comment on calcule ça, il y a peut etre une histoire d'intégrale curviligne la dessous a ce que j'ai vaguement lu.

il y a 3 minutes, hell-spawn a dit :

Deja la ou je bute dans l'hypothèse de Riemann c'est comme on fait pour calculer la fonction Zeta d'un nombre complexe, (les logiciels ont implémenté la fonction pour tout nombre complexe et on peut la tracer en prenant son module, par exemple ).

On a en développant la partie réelle et imaginaire:

Zeta( a+bi) = somme de [1 + 2^(-a)*cos(Ln(2)*b) + 3^(-a)*cos(Ln(3)*b)+...] - i *[ 2^(-a)*sin(Ln(2)*b +3^(-a)*sin(Ln(3)*b)+...]

Je vois pas comment on calcule ça, il y a peut etre une histoire d'intégrale curviligne la dessous a ce que j'ai vaguement lu.

La série en question est une fonction complexe d'une variable z = x + i.y .

Je crois que tu l'as exprimée correctement, mais que la typographie disponible sur ce site ne permet pas une expression facilement lisible. Je passe donc à Libre Office, solution du moindre mal.

Pour plus de détails, voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_zêta_de_Riemann

J'espère qu'il ne traîne pas de coquille - je n'ai pas beaucoup de temps.

 

 

 

Ce qui me fascine davantage que le calcul, c'est ce lien qui a clairement émergé, surtout depuis 1996 entre la fonction zéta de Riemann issu des idées profondes de la théorie des nombres et les concepts physique issus des idées profondes de la mécanique quantique.

Alain Connes a découvert un opérateur D sur un espace de fonctions dont la variable est adelique et dont le spectre correspond précisément a la fonction zéta de Riemann 

Les briques élémentaires de la théorie des nombres que sont les nombres premiers rejoignent des concepts élémentaires de la physique théorique avec comme point commun des modèles de relations entre discret et continu et des symétries cachées

Comme le prétend Youri Marine, on aimerait que ces rapprochements theoriques débouchent sur le fait "que nous soyons en train d'apprendre de nouveaux mots sur le monde dans lequel nous vivons et dont nous ne comprenons pas le sens"

C'est l'enjeu de la conjecture de Riemann qui, démontrée sans compréhension des concepts sous jacent communs aux deux disciplines perdraient du sens.

Malgré tout son intérêt pratique comme en cryptographie 

Là porte mon attention d'homme de la rue.

Il y a 18 heures, hell-spawn a dit :

les logiciels ont implémenté la fonction pour tout nombre complexe et on peut la tracer en prenant son module, par exemple.

Quels logiciels, par exemple ? Ce détail m'intrigue, et j'ai omis d'en parler.

il y a 20 minutes, Hérisson_ a dit :

Quels logiciels, par exemple ? Ce détail m'intrigue, et j'ai omis d'en parler.

Géogebra, trés agréable d'utilisation.

il y a 18 minutes, hell-spawn a dit :

Géogebra, trés agréable d'utilisation.

Merci pour l'info !

A titre d'illustration voici la représentation de la partie réelle de zeta(0.5+x*i) pour x allant de -6 a 100

On pourrait tracer la partie imaginaire également mais il vaut mieux avoir un ordinateur puissant car les calculs sont trés exigeants.

 

Modifié le 28 février 2019 par hell-spawn

Rien a faire, je n'arrive pas a savoir a partir de quelle formule est implémentée la fonction Zeta dans les logiciels.

Comment l'ordinateur calcule par exemple  Zeta(3+ 4*i )  ? (  a peu pres égal a 0.89 - 0.01*i )

Modifié le 1 mars 2019 par hell-spawn

il y a 19 minutes, hell-spawn a dit :

Rien a faire, je n'arrive pas a savoir a partir de quelle formule est implémentée la fonction Zeta dans les logiciels.

Là, je n'ai pas le temps de chercher.

Je sais que pour les fonctions usuelles interviennent des processus itératifs, renouvelés jusqu'à ce que l'erreur résiduelle deviennent inférieure à la précision attendue.

Il est bien possible qu'intervienne ici la fonction gamma (ou une fonction apparentée) et des produits à nombre illimité de facteurs. Je regarderai dès que je pourrai.

As-tu consulté tous les liens déjà donnés ?

il y a 2 minutes, Hérisson_ a dit :

Là, je n'ai pas le temps de chercher.

Je sais que pour les fonctions usuelles interviennent des processus itératifs, renouvelés jusqu'à ce que l'erreur résiduelle deviennent inférieure à la précision attendue.

Il est bien possible qu'intervienne ici la fonction gamma (ou une fonction apparentée) et des produits à nombre illimité de facteurs. Je regarderai dès que je pourrai.

As-tu consulté tous les liens déjà donnés ?

J'ai consulté plusieurs sites et j'avais un peu de documentation sur le sujet.

Mais il faut un trés haut niveau mathématique pour assimiler tout ce qui s'écrit sur la fonction zeta.

http://graphes-fonctions-holomorphes.toile-libre.org/FoncHol/zeta.html

J'ai trouvé ça en chinois

Je te laisse voir si ça a un quelconque intérêt 

il y a 44 minutes, hell-spawn a dit :

J'ai consulté plusieurs sites et j'avais un peu de documentation sur le sujet.

Tu peux éventuellement consulter une version scannée du Manuel (!) des Fonctions Mathématiques d'Abramowitz & Stegun (ouvrage de référence): Abramowitz and Stegun - Handbook of Mathematical Functions
https://archive.org/details/AandS-mono600
http://www.nrbook.com/abramowitz_and_stegun_html/
http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/toc.htm

Plusieurs liens sont disponibles, voir éventuellement celui pour lequel la consultation est la plus rapide (le second indiqué ?) - il y a plusieurs centaines de pages.

J'ai consulté il y a longtemps une édition probablement plus ancienne en bibliothèque, et ne sais pas ce qu'on y trouve actuellement au sujet de la fonction Zêta complexe.

Références plus précises: voir l'algorithme d'Odlyzko–Schönhage, et la formule de Riemann-Siegel

https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_d'Odlyzko-Schönhage
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Riemann–Siegel

Tu auras peut-être quelques explications sur ces calculs à marcher au plafond sur MathWorld, ou Wolfram Alpha
http://mathworld.wolfram.com/
https://www.wolframalpha.com/

Je tâcherai de trouver une documentation un peu moins rébarbative.

Modifié le 1 mars 2019 par Hérisson_

Mathematica offre quelques possibilités de calcul de ces fonctions, et il existe un mode Trace qui permet de suivre l'évolution des calculs qu'utilise Mathematica pour obtenir le résultat 

Par exemple, je souhaite calculer la dérivée de 

f [x_] := Sin[x] + x^2  '' OK, pas besoin de mathematica pour ça ! Le résultat prévisible est

f' [x] = 2 x + Cos[x]

Si je souhaite savoir comment il a fait pour me donner ce résultat remarquable, j' écris

f[x_] := Sin[x] + x^2
TracePrint  [f'[x]]

et le résultat tombe :

 

In[18]:= TracePrint[Derivative[1][f][x]]

During evaluation of In[18]:=  (f^\[Prime])[x]

During evaluation of In[18]:=   (f^\[Prime])

During evaluation of In[18]:=    Derivative[1]

During evaluation of In[18]:=     Derivative

During evaluation of In[18]:=     1

During evaluation of In[18]:=    f

During evaluation of In[18]:=    f[#1]

During evaluation of In[18]:=     f

During evaluation of In[18]:=     #1

During evaluation of In[18]:=    Sin[#1]+#1^2

During evaluation of In[18]:=     Plus

During evaluation of In[18]:=     Sin[#1]

During evaluation of In[18]:=      Sin

During evaluation of In[18]:=      #1

During evaluation of In[18]:=     (#1^2)

During evaluation of In[18]:=      Power

During evaluation of In[18]:=      #1

During evaluation of In[18]:=      2

During evaluation of In[18]:=   Cos[#1]+2 #1&

During evaluation of In[18]:=    Function

During evaluation of In[18]:=   x

During evaluation of In[18]:=  (Cos[#1]+2 #1&)[x]

During evaluation of In[18]:=  Cos[x]+2 x

During evaluation of In[18]:=   Plus

During evaluation of In[18]:=   Cos[x]

During evaluation of In[18]:=    Cos

During evaluation of In[18]:=    x

During evaluation of In[18]:=   2 x

During evaluation of In[18]:=    Times

During evaluation of In[18]:=    2

During evaluation of In[18]:=    x

During evaluation of In[18]:=  2 x+Cos[x]

Out[18]= 2 x + Cos[x]

Ce qui n'est guère enrichissant avouez-le, mais on peut supposer que Mathematica possède une base de donnée dans laquelle se trouvent les dérivées des fonctions élémentaires

Si maintenant je souhaite calculer (J'ai mis un N pour avoir une valeur numérique) 

N[Zeta[2 + 3 I] j'obtiens le résultat 

0.798022 - 0.113744 I

Et si je veux tracer le calcul, j'écris :

TracePrint[N[Zeta [ 2 + 3 I]]]

et le résultat tombe

 

TracePrint[N[Zeta [ 2 + 3 I]]]

 N[Zeta[2+3 I]]

  N

  Zeta[2+3 I]

   Zeta

   2+3 I

    Plus

    2

    3 I

     Times

     3

     I

     I

    3 I

    3 I

   2+3 I

   2+3 I

  Zeta[2+3 I]

 N[Zeta[2+3 I]]

 0.798022 -0.113744 I

Autrement dit : les concepteurs de l'algorithme du calcul de la fonction Zeta, ne souhaitent pas le divulguer. Ha les salauds !

 

Il y a 3 heures, azad2B a dit :

 

Autrement dit : les concepteurs de l'algorithme du calcul de la fonction Zeta, ne souhaitent pas le divulguer. Ha les salauds !

 

Note que si j'avais mis à dispo toutes les procédures de data qui ont de la plus value, j'aurai été en peine de les vendre...

Je ne m'appelle pas R

Le lien que j'ai donné ci dessus permet de donner une base de dev si vraiment c'est son centre d'intérêt 

Il y a 11 heures, azad2B a dit :

Autrement dit : les concepteurs de l'algorithme du calcul de la fonction Zeta, ne souhaitent pas le divulguer. Ha les salauds !

Cela ne me surprend qu'à moitié ...

Il est possible que les algorithmes (pour Mathematica, je ne sais pas) utilisent une autre fonction pré-implantée sur le disque dur, et font appel à des relations fonctionnelles concernant la fonction ZêLa.

# Présentation la plus brève et la plus simple
http://www.brouty.fr/Maths/zeta.html

# Article le plus intéressant, qui ouvre de nombreuses perspectives, à condition de pouvoir en suivre l'argumentation:
http://iml.univ-mrs.fr/editions/biblio/files/lachaud/2001b.pdf

# Liens plus techniques (à consommer et apprécier avec modération)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_zêta_de_Riemann#Développement_en_série_entière_de_ln_Γ(1+t)
http://vixra.org/pdf/1406.0088v1.pdf
https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~ariedel/plfun/colmez1.pdf

La documentation de Géogebra ne donne-t-elle aucune indication sur le sujet ?

# Pour le calcul de la fonction Zêta généralisée, on a recours à la fonction Êta de Dirichlet, série alternée associée à la précédente: Somme[k=1 à Inf](-1)^(k+1)/k^s

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_êta_de_Dirichlet

et qui présente une "meilleure" convergence. Les documents pointés auparavant la mentionnent.

J'avais déjà rencontré hier le site http://graphes-fonctions-holomorphes.toile-libre.org/FoncHol/zeta.html

tenu par un programmeur; le contenu est intéressant, mais l'auteur a dû avouer son échec quant à l'énorme difficulté du projet d'un calcul rigoureux de Zeta(x + i.y), difficulté qu'il a très bien cernée:

 Par exemple, la présence du pôle en 1 de la fonction se voit grâce à la divergence de . La somme partielle de cette série équivaut à Ln(N). Cela pose un problème informatique majeur : pour dépasser 100, il faut additionner exp(100) termes dans la série, bien au delà des possibilités d'un ordinateur.
...
Aux points les plus proches de 0.5 j'ai programmé une somme jusqu'à 50 000 termes de la suite afin d'avoir un terme général assez faible pour être raisonnable... Ca ne permet que d'avoir une approximation des valeurs de l'ordre du centième, parfois pire.
   On pourrait essayer de trouver un équivalent du reste partiel au rang N pour pouvoir améliorer ça, mais en essayant, j'ai maintes fois échoué, jusqu'à admettre que je n'y parviendrai pas.

J'en reviens à ma remarque initiale: Il est possible que les algorithmes ... / ... utilisent une autre fonction pré-implantée sur le disque dur ....

Cependant, cela ne doit pas décourager la recherche.

 

 

 

 

Modifié le 2 mars 2019 par Hérisson_