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Supermag Membre 111 messages
Forumeur inspiré‚ 23ans
Posté(e)

Bonjour, je galère un peu en spé maths, mais alors les congruences c'est quelque chose !

J'ai besoin d'aide pour un exo :

a²+9=2^n où a et n entiers naturels et n>=4

a) Montrer que si a existe, a est impair

b) en raisonnant modulo 4, montrer que l'équation n'a pas de solution

L'exercice a encore une multitude de questions, mais je bloque sur ces deux première déjà !

NEED HELP

Merci

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Fabcan Membre 1380 messages
Forumeur alchimiste‚ 29ans
Posté(e)

Tu as mis du temps a corriger l'énoncer de ton exo... Bon vu que tu t'en fous voila les réponses :

1) a²+9=2^n est equivalent a a²+1=0[2] ce qui est equivalent a a²=1[2]. Ainsi 2 ne divise pas a² donc 2 ne divise pas a donc a est impair.

2)a est impair, il est donc congru a 1 ou 3 modulo 4. Si a est congru a 1 modulo 4, a² congru a 1 modulo 4 et on a que 2=0[4] d'aprés l'équation ce qui est contradictoire. Si a est congru a 3 modulo 4, on a que 2=0[4] ce qui est aussi impossible.

Donc il n'y a aucune solution modulo 4. Or s'il existait une solution général, alors elle serait aussi solution modulo 4. 

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night Membre 6 messages
Baby Forumeur‚
Posté(e)

Hello,

Attention à préciser le lien entre la parité de a et celle de son carré.

:)

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Fabcan Membre 1380 messages
Forumeur alchimiste‚ 29ans
Posté(e)

Suffit de conciderer la decompo en nombre premier de a. 

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night Membre 6 messages
Baby Forumeur‚
Posté(e)

Effectivement ;) A préciser tout de même avant de présenter ce lemme comme outil.

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Supermag Membre 111 messages
Forumeur inspiré‚ 23ans
Posté(e)

Merci bien ! :)

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Supermag Membre 111 messages
Forumeur inspiré‚ 23ans
Posté(e)

Par contre, je ne comprends pas pourquoi si a est congru à 1 modulo 4, on a que 2 congru à 0 modulo 4 :hu:

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Invité le-petit-toto
Invité le-petit-toto Invités 0 message
Posté(e)

Il s'agit visiblement d'une contradiction, c'est-à-dire que ce n'est pas possible, absurde : En effet, 2 est congru à ...-6, -2, 2, 6, 10, ... modulo 4. Or une certaine hypothèse entraînerait que 2=0 mod 4, et c'est tout bonnement impossible, car 4 ne divise pas 2.

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