Découvertes de nouveaux types de nombres (2)

Supposons qu'il existe deux nombres p et q tels que p/q = √2. On supposera qu'on pris la précaution de simplifier la fraction p/q jusqu'à ce qu'elle soit irréductible c'est-à-dire jusqu'à il n'existe plus de diviseur commun à p et à q.

Donc, si p/q = √2, alors p²/q² = 2 et aussi p² = 2q² ce qui signifie que p est nécessairement pair. Donc, si p est pair alors on peut écrire p=2p' et p² = 4p'².

On a donc: 4p'² = 2q² d'où 2p'² = q² donc q est nécessairement pair ! Et nous voilà ave p et q pairs tous les deux alors que l'on est parti d'une fraction irréductible ! Il y a contradiction donc il ne peut exister de nombres p et q tels que p/q = √2.

Il semble bien que ce soit un certain Hippase de Métaponte qui ait trouvé et/ou révélé ce résultat au grand désespoir des pythagoriciens qui l'accusèrent d'avoir flanqué la pagaille chez les Dieux et on raconte même qu'il aurait connu une mort prématurée ...

Voilà donc notre première découverte de nombres jusqu'à lors inconnus : les nombres irrationnels.

Plus tard, beaucoup plus tard, furent découverts les nombres "transcendants", mais ceci est une autre histoire.

A la prochaine pour la découverte des nombres complexes.

Merci de votre attention.

il serait peut être bien de mettre dans un seul post sur ce thème car ça va vite être dispersé et se serait dommage

Intéressant, ce serait possible de faire toute une série sur les types de nombres

Nous pourrions même terminer avec les nombres Oméga de Chaitin et Oméga de Solovey (en passant bien entendu par les réels, les nombres univers, les nombres normaux, aléatoires, etc...).

il y a 14 minutes, procyon a dit :

Supposons qu'il existe deux nombres p et q tels que p/q = √2. On supposera qu'on pris la précaution de simplifier la fraction p/q jusqu'à ce qu'elle soit irréductible c'est-à-dire jusqu'à il n'existe plus de diviseur commun à p et à q.

Donc, si p/q = √2, alors p²/q² = 2 et aussi p² = 2q² ce qui signifie que p est nécessairement pair. Donc, si p est pair alors on peut écrire p=2p' et p² = 4p'².

On a donc: 4p'² = 2q² d'où 2p'² = q² donc q est nécessairement pair ! Et nous voilà ave p et q pairs tous les deux alors que l'on est parti d'une fraction irréductible ! Il y a contradiction donc il ne peut exister de nombres p et q tels que p/q = √2.

Il semble bien que ce soit un certain Hippase de Métaponte qui ait trouvé et/ou révélé ce résultat au grand désespoir des pythagoriciens qui l'accusèrent d'avoir flanqué la pagaille chez les Dieux et on raconte même qu'il aurait connu une mort prématurée ...

Voilà donc notre première découverte de nombres jusqu'à lors inconnus : les nombres irrationnels.

Plus tard, beaucoup plus tard, furent découverts les nombres "transcendants", mais ceci est une autre histoire.

A la prochaine pour la découverte des nombres complexes.

Merci de votre attention.

 

 

Il y a un creux dans le raisonnement. Ainsi, il est dit : p² = 2q² implique que p est pair. Cela ne saute pas aux yeux d'un lycéen. Si p² = 2q² cela implique d'abord que p² est pair . Pourquoi ? Parce que nous appelons pair tout multiple de 2 (autrement dit : un nombre est pair quand il est divisible par 2). Donc p² est un multiple de 2 ( = 2q²) donc p² est pair. Comment démontrer alors que p est pair ? Intuitivement c'est évident, mais les maths doivent être toujours absolument rationnelles. Alors quel raisonnement tenir ?

Intuitivement il est ici affirmé que p² pair implique p pair.

Comment démontrer cela ?

Je peux bien entendu dire que si 2 divise p² il faut que 2 divise p. Mais cette évidence n'est toujours pas démontrée. Elle s'impose mais elle n'est pas démontrée. Elle a la puissance de l'évidence mais elle n'est pas démontrée.

Comment faire ? 

Nous allons partir de la contraposée.

p² pair implique p pair, est une proposition identique à celle-ci : p impair implique p² impair. Qu'il s'agit donc de démontrer.

Cette équivalence résulte des tables de vérité propres à l'implication.

Si p est impair alors p peut s'écrire sous la forme p = 2t + 1 (définition du nombre impair)

si p = 2t + 1, alors p² = 4t² + 4 t + 1 = 4(t² + t) + 1. Or ce nombre est impair (addition d'un nombre pair avec 1).

donc si p est impair alors p² est impair.

équivalent à p² pair implique p pair.

Nous avons là une démonstration qui n'est plus le résultat d'un sentiment d' évidence.

il y a 4 minutes, Quasi-Modo a dit :

Intéressant, ce serait possible de faire toute une série sur les types de nombres

Nous pourrions même terminer avec les nombres Oméga de Chaitin et Oméga de Solovey (en passant bien entendu par les réels, les nombres univers, les nombres normaux, aléatoires, etc...).

Bonjour,

Mais oui, tout-à-fait d'accord. A nous deux (au moins) on pourrait peut-être faire quelque chose d'intéressant  !

Dans l'immédiat, je vais montrer comment les nombres complexes sont apparus naturellement et, plus tard, je parlerai peut-être des quaternions et leur relation avec les matrices de Pauli en mécanique quantique.

Cordialement.

il y a 8 minutes, procyon a dit :

Bonjour,

Mais oui, tout-à-fait d'accord. A nous deux (au moins) on pourrait peut-être faire quelque chose d'intéressant  !

Dans l'immédiat, je vais montrer comment les nombres complexes sont apparus naturellement et, plus tard, je parlerai peut-être des quaternions et leur relation avec les matrices de Pauli en mécanique quantique.

Cordialement.

 

J'attends avec intérêt votre description de l'origine de la conception des nombres complexes.

il y a 1 minute, aliochaverkiev a dit :

Il y a un creux dans le raisonnement. Ainsi, il est dit : p² = 2q² implique que p est pair. Cela ne saute pas aux yeux d'un lycéen. Si p² = 2q² cela implique d'abord que p² est pair . Pourquoi ? Parce que nous appelons pair tout multiple de 2 (autrement dit : un nombre est pair quand il est divisible par 2). Donc p² est un multiple de 2 ( = 2q²) donc p² est pair. Comment démontrer alors que p est pair ? Intuitivement c'est évident, mais les maths doivent être toujours absolument rationnelles. Alors quel raisonnement tenir ?

Intuitivement il est ici affirmé que p² pair implique p pair.

Comment démontrer cela ?

Je peux bien entendu dire que si 2 divise p² il faut que 2 divise p. Mais cette évidence n'est toujours pas démontrée. Elle s'impose mais elle n'est pas démontrée. Elle a la puissance de l'évidence mais elle n'est pas démontrée.

Comment faire ? 

Nous allons partir de la contraposée.

p² pair implique p pair, est une proposition identique à celle-ci : p impair implique p² impair. Qu'il s'agit donc de démontrer.

Cette équivalence résulte des tables de vérité propres à l'implication.

Si p est impair alors p peut s'écrire sous la forme p = 2t + 1 (définition du nombre impair)

si p = 2t + 1, alors p² = 4t² + 4 t + 1 = 4(t² + t) + 1. Or ce nombre est impair (addition d'un nombre pair avec 1).

donc si p est impair alors p² est impair.

équivalent à p² pair implique p pair.

Nous avons là une démonstration qui n'est plus le résultat d'un sentiment d' évidence.

Bonjour,

Soit p un nombre pair que l'on peut donc écrire 2p'. Son carré est évidemment 4p'². donc le carré d'un nombre pair est  pair.

D'accord avec vous pour démontrer que la racine carrée du carré d'un nombre pair est paire.

Mais je n'ai pas voulu trop développer et me suis borné à l'essentiel par rapport au sujet.

Cordialement

il y a 4 minutes, aliochaverkiev a dit :

J'attends avec intérêt votre description de l'origine de la conception des nombres complexes.

Bonjour,

J'ai commencé cela dans mon message intitulé : "Découvertes de nouveaux nombres (3)

Il ne s'agit pas de MA description, mais de ce qui est communément admis comme étant à l'origine de la découverte des nombres complexes. Moi, je n'y suis pour rien !

A suivre.

il y a 22 minutes, procyon a dit :

Bonjour,

Mais oui, tout-à-fait d'accord. A nous deux (au moins) on pourrait peut-être faire quelque chose d'intéressant  !

Dans l'immédiat, je vais montrer comment les nombres complexes sont apparus naturellement et, plus tard, je parlerai peut-être des quaternions et leur relation avec les matrices de Pauli en mécanique quantique.

Cordialement.

 

Je n'ai pas le moindre idée de la façon dont les nombres complexes sont apparus pour être tout à fait honnête et j'attends pareillement de façon impatiente l'histoire autour de leur naissance!

il y a 2 minutes, Quasi-Modo a dit :

Je n'ai pas le moindre idée de la façon dont les nombres complexes sont apparus pour être tout à fait honnête et j'attends pareillement de façon impatiente l'histoire autour de leur naissance!

Je suis en train de rédiger le texte répondant à votre question. Cette réponse aura pour titre "Découvertes de nouveaux types de nombres (4).

Cette première réponse, avant d'aborder les nombres complexes, sera courte, juste le principe car mon but, je crois utile de le préciser, n'est pas d'écrire un cours de mathématiques !

Il y a 3 heures, procyon a dit :

Donc, si p/q = √2, alors p²/q² = 2

Sauf erreur c'est (p/q) au carré qui fait 2.

il y a 7 minutes, Talon 1 a dit :

Sauf erreur c'est (p/q) au carré qui fait 2.

Certes, mais (p/q)² = p²/q²